Introducción a la Transformación Lineal y sus Propiedades, Monografías, Ensayos de Álgebra

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UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE COMPUTACION

CABUDARE ESTADO LARA

Ricardo I. Rodríguez P. CI: 21.126. Álgebra lineal FEBRERO; 2012.-

Introducción Ciertas ideas matemáticas han tenido un impacto tan grande en el desarrollo posterior de esta ciencia, que algunos historiadores las califican de revolucionarias. Un ejemplo de esas ideas singulares es la creación del plano cartesiano. Esto hizo posible el estudio de la Geometría de una manera nueva y muy fructífera. Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal. Matriz de cambio de base Un espacio vectorial puede tener más de una base y pueden variar las coordenadas de un vector al cambiar la base. Consideraremos que V es un espacio vectorial de dimensión y B y B son bases de V. Se llama matriz de cambio de base de B a B’ a la matriz asociada a la identidad de V considerando en el dominio la base B y en el codominio la base B’, es decir la matriz Ejemplo Consideramos en R^3 las bases B= {(1, 1, 1). (1, 2, 0), (0, 0, 1)}, B’= {(1, 2, 1) , (1, 0, 0) , (1, 0, 1)} y C la canónica. Las matrices de cambio de base de B a C y de C a B0 son: Además, Nótese que también se podría hallar directamente sin más que expresar los vectores de la base B como combinación lineal de los de la base B’. Definición. Sean A, B E Mm×n(K). Se dice que A y B son equivalentes si existen matrices no singulares P E^ Mm(K) y Q E^ Mn(K) tales que A = PBQ.

Teniendo en cuenta que toda matriz no singular puede ser pensada como matriz de un cambio de base podemos afirmar que dos matrices son equivalentes si, y sólo si, son matrices asociadas a la misma aplicación lineal respecto de diferentes bases. Teorema. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión n y m, B y B’ bases de V y W, respectivamente. Si F : V → W es una aplicación lineal tal que A = ( F ) B, B’ E Mm×n(K),entonces r(A) = dim (Im F ). Teorema. Sean A, B E Mm×n(K). Las matrices A y B son equivalentes si, y sólo si, r(A) = r(B). Diagonalización de una matriz ¿Qué es diagonalizar una matriz? Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede) tales que A = P D P - La matriz P se llama matriz de paso. Puede que esto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era A directamente. Sin embargo, lo es desde muchos puntos de vista. Dado que las matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la expresión anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación representada por A; entonces, esta forma de escribirlo dice: hay una base en la que la aplicación lineal A tiene una forma muy simple (diagonal). Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus propiedades. Las matrices se usan para representar otras cosas como cónicas, cuádricas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil esta forma de expresarlas. ¿Cuándo y cómo podemos diagonalizar una matriz? Si conseguimos escribir una matriz A como A = P D P -1, entonces podemos poner también A P = P D. Si D es diagonal y nos fijamos en la columna i de esta última igualdad lo que tenemos es que A (^) xi = A i xi (donde (^) xi es la columna i de A y A i es el número en el lugar i de la diagonal de D). Esto nos dice que para diagonalizar una matriz nos hace falta conocer los vectores a los que les pase algo así.

 Luego resulta que existen matrices y tales que Cumpliendo y los requisitos pedidos al principio, y por tanto la matriz es diagonalizable. Aplicaciones de una matriz Diagonalizar una matriz es muy importante en el Álgebra Lineal, pues se cumple lo siguiente: Facilitando mucho el cálculo de las potencias de , dado que siendo D una matriz diagonal, el cálculo de su p-ésima potencia es muy sencillo: Combinación lineal Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de multiplicados

cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que: . Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de. Ejemplo: 2 x + 3 y − 2 z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y , porque podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos. En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar al vector en cuestión. Independencia lineal En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R^3 , el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. Sea un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números , no todos iguales a cero, tal que: Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así: