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Geometría
Nociones básicas
La Geometría es la rama de las matemáticas que estudia la extensión, la forma de medirla, las relaciones entre puntos, líneas, ángulos, planos y figuras, y la manera cómo se miden. En la práctica, la geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible. Un conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en la vida cotidiana: para orientarse reflexivamente en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y distancias; para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos en el espacio.
Elementos básicos
La Geometría tiene tres elementos básicos: el punto , la recta y el plano.
Punto: Se representa gráficamente por un pequeño círculo y una letra mayúscula que lo identifica. La siguiente figura muestra tres puntos: A, B y C.
Recta: Se entiende como un conjunto infinito de puntos que se extienden indefinidamente en sentidos opuestos. Una recta se puede identificar por una letra minúscula. La figura siguiente muestra la recta AB que pasa por los puntos A y B. La recta de la figura también está identificada como la recta r.
A
B Recta AB r
Según su dirección, una recta puede ser Horizontal , Vertical o Inclinada.
Horizontal
Vertical Inclinada
Según su posición relativa, dos rectas pueden ser Secantes (Perpendiculares u Oblícuas) , Pa- ralelas o Coincidentes.
- Secantes: si y solo sí tienen un punto en común. También decimos “se intersectan” o “se cor- tan” en un punto.
Dos rectas secantes son Perpendiculares, si y sólo si forman entre sí un ángulo recto.
α = 90◦
Dos rectas secantes son Oblícuas si no son perpendiculares.
M
Plano: Un plano es una superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente. Una mesa de vidrio o la cubierta de un escritorio da la idea de un plano. Un plano se representa geométri- camente por una figura de cuatro lados y una letra mayúscula. La siguiente figura representa al plano P.
Distancia
Un concepto importante es el de distancia entre dos objetos.
Distancia entre dos puntos: es la longitud del segmento de recta entre dos puntos.
A B
d
Entre un punto y una recta: es la longitud del segmento de recta perpendicular trazado desde el punto a la recta.
d
C
Entre dos rectas paralelas: es la longitud del segmento perpendicular a ellas que las une.
90 ◦^ d
Ángulos
Ángulo se define como la parte del plano determinada por dos semirrectas llamadas lados que tienen el mismo punto de origen llamado vértice del ángulo. La notación de un ángulo se designa por medio de una letra mayúscula situada en el vértice: Aˆ, una letra griega: αˆ, o con tres letras mayúsculas (la letra que corresponde al vértice se coloca entre las otras dos): A BCˆ.
Sistemas de medición de ángulos
Para poder cuantificar cuanto mide de amplitud de un ángulo se utiliza un sistema de medi- ción. Los más utilizados son el Sistema Sexagesimal y el Sistema Radial.
Sistema sexagesimal
La unidad de medida de ángulos del sistema sexagesimal es el grado (◦), que representa la subdivisión en 90 partes iguales de un ángulo recto. Sus subunidades son el minuto (’) y segundo (”). Cada grado se divide en 60 minutos y cada mi- nuto se divide en 60 segundos.
En la siguiente tabla se observa las equivalencias:
Grado sexagesimal Minuto sexagesimal Segundo sexagesimal
1 ◦^ = ang.Recto 90 1 ′^ = 1
◦ 60 1 ′′^ = 1
′ 60 =^
1 ◦ 3600
Operaciones con ángulos en el sistema sexagesimal
Suma de ángulos
- Se colocan en columnas los grados, los minutos y los segundos.
- Se suman las columnas por separado.
- Luego se realizan las transformaciones correspondientes (recordar que tanto en los minutos como segundos puedo tener un máximo de 59. Si hay 60 o más hay que transformar; cada se- senta corresponde 1 del orden inmediato superior.
Resta de ángulos
- Se colocan en columnas los grados, los minutos y los segundos.
- Se restan los segundos. En caso de que no sea posible, se transforma un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo suma a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segun- dos.
- Se hace lo mismo con los minutos.
Ejemplo: Determina la longitud del arco de una circunferencia de radio de 4 cm, sabiendo que está subtendido por un ángulo de ϕ = π/
s = r · ϕ = 4cm ·
π 6
π 6
cm =
2 π 3
cm
Ejercicio: Determina el ángulo que subtiende un arco de una circunferencia de 3 πcm de lon- gitud y de radio de 6 cm.
Operaciones con ángulos en el sistema radial
Como ya vimos, los radianes son números reales, por lo que consecuentemente: la Suma , la Resta , el Producto por un número natural y el Cociente por un número natural de ellos, se deben realizar como tales.
Ejemplo: Sean los ángulos α = 3π/4 y β = 5π/3. Calcular:
a) α + β b) β − α c) 2 α d)β/
α + β = 3 π 4
5 π 3
9 π + 20π 12
29 π 12 β − α =
5 π 3
3 π 4
20 π − 9 π 12
11 π 12 2 α = 2 ·
3 π 4
3 π 2 β 3
5 π 3 3
5 π 9
Ejercicio: Sean los ángulos α = 5π/6 y β = 2π/3. Te animas a calcular:
a) α + β b) α − β c) 3 α d)β/
Equivalencia entre el sistema radial y el sexagesimal
Para pasar de radianes a grados sexagesimales, o viceversa, hay que recordar la relación para un ángulo que describe una circunferencia completa expresado en grados y radianes, como:
360 ◦^ −→ 2 π
O la relación para un ángulo que describe una semicircunsferencia expresado en grados y radianes, como:
180 ◦^ −→ π
Por lo tanto, con una simple regla de tres simple”podemos transformar grados en radianes y viceversa.
180 ◦^ −→ π 90 ◦^ −→ π 2
Ejemplo: ¿A cuántos radianes equivalen 60 ◦?
180 ◦^ −→ π 60 ◦^ −→ x
x =
60 ◦^ · π 180 ◦^
π 3
También podemos determinar en sentido inverso, ¿A cuántos grados equivalen π 4 radianes?
π −→ 180 ◦ π 4
−→ x
x =
π 4 ·^180
◦ π
◦ = 45◦
Ejercicio: Convierte los siguientes números al sistema sexagesimal o radial según correspon- da
π 6
a)
3 π 4
b) c) 150 ◦ d) 35 ◦
Congruencia:
Si dos ángulos se pueden superponer se dice que son congruentes, es decir, que tienen la misma amplitud, la misma medida, sin importar su posición u orientación. Ejemplos:
α ˆ y βˆ son congruentes
B
A
C
α = 50◦
E
H
G
β = 50◦
B
A
C
δ = 136◦
D
E
F
γ = 51◦
ˆδ y ˆγ no son congruentes
Ángulo convexo: Un ángulo es convexo si su amplitud es mayor a la de un ángulo nulo y menor que la de un ángulo llano. Observación: los ángulos agudos y obtusos son ángulos convexos. Ejemplos:
A
C
B
Convexo
A
C
B
Convexo
Ángulo cóncavo: Un ángulo es cóncavo si su amplitud es mayor que la de un ángulo llano. Ejemplo:
A
C
B
Cóncavo
Relaciones entre pares de ángulos
Sean α y β dos ángulos.
Ángulos consecutivos: Son los ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común.
B
A
C
α = 33◦^42 ′
G
γ = 37◦^54 ′
Ángulos adyacentes: Son ángulos consecutivos con sus lados no comunes sobre una misma recta.
B
A
C
α = 45◦
G
γ = 135◦
Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus amplitudes es igual a un ángulo recto.
B A
C
α = 26◦^36 ′
G
γ = 63◦^24 ′
α ˆ + ˆγ = 26◦^36 ′^ + 63◦^24 ′^ = 90◦
Ángulos suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus amplitudes es igual a un ángulo llano.
A
C
B
α = 63◦^24 ′
D
E
F
β = 116◦^36 ′
α ˆ + βˆ = 63◦^24 ′^ + 116◦^36 ′^ = 180◦
Ángulos opuestos por el vértice: Dadas dos rectas que se intersectan en un punto O, quedan determinados cuatro ángulos α, β, γ y δ convexos. Se puede probar que α y γ son congruentes y β y δ también. Estos pares se dicen que son opuestos por el vértice.
A
B
C
D
α = 108◦^24 ′
β = 71◦^36 ′
γ = 108◦^24 ′
δ = 71◦^36 ′
α ˆ y ˆγ son opuestos por el vértice
β^ ˆ y δˆ son opuestos por el vértice
Otra característica a notar es que α y δ son ángulos adyacentes y suplementarios, ya que α ˆ + ˆδ = 180◦. Lo mismo ocurre con β y γ, son suplementarios y adyacentes.
Diferencias entre circunferencia, círculo y semicírculo
En la vida diaria muchos usan el término círculo o circunferencia indistintamente. Aquí vamos a explicar en que se diferencian. Circunferencia como dijimos son los puntos que equidistan a un centro, es decir es la línea llena , los puntos del interior no pertenecen a la circunferencia. En cambio, un círculo es el conjunto de puntos de la circunferencia y el área que encierra. Semicírculo es la mitad del círculo. Para entender mejor mira imagen:
O
Circunferencia
O
Círculo
O
Semicírculo
Relación entre una recta y la circunferencia
Existen tres casos. Veamos cada uno de ellos. La recta puede ser exterior a la circunferencia, es decir, no se intersectan, no tienen ningún punto en común; gráficamente:
O
Puede ser tangente a la circunferencia cuando tienen únicamente un punto P(x,y) en común. También esta recta es perpendicular al radio:
r
O
α = 90 P ◦
Por último, la recta puede cortar a la circunferencia en dos puntos, se llama recta secante :
O
A
C
Propiedad: Existe una relación entre el ángulo central y el inscripto: si β es un ángulo inscripto en una circunferencia, y α es el ángulo central , que subtienden el mismo arco, es decir que sus lados cortan a los mismos puntos de la circunferencia , entonces β = α 2. Gráficamente:
O
A
B
C
β = 20◦^48 ′
α = 41◦^36 ′
β =
α 2 Observa que en el caso del ejemplo
se cumple que β =
α 2
41 ◦^36 ′
= 20◦^48 ′
Observación: Ahora que sabemos un poco más de propiedades de ángulos y circunferencia podemos com- prender mejor la definición de radián.
Polígonos
Un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmen- tos rectos consecutivos que encierran una región en el plano.
Elementos de un Polígono
En un polígono se distinguen los siguientes elementos geométricos: Lados del polígono: son cada uno de los segmentos que conforman el polígono. Vértices de un polígono: son los puntos de intersección o puntos de unión entre lados consecu- tivos. Diagonales del polígono: son segmentos que une dos vértices, no consecutivos, del polígono. Ángulo interior del polígono: es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos. Ángulo exterior del polígono: es el ángulo formado, externamente al polígono, por uno de sus lados y la prolongación del lado consecutivo.
Clasificación de los Polígonos
Los polígonos se pueden clasificar:
Según el número de lados o ángulos: Triángulo (3), Cuadrilátero (4), Pentágono (5), Hexágono (6 ), Heptágono (7). Octógono (8), Nonágono (9), Decágono (10), etc.
Según la igualdad de sus lados y ángulos:
- Polígono Regular: es un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí.
- Polígono Irregular: es un polígono con al menos un lado o un ángulo interior distinto a los otros.
Perímetro y Área de un Polígono
El Perímetro de una figura es la línea o conjunto de líneas que forman el contorno de una figura. Si queremos saber cuanto mide el perímetro, debemos sumar las longitudes de estas lí- neas.
La superficie de una figura es el conjunto de puntos que encierra su contorno. El Área de la figura es la cantidad de superficie que encierra sus límites. Es decir, el área es el valor numérico
Según los ángulos pueden ser:
Acutángulo: Tres ángulos agudos
Rectángulo: Un ángulo recto
Obtusángulo: Un ángulo obtuso
Teorema de Pitágoras
En los triángulos rectángulos a los lados se los llama de una manera especial.
C B
A
Cateto = b^ Hipotenusa = c
Cateto = a
Y se relacionan mediante el Teorema de Pitágoras, que dice lo siguiente:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Es decir:
c^2 = a^2 + b^2 Si lo expresamos con los lados del triángulo:
AB
2 = BC
2
2
Ejemplo gráfico:
32 + 4^2 = 5^2
Ejemplo:
Mariana está en París visitando la torre Eiffel, observando la cima de la torre a 150m de distancia. Si la torre mide 300 m de altura, ¿qué distancia hay desde donde está parada Mariana hasta la cima de la torre?
Por Pitágoras: x^2 = 150^2 + 300^2 x^2 = 22500 + 90000 x =
x ≈ 335 , 4
Hay aproximadamente 335 , 4 metros desde donde está parada Ma- riana hasta la cima de la Torre Eiffel.
Alturas, Medianas, Mediatrices y Bisec-
trices de un Triángulo
Altura: La altura correspondiente a un lado, es el segmento perpendicular trazado desde el vértice opuesto a la recta que contiene dicho lado. Como el triángulo tiene 3 lados, consecuen- temente tendrá 3 alturas, cada una correspondiente a cada lado.
Gráficamente:
A
B
C
Altura correspondiente al lado AB
A
C
B
Altura correspondiente al lado BC
B
A
C
Altura correspondiente al lado AC
