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U1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Lo infinitesimal es lo infinitamente pequeño, lo inverso de lo infinitamente grande. Sumando 1 sucesivamente con mucha paciencia, los números ( n ) se van haciendo infinitamente grandes, mientras que sus fracciones
inversas ( 1 / n ), se van haciendo infinitamente pequeñas.
Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería Las figuras amorfas, "son aquellas figuras que no tienen forma conocida (no es un cuadrado, triángulo, ni nada de ese estilo), más bien es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deforme" y su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el supuesto punto de la figura amorfa. El método de exhaución es un procedimiento geométrico ideado por los griegos mediante el cual podemos aproximarnos al perímetro o al área de figuras curvas, aumentado la precisión de la aproximación conforme avanzamos en el cálculo. El ejemplo más conocido del método de exhaución es el ideado por Arquímedes y recogido en su libro Método. Allí se muestran los dos procedimientos que utilizó Arquímedes para determinar la longitud de la circunferencia. Introducci ón. 1.1 Medición aproximada de figuras amorfas.
- Usando un área mayor. Consiste en ir inscribiendo polígonos regulares en una circunferencia. Cuantos más lados tengan dichos polígonos más se acercará el perímetro de estos a la longitud de la circunferencia (lo mismo ocurre con el área).
- Usando un área menor. Consiste en ir circunscribiendo polígonos regulares a la circunferencia. Así, al igual que antes, al aumentar el número de lados de los polígonos, el perímetro de estos se acerca a la longitud de la circunferencia, y cuantos más lados tengan los polígonos regulares más precisa será la aproximación. (Lo mismo ocurre con el área.) Arquímedes no se quedó sólo en el cálculo de longitudes y áreas, sino que utilizando los dos procedimientos consiguió obtener una aproximación del número π (pi). El método de Arquímedes es considerado el precursor de las llamadas sumas de Riemann que nos permiten definir rigurosamente la integral de una función en un intervalo. La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos. La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así: Dónde: i es el valor inicial, llamado límite inferior. n es el valor final, llamado límite superior. Pero necesariamente debe cumplirse que i ≤ n. 1.2 Notación Expresión que se lee: " sumatoria de Xi , donde i toma los valores desde 1 hasta n ". Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:
c) Suma de Riemann de punto medio. La altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el punto medio de su base. d) Regla del trapecio. En este caso, cada trapecio toca la curva en sus dos vértices superiores. Para cada tipo de aproximación, mientras más formas se usan más cercana será la aproximación al área real. 1.4 Definición de integral definida. Si y = f ( x )es una función continua en el intervalo[ a, b ], y definimos un conjunto finito de puntos,
a = x 0 < x 1 < … < xn = b , se define la suma inferior de Riemann como:
Sn =∑ i = 1 n
Mi ( xi − xi − 1 )
Cuanto mayor sea el número de rectángulos, las dos sumas se van aproximando al área bajo la curva, de manera que en el límite tenemos:
lim
n → ∞
sn =lim
n → ∞
Sn
A este valor del área al que tienden las dos sumas lo llamamos integral definida entre a y b , representándola como: ∫ a b
f ( x ) dx
y como queda dicho, es el área encerrada entre la gráfica de la función y = f ( x ) , el eje de abscisas y las rectas
x = a y x = b.
Se trata de un teorema que busca probar la existencia de una o más entidades, sin señalar cuantas son ni como hallarlas. La base primordial de la aplicación de este teorema consiste en satisfacer las cláusulas iniciales establecidas en la ecuación que se desea resolver. Con este teorema no se busca el valor determinado de una variable, sino que se busca un criterio que permita determinar, si hay solución o no y si este puede ser utilizado para una diversidad de problemas. Generalmente este tipo de teoremas, se enuncia de la siguiente manera, «existe(n)…», o más generalmente “para todo x , y , … existe( n )”. El teorema de existencia nos indica que sea una función real y = f ( x ), que es continua en un intervalo [ a, b ]. La integral definida cumple las siguientes propiedades:
- El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
- Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
- Si c es un punto interior del intervalo [ a, b ], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [ a, c ] y [ c, b ].
- La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.
- La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. 1.5 Teorema de existencia. 1.6 Propiedades de la integral definida.
Así, la integral de f(x) f ( x ) puede verse como la antiderivada o primitiva de esa función. La importancia de este Teorema, al que en ocasiones se denomina Primer Teorema Fundamental del Cálculo, reside en dos aspectos: Relaciona las dos principales nociones del cálculo, derivación e integración, demostrando que son procesos inversos. Esto significa que, si se integra una función continua, al derivarla después se recupera la función original. Proporciona un método simple para resolver muchas de las integrales definidas.
Ejemplo: ∫
3 2 ( (^3) x^2 − 5 x ) (^) dx
- Resolvemos la integral
3 2 ( (^3) x^2 − 5 x ) (^) dx = 3
x
3
x
2
- Reducimos operaciones.
¿ x
3
x
2
- Sustituimos x con los valores de los límites de integración.
[(^2 )
3
2
2 ]
−[(− 3 )
3
2
2 ]
- Resolvemos las operaciones de los corchetes (recuerda utilizar la jerarquía de operaciones). [ 8 − 10 ] −
[
2 ]
- Eliminamos corchetes.
- Finalmente, realizamos la suma (primero números enteros y después fracciones).
-3 2 2
1.9 Cálculo de integrales
definidas.
Las integrales impropias son integrales definidas que cubren un área no acotada. Un tipo de integrales impropias son las aquellas en las que al menos uno de los puntos extremos se extiende al infinito. Por ejemplo, (^) ∫ 1 ∞
x
2 dx , es una integral impropia. Se puede ver como el límite^ n lim → ∞^ ∫ 1 b
x
2 dx.
Otro tipo de integrales impropias son las integrales cuyos puntos extremos son finitos, pero la función integrada no está acotada en uno o los dos extremos. Por ejemplo, (^) ∫ 0 1
√ x
dx es una integral impropia. Se
puede ver como el límite
lim
a → 0 +¿ ∫ a (^11) √ x dx ¿
No todas las integrales impropias tienen un valor finito, pero algunas sí lo tienen. Cuando el límite existe decimos que la integral es convergente , y cuando no decimos que es divergente. 1.10 Integrales impropias. Fuentes bibliográficas : UAEH, (s. f). Centro de Innovación para el Desarrollo y la Capacitación en Materiales Educativos: Notación de sumatoria y propiedades. [Sitio web]. Extraído de: https://n9.cl/hgsmb Khan Academy (s. f). Khan Academy: Repaso de sumas de Riemann. [Sitio web]. Extraído de: https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-2/a/riemann-sums- review#:~:text=Una%20suma%20de%20Riemann%20es,tales%20como%20rect%C3%A1ngulos%20o %20trapecios).&text=En%20una%20suma%20de%20Riemann%20derecha%20la%20altura%20de %20cada,extremo%20derecho%20de%20su%20base Pilar Sabariego Arenas,(24/03/2020). PILAR SABARIEGO: Método de Exhaución e Integrales. [Sitio web]. Extraído de: https://pilarsabariego.com/metodo-de-exhaucion-e-integrales/ TecnoStats, (s. f). TecnoStats: Sumas de Riemann. [Sitio web]. Extraído de: https://n9.cl/0ppk Teorema, (s. f). Teorema: Teorema De Existencia Con Explicación Detallada. [Sitio web]. Extraído de: https://www.teorema.top/teorema-de-existencia/ Material Didáctico Superprof, (15/11/2019). La Integral definida. [Sitio web]. Extraído de: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integral-definida.html Ekuatio, (s. f). Eukatio: Primitiva de una función y propiedades de las integrales indefinidas. [Sitio web]. Extraído
8. ¿Qué es la suma de Riemann? Una suma de Riemann es una aproximación del área bajo la curva, al dividirla en varias formas simples (tales como rectángulos o trapecios). 9. ¿Cuáles son las sumas de Riemann? Suma de Riemann por la izquierda, suma de Riemann por la derecha, suma de Riemann de punto medio y regla de trapecios. 10. ¿Cuál es la definición integral definida? Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b, al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal X y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. 11. ¿Qué es y en qué consiste el Teorema de la Existencia”? Se trata de un teorema que busca probar la existencia de una o más entidades, sin señalar cuantas son ni como hallarlas. La base primordial de la aplicación de este teorema consiste en satisfacer las cláusulas iniciales establecidas en la ecuación que se desea resolver. 12. ¿Cuáles son las propiedades de la integral definida? a) El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración. b) Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero. c) Si c es un punto interior del intervalo [ a, b ], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [ a, c ] y [ c, b ]. d) La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales e) La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. 13. ¿Cuál es la definición de función primitiva? Función primitiva o antiderivada de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada: F' ( x ) = f ( x ). 14. ¿Cómo se le llama y cómo se escribe al conjunto de todas las primitivas? Se le llama integral indefinida y se escribe de la siguiente manera: (^) ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + k 15. ¿Qué dice el Teorema Fundamental del Cálculo? Dice que la derivada de la integral de una función es la misma función. 16. ¿Qué son las integrales impropias? Las integrales impropias son integrales definidas que cubren un área no acotada. 17. ¿Cuáles son los tipos de integrales impropias? a) Un tipo de integrales impropias son las aquellas en las que al menos uno de los puntos extremos se extiende al infinito. b) Otro tipo de integrales impropias son las integrales cuyos puntos extremos son finitos, pero la función integrada no está acotada en uno o los dos extremos.
c) Y el último tipo, es la combinación de ambas.
18. ¿Cómo se puede saber que una integral impropia es convergente o divergente? No todas las integrales impropias tienen un valor finito, pero algunas sí lo tienen. Cuando el límite existe decimos que la integral es convergente , y cuando no decimos que es divergente.
