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tambien estan ejercicios de algebra lineal
Tipo: Ejercicios
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f (x, y) =
1 − x^2 −
1 − y^2
Df =
(x, y)
1 − x^2 ≥ 0 , 1 − y^2 ≥ 0
1 − x^2 ≥ 0 −x^2 ≥ − 1 x^2 ≤ 1 x ≤
− 1 ≤ x ≤ 1
1 − y^2 ≥ 0 −y^2 ≥ − 1 y^2 ≤ 1 y ≤
− 1 ≤ y ≤ 1
lim (x,y)→(1,0)
xy − y (x − 1)^2 + y^2
Solucion. : No existe
Trayectoria a lo largo del eje x y = 0
f (x, 0) = x (0) − 0 (x − 1)^2 + (0)^2 =
(x − 1)^2 = 0
lim (x)→(1)
Trayectoria a lo largo del eje x y = x
f (x, x) = x (x) − x (x − 1)^2 + (x)^2 = x
(^2) − x (x − 1)^2 + x^2 = x^2 − x 2 x^2 − 2 x + 1
lim (x)→(1)
x − 1 x^2 − 2 x + 2
El limite si existe ya que nos da el mismo valor en todos los limites
u = sin x cosh y + cos x sinh y
ux = cosh y cos x − sinh y sin x uxx = − cosh y sin x − sinh y cos x
uy = sin x sinh y + cos x cosh y uyy = sin x cosh y + cos x sinh y
uxx + uyy = 0 − cosh y sin x − sinh y cos x + sin x cosh y + cos x sinh y = 0
f (x, y) = (sin (mx + ny))^2
fx = m sin (2 (mx + ny))
fy = n sin (2 (mx + ny))
fxx = 2m^2 cos (2 (mx + ny))
fyy = n cos (2 (mx + ny)) · 2 m
fxy = m cos (2 (mx + ny)) · 2 n
fyx = n cos (2 (mx + ny)) · 2 m
z − z 0 = fx (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + fy (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )
f (1, 1) = P (x 0 , y 0 , z 0 ) Simplificar 1 − xy cos (π) y : 1 + xy^2
fx = d dx 1 − xy cos πy
= d dx 1 +^ xy
2
= y^2
fx (1, 1) = (1)^2 = 1 Simplificar 1 − xy cos (π) y : 1 + xy^2
fy = d dy 1 − xy cos πy
= d dy 1 + xy^2 = 2xy
fy (1, 1) = 2 (1) (1) = 2
f (1, 1) = 1 − (1) (1) cos π (1) = 2
L (x, y) = 2 + 1 (x − 1) + 2 (y − 1) = 2 + x − 1 + 2y − 2 = x + 2y − 1
δF δz
∂z (exy^ − xyz) = ez^ − xy
δz δx
−xz ez^ − xy = xz ez^ − xy
z = er^ cos θ, r = st, θ =
s^2 + t^2
Solucion .: δz δs =^ e
r
t cos θ − √ s s^2 + t^2
sin θ
δz δt =^ e
r
s cos θ − √ t s^2 + t^2
sin θ
δz δs
δz δr
δr δs
δz δθ
δθ δs = er^ cos θt − er^ s √ s^2 + t^2
sin θ
= er
cos θt − √ s s^2 + t^2
sin θ
δz δt = δz δr
δr δt
δθ δt = er^ cos θs − er^ t √ s^2 + t^2
sin θ
= er
cos θs − √ t s^2 + t^2
sin θ
Duf (x, y, z) = ∇f (x, y, z) · u
∇f (x, y, z) =< fx (x, y, z) , fy (x, y, z) >= df dx i + df dy j + df dz k
df dx = eyxz^ y^3 z
df dy = 2yexyz^ + exyz^ xzy^2
df dz =^ e
yxz (^) y (^3) x
∇f (x, y, z) = eyxz^ y^3 zi +
2 yexyz^ + exyz^ xzy^2
eyxz^ y^3 z,
2 yexyz^ + exyz^ xzy^2
, eyxz^ y^3 x
Duf (x, y, z) =
i j k eyxz^ y^3 z 2 yexyz^ + exyz^ xzy^2 eyxz^ y^3 x 3 13 4 13 12 13
= i
24 eyxz^ y + 12eyxz^ y^2 xz 13
4 eyxz^ y^3 x 13
− j
12 eyxz^ y^3 z 13
3 eyxz^ y^3 x 13
4 eyxz^ y^3 z 13
6 yexyz^ + 3exyz^ xzy^2 13
= i
4 eyxz^ y
6 + 3yxz − y^2 x
− j
3 eyxz^ y^3 (4z − x) 13
eyxz^ y
4 y^2 z − 6 − 3 yxz
Duf (0, 1 , −1) =
4 e(1)(0)(−1)^ (1)
− 3 e
e(1)(0)(−1)^ (1)
4 e^0 (6 + 3 (0) − 0) 13
3 e^0 (−4) 13
e^0 (− 4 − 6 − 3 (0)) 13 =
∇f (0, 1 , −1) =< e(1)(0)(−1)^ (1)^3 (−1) , 2 (1) e(1)(0)(−1)^ + e(1)(0)(−1)^ (−1) (0) (1)^2 , e(1)(0)(−1)^ (1)^3 (0) >
=< e^0 , 2 e^0 + e^00 , e^00 > =< 1 , 2 , 0 >
9.Calcule los valores máximo y mínimo locales, y punto o puntos sillas de la función
f (2, 1) = x^3 − 12 xy + 8y^3 = (2)^3 − 12 (2) (1) + 8 (1)^3 = 8 − 24 + 8 = 16 − 24 = − 8
El minimo local es f (2, 1) = − 8 El pinto silla esta en (0, 0) Solucion .: Minimo f (2, 1) = − 8 , punto de silla en (0, 0)
f (x, y) = x^4 + y^4 − 4 xy + 2 D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 2 }
Fx = 4x^3 − 4 y
Fy = 4y^3 − 4 x
4 x^3 − 4 y = 0 4 y^3 − 4 x = 0
4 y^3 − 4 x = 0 − 4 x = − 4 y^3
x = −^4 y
3 − 4 x = y^3
4 x^3 − 4 y = 0 4
y^3
− 4 y = 0 4 y^9 − 4 y = 0 4 y
y^8 − 1
4 y
y^4 − 1
y^4 + 1
4 y
y^2 − 1
y^2 + 1
y^4 + 1
4 y = 0o y^2 − 1 = 0 y = 0o y =
y 1 = 0,y 2 = 1 ,y 3 = − 1
x = y^3 x 1 = 0 x 2 = 1 x 3 = − 1
(0, 0) , (1, 1) y (− 1 , −1)
Fxx = 12x^2
Fyy = 12y^2
Fxy = − 4
∣∣ Fxx^ Fxy Fyx Fyy
∣∣ = FxxFyy − (Fxy )^2
