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TALLER DE CALCULO 2
I) Determinar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos, justificando su respuesta:
- Si f tiene derivadas parciales continuas en ℝ
3
y C es cualquier curva cerrada entonces
- Si C 1
, C
2
, y C 3
tienen los mismos puntos iniciales y terminales y ∫ 𝐹
1
𝐶 1
2
𝐶 2
entonces ∫ 𝐹
1
𝐶 1
3
𝐶 3
- Las funciones vectoriales 𝒓⃗⃗ (𝑡) 1
2
2
2
0 ≤ 𝑡 ≤ 1 , definen la misma curva en el plano.
- El campo vectorial 𝐹
⃗⃗⃗
(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥
2
2
− 𝑦)𝒋 es conservativo
- Si 𝐹
es conservativo en una región R limitada por una trayectoria cerrada simple y C está contenida
en R, entonces ∫
𝑑𝑟⃗ es independiente de la trayectoria
II. Completar los siguientes enunciados de tal manera que sean verdaderos
1 ) Si C es una curva suave representada por 𝒓⃗⃗(t) en un intervalo abierto I, entonces el vector
tangente unitario se define como 𝑻(
t) = ___________
2) Si C está dada por r(t) = t i + t j , 0 ≤ t ≤ 1 , entonces ∫
C
xy dS se calcula con la integral dada por
∫
( ________________) 𝑑𝑡
3 ) Si f tiene derivadas parciales continuas en ℝ
3
y C es cualquier curva cerrada, entonces
∫ ∇𝑓 ∙ 𝑑𝑟⃗ es __________
4 ) Si f(x, y) =
1
√𝑥
2
+𝑦
2
es una función potencial para un campo de fuerza conservativo, entonces
dicho campo viene dado por 𝐹
= ___________________
- Sea el campo vectorial conservativo 𝐹
(x, y, z) = 2xy i + (x
2
2
de dicho campo viene dado por f(x, y, z) = _______________
6 ) Si f tiene derivadas parciales continuas en ℝ
3
y C es cualquier curva cerrada entonces ∫ ∇𝑓 ∙ 𝑑𝑟⃗
es _____________
- Si F = M i + N j es un campo vectorial, donde M y N son funciones cuyas primeras derivadas
parciales son continuas en un disco abierto R. El campo vectorial F es conservativo si y solo si
____________________.
III. Resolver los siguientes problemas de extremos de funciones de dos variables
Encuentre los extremos de las siguientes funciones
- f(x, y) = 9 – 2x + 4y – x
2
2
- F(x, y) = 3x
2
y + y
3
2
2
- f(x, y) = 2x
3
2
2
2
- Encuentre la distancia más corta del punto (2, - 2, 3) al plano 6x + 4y – 3z = 2
Utilice el método de multiplicadores de Lagrange para las siguientes preguntas.
- Encuentre la distancia más corta del punto (2, - 2, 3) al plano 6x + 4y – 3z = 2
- Encuentre los puntos de la superficie z
2
= xy + 1 que sean más cercanos al origen
IV. Resolver los siguientes problemas de funciones vectoriales
- Sea el campo vectorial 𝐹
2
2
i) Determine si el campo es conservativo
ii) Halle una función potencial de F
iii) Halle el valor de la integral de línea ∫ 𝐹
∙ 𝑑𝑟⃗ donde C es la parábola y = 4 – x
2
desde (2, 0) a (0,
2. Evaluar la integral de línea ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑠 a lo largo de la trayectoria C : 𝒓⃗⃗
- Teorema de Stokes
Un campo de fuerza F (x, y, z) = - 4y i + 2z j + 3x k , mueve una partícula alrededor de la curva C, la
cual es la intersección del paraboloide z = 10 – x
2
2
y el plano z = 1. Hallar el trabajo realizado por
el campo de fuerza sobre la partícula.
Calcule las dimensiones de una caja rectangular con
volumen máximo que está acotada en el primer
octante por los planos coordenados y el plano x + 2y +
z = 6
8. Teorema de Stokes 9. Usar el teorema de Green para evaluar la integral de línea ∫ 𝑦
3
3
2
𝑑𝑦 donde C es
la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de y = 𝑥
3
y desde (1, 1) Hasta (0, 0) a lo
largo de la gráfica de y = x.
- Evaluar la integral de línea ∫
2
𝑑𝑦 a lo largo de la curva C dada por x = 2t,
y = 10t , donde 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
- Integrales de línea de Campos conservativos
Sea el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 2 𝑥𝑦𝑧) 𝑖 + (𝑥
2
2
2
i) Demuestre que la siguiente integral de línea es independiente de la trayectoria.
ii) Evalúe la integral
C
Fdr , donde C es cualquier trayectoria desde (1, 1, 2) hasta (2, 3, 2).
iii) Evalúe la integral usando el teorema fundamental de las integrales de línea (∇𝑓 = 𝐹
- Evalúe
C
Fdr donde F(x, y, z) = −𝑥𝑧 𝑖 + 𝑥𝑦
2
𝑗 + 𝑧 𝑘, y C es la curva de intersección entre el
plano 2 x + y + z = 2 y el cilindro 𝑥
2
2
- Teorema de la divergencia
Determine el flujo del campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧 𝑖 − 𝑦𝑧 𝑗 + 𝑥𝑦
2
𝑘 sobre S, donde S es la
frontera de la región sólida E encerrada por la parte superior de la esfera 𝑥
2
2
2
= 8 y el
plano z =2.
Usar el teorema de Green para evaluar la integral de línea
3
3
2
)𝑑𝑦 donde C es la trayectoria desde
(0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de y = 𝑥
3
y desde
(1, 1) Hasta (0, 0) a lo largo de la gráfica de y = x.
- Teorema de la divergencia.
- Teorema de la divergencia
El campo de velocidad de un fluido está dado por F(x, y, z) = 5z k, y S es la esfera x
2
2
2
Calcule el flujo de f a través de S.
FORMULAS
Si r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k entonces ds =
′
dt = √[𝒙
′
(𝒕)]
𝟐
+ [𝒚
′
]
𝟐
+ [𝒛
′
]
𝟐
dt
(𝑥, 𝑦) = M(x, y) i + N(x, y) j es conservativo si y solo si
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝜕𝑁
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = M i + N j + P k es conservativo si y sólo si
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕𝑁
𝜕𝑧
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑀
𝜕𝑧
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝜕𝑀
𝜕𝑦
Teorema de Green ∬
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝝏𝑴
𝝏𝒚
𝑫
𝑪
Teorema de Stokes:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = M i +N j + P k es otro campo vectorial ,
rot 𝐹
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
dS = (−
𝜕𝑔
𝜕𝑥
𝜕𝑔
𝜕𝑦
𝒋 + 𝒌) dA o 𝑵
dS = (
𝜕𝑔
𝜕𝑥
𝜕𝑔
𝜕𝑦
𝒋 − 𝒌) dA
Teorema de la Divergencia
Calcular ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑆
𝑆
1
si F = x i + y j + z k, y S 1
es la frontera del
sólido Q comprendido entre las superficies 𝑧 = 10 − 𝑥
2
2
2
2
, y N es el vector normal unitario siempre a
exterior a Q.
