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REVISIÓN 6 – 86256.94 PÁGINA 1 DE 2
TRANSFORMADA DE LAPLACE L
Definiciones integrales
Transformada de Laplace Transformada inversa de Laplace
lim
b (^) st
b
F s f t e f t dt
L
s es en realidad una variable compleja pero se trata
como constante durante la integración
σ
π σ
(^1 ) lim 2
iR (^) st
R (^) iR
f t F s e F s ds i
^
L
σ es un número real elegido de tal forma que todos los polos de
F (^) s (^) queden a la izquierda de la recta vertical que pasa por σ
Tabla de transformadas
f t L f t
1 1 1 s
t^ n
n es un entero positivo 1
n
n
s
3 t π 3
4 s
t
π s
5 e at s ^1 a
t e^ n^ at
n es un entero positivo 1
n
n s a
7 sen kt s 2 ^ kk 2
8 cos kt s 2 ^ sk 2
9 senh^ kt^ s 2 ^ kk 2
10 cosh^ kt^ s 2 ^ sk 2
11 e at sen kt
^2
k s a k
12 eat cos kt
^2
s a s a k
13 t sen kt
2 22
2 ks s k
14 t^ cos kt^
2 2 2 22
s k
s k
15 sen kt kt cos kt
3 2 22
2 k
s k
16 sen^ kt^ ^ kt^ cos kt
2 2 22
2 ks
s k
f t L f t
17 senh kt sen kt
3 4 4
2 k
s k
18 cosh kt cos kt
2 4 4
2 k s
s k
19 1 cos kt
2 2 2
k s s k
20 kt sen kt
3 2 2 2
k
s s k
a sen bt b sen at ab a b
s a s b
22 cos^ bt 2^ cos 2 at a b
^2 2 ^2 2
s
s a s b
23 ln t
γ ln s
s
^
γ es la constante de Euler
(^24) ln 2 t π^ ^ γ ln^2 6
s s s
25 ^ γ^ ^ ln t ln s^ s
26 γ π 2 2
ln
t
ln 2 s
s
e at^ ebt
t
ln s^ b
s a
e at^ ebt
t
s b s a
π
(^2) /
a e a t
t
(^) a s
e
30 erf^ t^
(^2) / e s 1 erf (^12) s s
31 sen tt arctan^1 s
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Teoremas y propiedades diversas
1 Linearidad (^) L c 1 (^) f (^) 1 t (^) c f 2 2 (^) t (^) c (^) n fn (^) t (^) c F 1 1 (^) s (^) c F 2 2 (^) s (^) c Fn n (^) t donde c 1 , c (^) 2 , … c (^) n son constantes 2 Primer teorema de traslación (^)
1 1
at s s a s^ s^ a at at
e f t f t F s F s a
F s a e F s e f t
^
L L
L L 3 Segundo teorema de traslación donde la función escalón unitario es
t a t^ a t a
^ ^
U
L (^) f^^ ^ t^ ^ a ^^ U^ t^ ^ a ^ ^ e^ as^^ L^ f^ t^ ^ e^ asF^ ^ s
(^1) as 1
e F s F s t t a t a f t a t a
(^) L ^ L (^) U ^ ^ ^ U
4 Función multiplicada por tn
(derivada de transformada) ^ ^ ^1 ^ ^
n n^ n n
t f t d F s
ds
L^ ^
5 Función dividida entre t (integral de transformada)
(^) s
f t F s ds
t
^
L
6 Transformada de derivada df (^) sF s f 0
dt
L
(^2 )
d f s F s sf f
dt
L
1 0 2 0 ^ ^2 ^ 0 ^1 ^ 0
n (^) n n n n n n
d f s F s s f s f sf f
dt
L
7 Transformada de integral 0 ^ ^
t F s
f t dt
s
L
8 Teorema de convolución donde la integral de convolución es
- (^0) τ (^) τ (^) τ
t f g (^) f g t d
L ^ f^ * g ^^ ^ L ^ f^ t^ ^ L^ g t ^ ^ F^ ^ s G s ^ ^
1
F s G s f * g
L
9 Transformada de una función periódica con periodo T tal que f (^) t T (^) f (^) t ^ ^0
T (^) st
f t esT e f t dt
L ^
10 Transformada de una función periódica con periodo T tal que g t T g t ^ ^0
T (^) st
g t esT e g t dt
L ^
δ o bien
0 0 0 0 0
a t t t^ a^ t^ t^ a a t t a t t a
δ^ ^0 ^0 2
st^ sa^ sa a t t e e^ e sa
^
L ^
11 Función delta de Dirac δ 0 ^0 0
t t t t (^) t t
^ ^
L^ δ^ ^ t^ ^ t 0^ e ^ st^0
12 Derivada de la función delta (función doble impulso) δ^ ^
d (^) t t (^) 0 se st 0 dt
L
13 Teorema del valor inicial (^)
lim t 0 f t s lim sF s
14 Teorema del valor final (^) t lim f (^) t (^) lim s 0 sF (^) s
