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MATEMATICA 2 - Clase Pr´actica del 6/4/
Suma e intersecci´on de subespacios - Suma directa - Coordenadas
Nota. El objetivo de este apunte es que les sirva de gu´ıa para poder resolver los ´ultimos ejercicios de la Pr´actica 2.
Intersecci´on de subespacios
Sea V un K-espacio vectorial y sean S y T subespacios de V. Veamos que
S ∩ T = {v ∈ V : v ∈ S y v ∈ T }
es un subespacio de V :
- 0 ∈ S, 0 ∈ T , entonces 0 ∈ S ∩ T.
- Sean v, w ∈ S ∩ T , entonces v + w ∈ S ∩ T porque v + w ∈ S por ser S subespacio, y v + w ∈ T por ser T subespacio.
- Sean v ∈ S ∩ T y k ∈ K, entonces kv ∈ S ∩ T porque kv ∈ S por ser S subespacio y kv ∈ T por ser T subespacio.
Suma de subespacios
Vimos reci´en que la intersecci´on de dos subespacios S y T es nuevamente un subespacio, pero la uni´on no lo es en general (Ejercicio 3, Pr´actica 2). Esto sucede porque puede haber un vector v ∈ S y un vector w ∈ T tales que v + w /∈ S ∪ T. Por ejemplo, en R^2 , si S = 〈(1, 0)〉 y T = 〈(0, 1)〉 entonces (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ∈/ S ∪ T. Por lo tanto, en general tenemos que agregar m´as vectores a S ∪ T para asegurarnos que, cada vez que sumamos vectores, esta suma est´e en el conjunto. La suma S + T es un espacio vectorial que se construye entonces agregando las sumas “que faltan” (y solo las sumas que faltan) para que este conjunto sea un subespacio. Se define entonces S + T = {v + w : v ∈ S, w ∈ T }.
Como solo agregamos las sumas necesarias para construir un subespacio a partir de S ∪ T se puede ver que S + T es el “menor” espacio vectorial que contiene a S ∪ T. La forma m´as sencilla de construir S + T es a partir de un sistema de generadores de cada uno de los subespacios: si S = 〈v 1 ,... , vn,... 〉 y T = 〈w 1 ,... , wm... 〉 entonces S + T = 〈v 1 , w 1 , v 2 , w 2 ,... 〉; o sea, un sistema de generadores de S + T se obtiene directamente de juntar los generadores de S y los de T. Es importante notar que a´un si tenemos una base de S y una de T , la uni´on de las bases no necesariamente es una base de S + T (solo podemos asegurar que es un sistema de generadores). Dados S, T subespacios de un K-espacio vectorial V vale que
S ∩ T ⊆ S, T ⊆ S + T ⊆ V.
Suma directa
Sea V un K-espacio vectorial, y sean S, T subespacios de V. Si vale que V = S +T y S ∩T = { 0 }, se dice que V es la suma directa de S y T y se nota V = S ⊕ T. Por definici´on de suma de subespacios, sabemos que si V = S + T , entonces todo elemento de v ∈ V se escribe como la suma de un elemento de S y un elemento de T. Que la suma sea directa dice que hay un ´unico elemento de S y un ´unico elemento de T cuya suma da v.
Nos va a resultar ´util el siguiente teorema:
Teorema de la dimensi´on (de subespacios). Sea V un K-espacio vec- torial de dimensi´on finita, y sean S, T subespacios de V. Entonces
dim(S + T ) = dim(S) + dim(T ) − dim(S ∩ T ).
Ejercicios de suma, intersecci´on y suma directa
Ejercicio 1. En cada uno de los siguientes casos caracterizar los subespacios S ∩ T y S + T de V y determinar si la suma es directa.
i) V = C^2 , K = R, S = {(x, y) ∈ C^2 : x − iy = 0}, T = 〈(3, −i), (3 + i, 1 − i)〉.
ii) V = R[X], K = R, S = {f ∈ R[X] : f ′(1) = 0}, T = 〈X − 1 , X^2 − 3 X〉.
Resoluci´on. i) Para hallar la intersecci´on escribimos a un vector de T de manera gen´erica como
a(3, −i) + b(3 + i, 1 − i) = (3a + 3b + ib, b − i(a + b)). (1)
Para que un tal vector tambi´en est´e en S debe verificar
(^3) ︸ a + 3︷︷b + ib︸ x
− i(b − i(a + b)) ︸ ︷︷ ︸ y
reordenando: 3 a + 3b − (a + b) ︸ ︷︷ ︸ ∈R
de donde 2a + 2b = 0, es decir, b = −a. Esto dice que los vectores que est´an en T y tambi´en en S son los que tienen a b = −a en la expresi´on (1). O sea, son de la forma (3a− 3 a−ia, −a−i(a−a)) = (−ai, −a) = a(−i, −1). Por lo tanto S ∩ T = 〈(i, 1)〉. Para la suma, busquemos un sistema de generadores de S. Uno podr´ıa tentarse de hacer el siguiente razonamiento: los vectores de S son de la forma (iy, y) = y(i, 1) y decir que S est´a generado por el vector (i, 1). El problema con este razonamiento es que cuando escribimos y(i, 1) y pensamos a estos vectores como m´ultiplos de (i, 1) nos estamos olvidando que y ∈ C (es una de las coordeandas de un vector en C^2 ) pero K = R (estamos viendo a C^2 como espacio vectorial sobre R). Debemos entonces hacer el siguiente razonamiento. Escribamos x = a+ib, y = c + id con a, b, c, d ∈ R. Entonces
0 = x − iy = (a + ib) − i(c + id) = a + d + i(b − c),
de donde d = −a y c = b. Por lo tanto, los vectores de S son de la forma (x, y) = (a + ib, b + i(−a)) = a(1, −i) + b(i, 1). Por lo tanto, S = 〈(1, −i), (i, 1)〉 y concluimos que S + T = 〈(1, −i), (i, 1), (3, −i), (3 + i, 1 − i)〉. Por el Teorema de la dimensi´on de subespacios, dim(S + T ) = 2 + 2 − 1 = 3 < 4 = dim(C^2 ). De esto se deduce que S + T ( C^2 , tambi´en vimos que S ∩ T 6 = { 0 }, y por lo tanto la suma no es directa.
ii) Para resolver este ejercicio, primero veamos c´omo son los polinomios de S. Como son poli- nomios que se anulan al evaluarlos en 1, conviene considerar el siguiente sistema de generadores de R[X]: R[X] = 〈 1 , X − 1 , (X − 1)^2 , (X − 1)^3 ,... 〉.
Coordenadas
Vimos que un conjunto B = {v 1 ,... , vn} se dice una base del K-espacio vectorial V si es un conjunto de generadores de V que es linealmente independiente. Una definici´on alternativa es la siguiente:
B = {v 1 ,... , vn} es una base de V si para todo v ∈ V existen ´unicos k 1 ,... , kn ∈ K tales que v = k 1 v 1 + · · · + knvn.
A partir de esto, fijada la base B = {v 1 ,... , vn}, a cada vector v le corresponde un ´unico conjunto de coeficientes k 1 ,... , kn ∈ K. Entonces, le podemos asignar a v las coordenadas (k 1 ,... , kn) en la base B, que se determinan de forma ´unica para v y que, a su vez, determinan de forma ´unica a v. La n-upla de coordenadas se suele notar [v]B:
[v]B = (k 1 ,... , kn) ⇔ v = k 1 v 1 + · · · + knvn.
Ejercicio 3. Sea V = R^2 ×^2 , encontrar las coordenadas de v =
en la base
B = {
Resoluci´on: (Tarea: verificar que B es realmente una base de V = R^2 ×^2 .) Tenemos que buscar k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ∈ R tales que ( 1 1 1 1
= k 1
2 k 2 + k 3 k 3 + 2k 4 k 1 + k 4 k 1 + k 2 + k 3
Esto nos lleva a resolver el sistema lineal de ecuaciones
2 k 2 + k 3 = 1 k 1 + k 4 = 1 k 3 + 2k 4 = 1 k 1 + k 2 + k 3 = 1
Operamos:
0 2 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 1 1 1 0 1
(^) F 2 −→→F 1 F 4 −F 2 →F 2 F 1 →F 4
1 0 0 1 1 0 1 1 − 1 0 0 0 1 2 1 0 2 1 0 1
(^) F 4 −−→ 2 F 2 →F 4
1 0 0 1 1 0 1 1 − 1 0 0 0 1 2 1 0 0 − 1 2 1
(^) F 4 +−→F 3 →F 4
1 0 0 1 1 0 1 1 − 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 4 2
De ac´a obtenemos k 4 = 12 , k 3 = 0, k 2 = 12 , k 1 = 12 , y por lo tanto [v]B =
2 ,^
1 2 ,^0 ,^
1 2
