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Anaya, solucionario 2 Bach aplicadas ciencias sociales
Tipo: Ejercicios
1 / 45
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Ciencias Sociales II
Resuelve
Página 53
■ Aquí tienes ahora, representados mediante flechas, los vuelos que permiten viajar el martes desde el país B anterior hasta otro país C : B C
C 1
C 2
B 1 B 2 B 3 B 4
Representa, mediante una tabla similar a la anteriormente descrita, la información recogida en el diagrama de vuelos entre los países B y C****.
C 1 C 2 B 1 3 2 B 2 1 0 B 3 1 0 B 4 0 2
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
1 Nomenclatura. Definiciones
Página 55
1 Escribe las matrices traspuestas de:
A = (^) f
p B^ =^
e o (^) C = (^) f
p
D = (^) f
p E^ =^ f
- (^) p F = ` 5 4 6 1^ j
A t^ =
e o (^) B t^ =
f p C^ t^ =
f p
D t^ =
f p E^ t^ =
f – p F^ t^ =
f p
2 Escribe una matriz X tal que X t^ = X ; esto es, que sea simétrica.
Por ejemplo, X =
f p.
3 Escribe una matriz que describa lo siguiente:
f p
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Página 60
1 Comprueba las propiedades 2 y 3 del producto de números por matrices, tomando:
a = 3, b = 6 A =
e o (^) B =
e o
propiedad 2:
f
f f f
p
p p p
propiedad 3:
f + =
f
f
f
p f
p p
p p
Página 61
2 Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices:
A = (^) f
p B^ =^
e o (^) C =
f (^) f
f f
p
p p
p
p
f
e e e
e
o
p
o o
o
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4 Matrices cuadradas
Página 63
1 Calcula, utilizando el método de Gauss, la inversa de cada una de las siguientes matrices en el supuesto de que la tengan:
a)
e o (^) b)
e o (^) c)
e o
a)
e o
(1.ª) – (2.ª) (2.ª)
e o
Así:
e o (^) =e o
b)
e o
(1.ª) (2.ª) – 3 · (1.ª)
e o
(1.ª) + (2.ª) (2.ª)
e o
(1.ª) – (2.ª) (–1/2) · (2.ª) (^) / /
e o
Así: / /
c)
e o
(1.ª) (2.ª) + 2 · (1.ª)
e o
En la parte de la izquierda, la 2.ª fila está compuesta por ceros.
Por tanto, la matriz
e o (^) no tiene inversa.
2 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la tiene:
a) (^) f
p b)^ f
p c)^ f
p
a)
f p
(1.ª) (2.ª) – 4 · (1.ª) (3.ª) – 7 · (1.ª)
f p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 2 · (2.ª)
f p
En la parte de la izquierda, la 3.ª fila está compuesta por ceros.
Por tanto, la matriz
f p no tiene inversa.
b)
f p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.ª)
f p
(1.ª) – 3 · (3.ª) (2.ª) – 2 · (3.ª) (3.ª)
f – p
(1.ª) – 2 · (2.ª) (2.ª) (3.ª)
f – p
Así:
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5 Encuentra dos matrices, A y B , de dimensión 2 × 2 que cumplan:
e o (^) A – B =
e o
= e
e o
o
4 Sumando: 3 A^ =^
e o (^) → A =
e o
e o = e o e o =e o
Solución: A = , B
e o e o
6 Encuentra dos matrices X e Y que verifiquen:
e o (^) X – Y =
e o
e + =
f f
o e
p p
o
4 4 Sumando: – Y^ =^
e o (^) → Y =
e o
e o + = e o + e o =e o
Solución: X = , Y
e o (^) =e o
7 Averigua cómo ha de ser una matriz X que cumpla la siguiente condición:
e o (^) = e o (^) · X
x z
y t
x z
x y z t
x z
y t
x z z
y t t
x x z x y y t z z z t t
z x t
4
Solución: X =
x y 0 x
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
8 Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas:
e o (^) B =
e o (^) C =
e o
a) ( A · B ) + ( A · C ) b) ( A – B ) · C c) A · B · C
a) ( A · B ) + ( A · C ) =
e o e o e o (^) b) ( A – B ) · C = ·
e o e o (^) =e o
c) A · B · C = ·
e o e o (^) =e o
9 Dada la matriz A =
e o , comprueba que ( A – I )^2 = 0.
e o e o =e o
10 Halla la inversa de estas matrices:
a)
e o (^) b)
e o (^) c) (^) f
p d)^ f
p
a) · 8
x z
y t
x z x z
y t y t
x z x z
x z
y t y t
y t
Por tanto, la inversa es
e o (^).
b) · 8
x z
y t
x z x z
y t y t
x z x z
x z
y t y t
y t
Por tanto, la inversa es
e o (^).
c) · 8
a d g
b e h
c f i
a d g
b e h
c f i
f p f p =^ f p f p =f p
a = 1, b = 0, c = 0, 2 d = 0, 2 e = 1, 2 f = 0, g = 0, h = 0, i = 1
Por tanto, la inversa es /
f p.
d) · 8
a d g
b e h
c f i
f p f p =f p
a d g d g d g
b e h e h e h
c f i f i f i
f p =f p
a d g d g d g
a d g
b e h e h e h
b e h
c f i f i f i
c f g
4 4 4
Por tanto, la inversa es
f p.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
6 Rango de una matriz
Página 68
1 Calcula el rango de las siguientes matrices:
A = (^) f
p B^ =^ f
p C^ =^ f
p D^ =^ f
p
f p
(1.ª) (2.ª) + (1.ª) (3.ª) – 2 · (1.ª)
f p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 2 · (2.ª)
f p →^ ran^ ( A^ ) = 3
f p
(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – (1.ª)
f p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (2.ª)
f p →^ ran^ ( B^ ) = 2
f p
(1.ª) (2.ª) + (1.ª) (3.ª) – 2 · (1.ª)
f p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 5 · (2.ª)
f p →^ ran^ ( C^ ) = 2
f p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (1.ª) (4.ª)
f (^) – p
(1.ª) (2.ª) –2 · (3.ª) + (2.ª) (4.ª) – 4 · (2.ª)
f p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) (4.ª) + (3.ª)
f p →^ ran^ ( D^ ) = 3
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
7 Forma matricial de un sistema de ecuaciones
Página 69
1 Expresa en forma matricial y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
x x x
y
y
z z 2 5 z
x x
y y
a) x x x
y
y
z z 2 5 z
4 →^ ·
x y z
f p f p =f p
En la página 62 hemos calculado A –1.
f p f p =f p
Solución: x = 106, y = 64, z = 36
b) (^) x x
y y
x y
e o e o e o
= e^ o^ –^1 = e o
e o e o e o e o
Solución: x = 1, y = –
2 Expresa en forma matricial y resuelve.
a)
x
x
y y y y
z z z
t
t 3 t
x y y z z t t
a) (^) x
x
y y y y
z z z
t
t 3 t
a
b b
bb
x y z t
f p f p =f p
Calculamos la inversa de la matriz A : | A | = –5 ≠ 0 → existe A –
f p
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas resueltos
Página 70
1. Matrices traspuestas
Hazlo tú. Comprueba que: ( A + B ) t^ Ct^ = At^ · C t^ + Bt^ · C t
e o , B =
e o , C =
f – p
( A + B ) t^ =
t (^) t
e o^ + e^ oH^ = e^ o^ =f p
C t^ =
e o
( A + B ) t^ C t^ = ·
f p e^ o^ =f p
A t^ · C t^ = ·
f p e^ o^ =f p
B t^ · C t^ = ·
f p e^ o^ =f p
A t^ · C t^ + B t^ · C t^ =
f p +^ f p =f p
Hemos obtenido el mismo resultado, luego la igualdad es cierta.
2. Cálculo de los elementos de una matriz
Hazlo tú. Dada la matriz X =
a 0 a
e o , calcula a para que X^2 – X =
e o.
a a
a a
a a
a 0 a
(^2 ) e o e o (^) =f 2 p e o (^) =
a a a a
f p
( ) ( )
a a a a
f p (^) =
a a a a a
e o (^4) =
3. Operaciones con matrices
Hazlo tú. Halla los valores de a para los cuales X = a 0
e o verifica la ecuación X^2 – 3 X + 2 I = 0.
a (^) a 0
(^2 ) e o (^) =f p
X^2 – 3 X + 2 I = a^
a (^) a a 0
2 2 f p e o (^) + e o (^) = f + p
a a a a a a
2 2 1 2
f p (^) = e o + = = =
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Página 71
5. Matrices conmutables
Hazlo tú. Dada la siguiente matriz:
A =
e o
obtén todas las matrices B que conmutan con ella.
La matriz B =
a c
b d e o (^) ha de verificar A · B = B · A.
a c
b d
a c c
b d d
e o e o e o
a c
b d
a c
a b c d
e o e o e o
a c c
b d d
a c
a b c d
a c a b d a b c c d c d
e o e o (^) *
De la 1.ª ecuación y de la 4.ª ecuación obtenemos c = 0.
De la 2.ª ecuación obtenemos a = d.
Por tanto, B =
a b 0 a e o (^) , con a , b ∈ Á.
Página 72
7. Despejar una matriz multiplicando por las inversas de otras dos
Hazlo tú. Halla la matriz X que verifica AXB = A + B siendo A =
e o y B =
e o.
Multiplicamos en los dos miembros de la ecuación AXB = A + B por A –1^ a la izquierda y por B –1^ a la derecha:
AXB = A + B → X = A –1^ ( A + B ) B –1^ = ( A –1^ A + A –1^ B ) B –1^ = ( I + A –1 B ) B –1^ = B –1^ + A –1 BB –1^ → X = B –1^ + A –
e o (^) =e o (^) ; B –1^ =
e o (^) =e o (^) ; X =
e o (^) + e o (^) =e o
8. Ecuación matricial: sacar factor común
Hazlo tú. Dadas las matrices A =
e o (^) B =
e o (^) C =
e o , halla la matriz X que verifica:
AX – A = B – C
AX – A = B – C → A ( X – I ) = B – C
Multiplicamos en los dos miembros por A –1^ a la izquierda:
X – I = A –1^ ( B – C ) → X = I + A –1^ ( B – C )
A –1^ =
e o (^) =e o (^) B – C =
e o e o e o
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas guiados
Página 74
1. Matriz inversa igual a traspuesta
Dada la matriz A =
a b 0
f p , calcular los valores de a y b para que la matriz inversa de A coin-
cida con su traspuesta.
A –1^ = A t^ → AA –1^ = AA t^ → I = AA t
a b 0
f p →^ A^ t^ =
a b 0 0
f p
A · A t^ =
a b 0
f p ·
a b 0 0
f p =
a ab
ab b 0
2 f 2 + p
a ab
ab b
a ab b
a b 0
2 2
2
2
f p (^) f p * = =
2. Ecuación con matrices
Hallar una matriz X tal que AX + B = I, siendo A =
e o y B =
e o.
Método 1
a c
b d
e o e o + e o =e o → a c a c
b d b d
e o + e o =e o →
a c c a
b d b d
a c b d c a b d
e o e o (^) * →
→ a = –1, b = 1, c = 1, d = –1 → X =
e o
Método 2
AX + B = I → AX = I – B → X = A –1^ ( I – B )
e o –^1 =e o
e o (^) >e o e oH (^) = e o e o (^) =e o
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3. Ecuación matricial
Determinar la matriz X que verifique AXA – B = 0, siendo:
A =
e o , B =
e o
y 0 la matriz nula de orden 2.
AXA – B = 0 → AXA = B → X = A –1^ BA –
Hallamos la inversa de A :
3 2
e o
(1.ª) 3 · (2.ª) + 2 · (1.ª)
e o
(1.ª) + (2.ª) (2.ª)
e o
(1.ª)/ –(2.ª)
e o (^) → A –1^ =
e o
e o e o e o =e o
4. Rango de una matriz
Estudiar el rango de la matriz M según los valores del parámetro t.
M = (^) f t t
p
M = t t
f p
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª)
t t
f p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + 3 · (2.ª)
t
f – p
La tercera fila es L.D. de las otras dos, luego el rango no es 3.
Las dos primeras filas son L.I., independientemente del valor de t , luego ran ( M ) = 2 para cualquier valor de t.
5. Ecuación con infinitas soluciones
Dadas las matrices A =
e o (^) y B =
e o , hallar una matriz X tal que XAX–1^ = B.
Llamamos X =
a c
b d
e o (^).
a c
b d
BX
a c
b d a c
b d
a c a c
b d b d
f
f
e
f
f
f
p
p
o
p
p
p
4 Igualando obtenemos un sistema de ecuaciones.
a a c x a c b b d d b d
a a c c a c c a
b b d d b d b^ d
4
Soluciones: X = (^) ( / )
a a
b 2 3 b f p
De todas las posibles soluciones, podemos tomar a = 3 y b = 1, y obtenemos X =
e o (^).
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
d) ( A + B )( A – B ) = · ·
e) A^2 – B^2 =
2 2 e o e o = e o e o =e o
f ) ( A + B )^2 =
(^2 )
g) A^2 + B^2 + 2 AB = ·
e o + e o + e o e o = e o + e o =e o
3 Dada la matriz cuadrada A = (^) f
p, comprueba que ( A^ +^ I^ )^2 = 0 y expresa^ A^2 como
combinación lineal de A e I****.
f p +^ f p =f p ( A^ +^ I^ )^2 =^ ·
f p f p =f p
Expresamos A^2 como combinación lineal de A e I : ( A + I )^2 = 0 → ( A + I ) · ( A + I ) = A 2 + A + A + I = A^2 + 2 A + I = 0 → A^2 = –2 A – I
4 Dada la matriz A =
e o , averigua cuál de las siguientes matrices es su inversa:
e o (^) N =
e o
e o e o (^) =e o (^). M no es inversa de A.
e o e o (^) =e o (^). N es la inversa de A.
5 Halla las matrices inversas de A =
e o , B =
e o (^) y C = (^) f
p.
e o (^) ; | B | = – 4 → B –1^ = / /
e o (^) ; | C | = 1 → C –1^ =
f p
6 a) Dada la matriz A = (^) f
p, prueba que^ A^3 es la matriz nula.
b) Demuestra después que la matriz I + A + A^2 es la matriz inversa de I – A****.
a) A^2 =
f p ;^ A^^3 =^ A^^2 ·^ A^ =
f p
b) Veamos que I + A + A^2 es la inversa de I – A : ( I + A + A^2 ) ( I – A ) = I – A + A – A^2 + A^2 – A^3 = I – A^3 = I – 0 = I Como ( I + A + A^2 ) · ( I – A ) = I , entonces I + A + A^2 es la inversa de I – A.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
7 a) Comprueba que A^2 = 2 A – I , siendo A = (^) f
p e^ I^ la matriz unidad de orden 3.
b) Utiliza la igualdad anterior para calcular A^4. a) A A · A
= (^) f =
f
p f f
p
p p
4 A^
b) Calculamos A^4 : A^4 = ( A^2 )^2 = (2 A – I )^2 = (2 A – I )(2 A – I ) = 4 A^2 – 2 A – 2 A + I^2 =
= 4(2 A – I ) – 4 A + I = 8 A – 4 I – 4 A + I = 4 A – 3 I =
f p f p =^ f p f p =f p
8 Dada la siguiente matriz: A =
f –^ – p ,^ prueba que se verifica^ A^3 +^ I^ = 0^ y utiliza esta
igualdad para obtener A^10.
2 f p =f p
f p f p =f p
f p +^ f p =f p →^ A^3 = – I
Por tanto:
A^4 = – I · A = – A A^5 = – A · A = – A^2
A^6 = – A^2 · A = – A^3 = I A^7 = A
A^10 = A^7 · A^3 = A · (– I ) = – A
