TALLER
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
TATIANA SILVERA RACEDO
NRC: 000843651
Administración de empresas, Facultad de ciencias empresariales, corporación universitaria Minuto de Dios
ALGEBRA LINEAL
EDNA ROCIO FORERO DELGADO
Enero 28 de 2023
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Solución de sistemas de ecuaciones lineales, Ejercicios de Álgebra Lineal
Un taller sobre la solución de sistemas de ecuaciones lineales, abordando temas como la regla de Cramer, métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, y su aplicación en la administración y economía. Además, se incluyen ejercicios para resolver sistemas de ecuaciones lineales. útil para estudiantes de álgebra lineal y matemáticas aplicadas.
Tipo: Ejercicios
2022/2023
1 / 18
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TALLER
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
TATIANA SILVERA RACEDO
NRC: 000843651 Administración de empresas, Facultad de ciencias empresariales, corporación universitaria Minuto de Dios ALGEBRA LINEAL EDNA ROCIO FORERO DELGADO Enero 28 de 2023
INTRODUCCIÓN
Una ecuación lineal es aquella cuya variable o incógnitas, tiene como máximo exponente 1, y se les llama lineales por la razón de que al graficar o representarlas en un plano cartesiano generan líneas rectas. Los sistemas de ecuaciones lineales tienen como conjunto solución todos los pares ordenados (x, y), que satisfacen la ecuación, donde x y y son números reales. Las ecuaciones lineales son usadas desde las aplicaciones más básicas de la vida cotidiana, hasta las aplicaciones más elaboradas de procesos tecnológicos permitiendo realizar cálculos acertados y precisos a la hora de requerir los datos necesarios para cualquier operación. Complementando las ecuaciones lineales con las rectas resultantes y aprendiendo a asociarlas en planos de 2 y 3 dimensiones es posible visualizar las situaciones más complejas haciendo el uso adecuado de las diferentes herramientas existentes para poner en práctica los conocimientos adquiridos en el desarrollo de las competencias relacionadas con estos temas.
ecuaciones por números que hagan posible la anulación de una de las variables. (Matesfacil.com, s.f.) Método gráfico. El método gráfico consiste en representar las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución. La solución del sistema es el punto de intersección entre las gráficas. La razón de ello es que las coordenadas de dicho punto cumplen ambas ecuaciones y, por tanto, es la solución del sistema. El método gráfico aprovecha que cada una de las ecuaciones del sistema representa una recta en el plano, entonces la idea será graficar estas rectas y buscar el punto en el que se cruzan. Al seguir este procedimiento, se obtiene la solución buscada o se comprueba que no existe tal solución. El método gráfico da una idea visión global del comportamiento, y puede sernos útil para encontrar la solución cuando las rectas se cruzan en valores enteros fácilmente
identificables en el plano, pero en general, no es tan útil. (Bunam, s.f.)
Método de Gauss El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver. Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican. (WikilleratO, 2014) Método de la matriz inversa Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial: Si existe, es decir, si es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por , para obtener: Que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes y matriz de términos independientes.
Regla de Cramer Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que sea cuadrado significa que el número de incógnitas y el número de ecuaciones coincide. (WikilleratO, 2014) Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema difícil en uno más fácil) A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas. Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utiliza un método (el de reducción, por ejemplo) y que, en el siguiente paso, se utiliza otro método (el de igualación, por ejemplo). Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta incógnita por su solución para obtener así ecuaciones con menos incógnitas. Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados. Estos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilización de cualquiera de ellos conduciría, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo: El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado. (WikilleratO, 2014) ¿Un sistema de ecuaciones de primer grado puede solucionarse empleando métodos diferentes a los del álgebra básica? Una ecuación de primer grado es una ecuación cuya solución viene dada por Primero, el producto de sus variables (en este caso, x), y el valor medio de sus fórmulas integrales, como la matriz integral. Una ecuación de segundo grado es lo contrario de su homóloga de primer grado. El sistema de ecuaciones: es el procedimiento de hallar solución a una gama de variables que se encuentran restringidas a un conjunto numérico específico, los valores de una ecuación son denominados raíces de la ecuación que llamamos incógnitas. Existen varios
EJERCICIOS, SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, usando el método de eliminación o reducción.
3. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, usando el método de igualación:
4. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, usando el método gráfico. Puede usar un simulador web para su solución. Recuerde incluir todos los elementos de una gráfica matemática.
CONCLUSIÓN
En conclusión, la aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales es muy utilizada en todas las ramas de la ciencia para el modelado de fenómenos cotidianos. Un ejemplo es la programación lineal, que se sigue usando en campos de economía, negocios, administración pública, industria, sociología e ingeniería. Muchas empresas y gobiernos utilizan con buenos resultados sus métodos y técnicas para mejorar la toma de decisiones. Una aplicación específica de los sistemas de ecuaciones lineales en la rama de la economía es en el estudio de los modelos de mercado de renta nacional. Se trata de la descripción matemática del comportamiento de la renta de un país. Las variables que se involucran en el modelo son generalmente de carácter macroeconómico (renta del país, impuestos, gasto público, etc.), y están relacionadas en forma lineal. Se trata de modelos de extrema sencillez que, aun cuando resultan escuetos para describir un comportamiento tan sofisticado como el que describe la renta de un país, tienen mucho interés pedagógico como un primer paso para acercarse al estudio de modelos más elaborados. Por ejemplo, en varias ocasiones las soluciones de estos modelos estáticos en los que no aparece dependencia temporal surgen como los valores límite de las soluciones de modelos dinámicos, es decir, de aquéllos en cuya formulación se considera la variable tiempo.