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Series de potencias
A la expresión de la forma:
0 + 1 ( − ) + 2 ( − )^2 + + ( − )^ + =
+P∞
=
se le da el nombre de serie de potencias centrada en . Ejemplos: +P∞ =
+P∞
=
( − 1)^
+P∞
=
(+2) !
La serie de potencias puede ser también interpretada como una función de
() =
+P∞
=
cuyo dominio son todos los ∈ R para los cuales la serie numérica es convergente y el valor de () es precisamente la suma de la serie en ese punto . Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más aún, su función derivada es, otra vez, una serie de potencias.
Lo que se pretende ahora, es averiguar cuál es el dominio de una serie de potencias. Debemos de tener en cuenta,
que el centro de la serie , siempre está en él, ya que () =
+P∞
=
( − )^ = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + = 0
Podrá ocurrir que la serie solo sea convergente en = , pero, en general, el dominio donde será convergente resultará ser un intervalo. Para ello, veamos el siguiente teorema.
Teorema Sea
+P∞
=
( − )^ una serie de potencias. Entonces se cumple una, y solo una, de las tres afirmaciones siguientes:
- La serie solo converge en = .
- Existe 0 de manera que la serie converge (absolutamente) si | − | y diverge si | − | .
- La serie converge para todo ∈ R.
Este número es llamado el radio de convergencia de la serie. Así pues, si la serie converge solamente en , entonces = 0: Si la serie converge para todo real , entonces = +∞. Por tanto el dominio o campo de convergencia de una serie de potencias es siempre un intervalo, ocasionalmente un punto, que llamaremos intervalo de convergencia. Observación Notar que el teorema anterior, no dice nada respecto de la convergencia en los extremos del intervalo de convergencia, − y + . Para ellos hará falta hacer un análisis independiente. Para calcular el radio de convergencia , se pueden emplear diferentes métodos. Uno de los más utilizados es el criterio del cociente. Con este criterio el radio de convergencia sale
= (^) →l´ım+∞
¯¯^
Otro criterio comúnmente utilizado es el criterio de la raíz.Con este otro criterio el radio de convergencia sale
=
→l´ım+∞^
p ||
Ejemplo: Hallar el radio y el intervalo de convergencia de las siguientes series:
+P∞
=
(− 2 )( − 3)^ Radio de convergencia 12 Intervalo de convergencia ( 52 72 ].
+P∞ =
!^ Radio de convergencia 0 Intervalo de convergencia { 0 } (solo converge en el punto 0 , el punto central de la serie). +P∞ =
^2 + 2 ^2 +1^ (^ + 2)
(^) Radio de convergencia ∞ Intervalo de convergencia R
+P∞ =
^3 4 ^ (^) Radio de convergencia 4 Intervalo de convergencia (− 4 4)
Teorema Consideremos la función definida como una serie de potencias
() =
+P∞
=
con radio de convergencia positivo. Entonces es integrable en el intervalo de convergencia, y continua y derivable en todo punto del interior, y además Z () =
+P∞
=
+P∞
=
( − )−^1
teniendo estas series también el mismo radio de convergencia que la serie original. Este resultado se suele enunciar diciendo que la serie se deriva e integra término a término.
Ejemplo: Consideremos la función definida mediante la serie de potencias
() =
+P∞
=
Está centrada en el origen. Es una sencilla cuestión determinar que el intervalo de convergencia es [− 1 1) (y por tanto su radio de convergencia es 1 ). Su derivada vale
0 () =
+P∞
=
−^1 = 1 + + ^2 + =
+P∞
=
que es otra serie de potencias del mismo radio de convergencia 1. Fácilmente deducimos que el intervalo de convergencia es (− 1 1). Además para todo de este intervalo se tiene que la serie anterior es la serie geométrica de razón . Por tanto 0 () =
+P∞
=
^ = 1
y deducimos pues que () =
R 1
1 − ^ =^ −^ log(1^ −^ ). Añadiremos finalmente que la serie integral de converge en [− 1 1].
Propiedad: Las series tienen carácter lineal en su intervalo de convergencia. Esto se traduce en que se pueden sumar dos series término a término y se puede multiplicar una serie por un número, también término a término.
Si hasta ahora tomábamos una serie de potencias y después la veíamos como una función, ahora, para finalizar esta sección, vamos a abordar el problema inverso. Dada una función, se trata de encontrar una serie de potencias que la defina. Pero este problema se resuelve (al menos localmente para funciones infinitamente derivables) con los conocidos desarrollos de Taylor.
