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Series de Fourier Curso 15 ‐ 16
Cálculo II
Prácticas Matlab
Práctica 9 (19/04/2016)
Objetivos
Obtener series de Fourier de funciones periódicas.
Visualizar gráficamente la aproximación de una función periódica a partir de una suma
finita de armónicos.
Comandos de Matlab
1.‐ Para calcular la integral definida de una función, f(x), en el intervalo [a,b].
int(f,a,b) Ejemplo:
syms x int(log(x),x,1,2);
2.‐ Para representar segmentos verticales
stem(vectorI,vectorF) Ejemplo: X = linspace(0,2pi,50)'; Y = [cos(X), 0.5sin(X)]; stem(X,Y)
3.‐ Para crear una matriz de unos
ones(size(t)) ones(N) Ejemplo: t=linespace(2,5,10) ones(size(t)) %Define una matriz de unos de la misma dimensión que t &en este ejemplo un vector de dimensión 10 ones(2) %Define una matriz 2x2 con todos unos.
PÁGINA 2 MATLAB: SERIES DE FOURIER
Ejercicios
Considera la función periódica de periodo 2 siguiente
x si x
f x
si x
^
^ ^
(a) Calcula los coeficientes de la serie de Fourier.
(b) Escribe la serie de Fourier de f x e indica dónde es convergente.
(c) Calcula el valor de la suma de la serie
2 1
n 2 n 1
utilizando^ la^ serie^ de
Fourier obtenida en el apartado anterior. Comprueba con matlab el valor de la suma obtenida. (d) Considera la suma de los diez primeros armónicos y representa la gráfica de la función junto con la gráfica de la suma de estos armónicos.
Apartado a)
syms n t p=pi; w=pi/p; %a0=(int(0t,t,-p,0)+int(t,0,p))/p a0=int(t,0,p)/p %an=(int(0cos(nwt),t,-p,0)+int(tcos(nwt),t,0,p))/p an= int(tcos(nwt),t,0,p)/p %bn=(int(0sin(nwt),t,-p,0)+int(tsin(nwt),t,0,p))/p bn=int(tsin(nw*t),t,0,p)/p
Apartado b)
Se cumple que
^
1
2 1
cos 2 1 sen
n
n
f x n x nx
n n
para^ los
valores de x que en el conjunto k / k .
Apartado c)
2 2 1
n^2 n^18
.^ Basta^ darse^ cuenta^ que
2 2 2 2 1 1 1
n n n
f
f n n
n
^
^ ^
^
Puedes comprobarlo en Matlab escribiendo
symsum(1/(2*n-1)^2,n,1,inf)
PÁGINA 4 MATLAB: SERIES DE FOURIER
(b) Escribir el código Matlab para representar el espectro de complejo de
amplitud de la onda extensión periódica de la función g( ) x (es decir la
gráfica resultante de representar la amplitud frente a la frecuencia angular
Indicación apartado a)
Como la función es par solo tiene términos en coseno. En forma compleja, los cálculos de los coeficientes son:
1/2 1/4 2 1/ 2 2 2 2
1/2 1/4 1/
sen
i n^ in i nx i n x i n x n
e e e n
c f x e dx e dx
n i n i n
(^)
1 4 1 4
c o (^) dx
Utiliza Matlab y comprueba que obtienes el mismo resultado.
Indicación apartado b)
w=2pi; n=-5:5; cn=abs(sin(npi/2)./(npi)); %Espectro de amplitud stem([0,n], [1/2,cn],'o') xlabel('Frecuencia (nw)') ylabel('|Cn|') %Representación de la envolvente hold on t=-5:0.1:5; ct=abs(sin(tpi/2)./(t*pi)); plot(t,ct,'r')
El desarrollo en serie de Fourier de la función
x
f x
x
^ ^
^ ^
es:
__ A) 1
1 3 sen(2 1)
4 n 2 1
n x
n
__^ B) 1
1 3 sen 2
4 n 2
nx
n
(^)
__ C)
1
1 3 sen(2 1)
4 n 2 1
n x
n
__ D) Ninguna de las anteriores.
MATLAB: PRÁCTICA 9 PÁGINA 5
A partir de la serie de la función f ( ) x 2 x para x . Se puede
deducir que la suma de la serie numérica
1
1
n
n n
^
es:
__ A) / 4. __ B) / 4. __ C) / 2 __ D) Ninguna de las anteriores.
Sabiendo que el desarrollo de Fourier de la función
x
f x
x
^ ^ ^
es 0
sen(2 1)
n^2
n x
n
,
justificar si las afirmaciones de los apartados a) y b) son ciertas o falsas.
(a) La serie de Fourier de la función
x
g x
x
^ ^ ^
es
0
2sen(2 1)
n^2
n x
n
b) Se cumple 0
n
n n
Resumen de comandos
Estos son los comandos utilizados en esta práctica que se darán por conocidos en las prácticas siguientes y que conviene retener porque se podrán preguntar en las distintas pruebas de evaluación.
Para calcular una integral de forma simbólica: int Para calcular una integral de forma simbólica: stem Define una matriz de unos: ones
