Los números enteros desde un punto de vista abstracto - Prof. Camacho, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

¡Descarga Los números enteros desde un punto de vista abstracto - Prof. Camacho y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Los números reales y el infinito

Carlos Uzcátegui Aylwin

Departamento de Matemáticas

Facultad de Ciencias

Universidad de Los Andes

uzca@ula.ve

Versión: Marzo 2011

ii

• 1. Los Números Racionales Prólogo v
  • 1.1. Los enteros desde un punto de vista abstracto
    • 1.1.1. Las propiedades algebraicas de los enteros
    • 1.1.2. Propiedades de la suma
    • 1.1.3. Propiedades de la multiplicación
    • 1.1.4. Propiedades del orden
  • 1.2. Los números racionales
  • 1.3. La ecuación ax + b = c
  • 1.4. El orden en Q
  • 1.5. Subconjuntos densos de Q
    • 1.5.1. El juego ∀ ∃
    • 1.5.2. Un ejemplo de subconjunto denso de Q
• 2. Los Números Reales
  • 2.1. Las propiedades básicas de R
  • 2.2. La ecuación x^2 − 2 =
  • 2.3. El axioma de completitud
  • 2.4. La propiedad Arquimediana
  • 2.5. Incompletitud de Q
  • 2.6. La ecuación x^2 = a
  • 2.7. La ecuación xn = a
  • 2.8. Los números irracionales
  • 2.9. Q es denso en R
  • 2.10. Subconjuntos densos de R
  • 2.11. Propiedades del supremo y del ínfimo
• 3. Relaciones
  • 3.1. El producto Cartesiano
    • 3.1.1. Algunas propiedades del producto cartesiano
  • 3.2. Relaciones
  • 3.3. Relaciones reflexivas, simétricas y transitivas
  • 3.4. Grafos y Digrafos
  • 3.5. Aplicaciones de los grafos
    • 3.5.1. El problema de los puentes de Königsberg iv ÍNDICE GENERAL
    • 3.5.2. El problema “Agua, Luz y Teléfono”
    • 3.5.3. El problema de los cuatro colores
• 4. Funciones
  • 4.1. El concepto de función como relación
    • 4.1.1. Representación gráfica de funciones
    • 4.1.2. Funciones por partes y funciones características
  • 4.2. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
    • 4.2.1. Funciones inyectivas
    • 4.2.2. Funciones sobreyectivas
    • 4.2.3. Funciones biyectivas
  • 4.3. Composición de funciones
  • 4.4. La función inversa
  • 4.5. La imagen y la preimagen de un conjunto
• 5. Cardinalidad
  • 5.1. Conjuntos finitos y métodos de conteo
    • 5.1.1. Cardinalidad del conjunto potencia
    • 5.1.2. Cardinalidad del producto Cartesiano
  • 5.2. Conjuntos equipotentes
  • 5.3. Algunos ejemplos importantes
    • 5.3.1. Operaciones generalizadas
  • 5.4. Conjuntos infinitos
  • 5.5. El teorema de Schröder-Bernstein
    • 5.5.1. Demostración del teorema de Schröder-Bernstein
  • 5.6. Conjuntos numerables
  • 5.7. Aplicaciones del teorema de Schröder-Bernstein
  • 5.8. R no es numerable
    • 5.8.1. Algunos subconjuntos de R que tampoco son numerables
  • 5.9. ¿Cuál es el tamaño de R?
  • 5.10. El teorema de Cantor
  • 5.11. ¿Cómo se construyen los reales?
    • 5.11.1. Construcción de Q.
    • 5.11.2. Construcción de R.

Prólogo

En estas notas trataremos dos grandes temas: Los mentados en el título. Para estudiar los números reales es necesario conocer las propiedades de los racionales y para esto es a su vez necesario comprender a los números enteros. Por esto comenzaremos en el capítulo 1 analizando las propiedades algebraicas de los enteros y los racionales. También estudiaremos las propiedades que posee el orden de los racionales, pues la diferencia principal entre los racionales y los reales se refleja en el orden. En el capítulo 2 estudiaremos a los reales. El énfasis se hará en el uso de la propiedad del supremo para mostrar algunas de las propiedades más importantes de R.

El capítulo 1 tiene además otro propósito. Queremos que el lector experimente, quizá por primera vez, con demostraciones simbólicas formales. Es decir, argumentos lógicos presen- tados secuencialmente donde cada proposición en la demostración debe estar rigurosamente justificada. Esto sólo lo haremos en una parte del capítulo 1, el resto del texto estará escrito en el estilo usual en matemáticas, que sin dejar de ser riguroso y formal, no se ciñe a ese esquema estricto de las demostraciones de la lógica simbólica.

Esperamos que los capítulos 1 y 2 ayuden a completar la introducción a las herramientas de la lógica y a los fundamentos de los sistemas numéricos hecha en [6].

El segundo tema que queremos tratar es el concepto de infinito. Para hacerlo es natu- ralmente necesario estudiar primero a las funciones. Esto es por sí mismo un objetivo muy importante, pues las funciones son una herramienta imprescindible para todos los cursos de matemáticas. En el capítulo 3 hacemos una breve introducción de la relaciones binarias para poder introducir el concepto de función como un tipo particular de relación binaria. Finalmente, en el capítulo 5 estudiamos el concepto de cardinalidad. Queremos que el lector se familiarize con las propiedades básicas de los conjuntos infinitos, en particular que pueda distinguir los conjuntos numerables y conozca que la recta no tiene el mismo tamaño que los números racionales.

Estas notas fueron escritas entre los años 1997 y 1999 y desde entonces han sido objeto de varias revisiones. En varios momentos de su elaboración hemos consultado los libros [1, 2, 4, 5]. Deseo agradecer a los profesores Hernando Gaitán, Olga Porras, Oswaldo Araujo, Giorgio Bianchi, Claribet Piña, Carlos Parra y José Luis Chacón por las observaciones y sugerencias que han hecho sobre estas notas. También quiero agradecer los comentarios hechos por los estudiantes que las usaron, algunas de sus preguntas fueron incorporadas como ejercicios. Este es un trabajo no concluido que es revisado periodicamente, los comentarios y sugerencias pueden ser enviados a la dirección electrónica del autor: uzca@ula.ve.

v

Capítulo 1

Los Números Racionales

En este capítulo estudiaremos los números racionales, es decir, los números que se obtienen como cociente de dos enteros. Presentaremos las propiedades algebraicas de los racionales, esto es, las que satisfacen las operaciones de suma y multiplicación. Comenzaremos presen- tando las propiedades de los enteros, éstas nos servirán de modelo para analizar la de los racionales. Como veremos, para entender mejor a los racionales, además de sus propiedades algebraicas, también debemos estudiar las propiedades del orden. Esto será de crucial im- portancia para comprender la diferencia entre el conjunto de los números racionales y el de los números reales.

1.1. Los enteros desde un punto de vista abstracto

Antes de explicar qué haremos en esta sección creemos conveniente presentar un ejemplo que ilustre lo que queremos hacer. Considere la siguiente ecuación en dos variables x e y:

4 x + 5 − y = 4y − x + 5

Por el procedimiento que el lector debe conocer bien, de la igualdad anterior se concluye que

4 x + x = 4y + y + 5 − 5.

Por lo tanto 5 x = 5y

y en consecuencia x = y.

Le pedimos al lector que analice lo que acabamos de hacer y explique porqué estos cálculos son correctos. Es decir, determine cuáles principios lógicos y cuáles propiedades poseen los números que garanticen la validez de la conclusión final, es decir, que x = y. El objetivo de esta sección es precisamente aislar esas propiedades de los números y mostrar cómo ellas garantizan que razonamientos similares al anterior son correctos. Para esto, estudiaremos a los números desde un punto de vista abstracto y formal. Esperamos que el estudiante experimente con demostraciones formales de teoremas sobre los enteros basados exclusivamente en sus propiedades algebraicas.

2 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES

1.1.1. Las propiedades algebraicas de los enteros

Lo primero que debemos decir es que el sistema de los números enteros consiste de un conjunto Z y de dos operaciones: + y ·. Estas operaciones se dicen que son internas, pues el resultado de sumar o multiplicar dos enteros es un entero. A continuación damos una lista de las propiedades básicas que satisfacen las operaciones de suma y multiplicación. Las letras a, b y c denotarán enteros.

P1 a + (b + c) = (a + b) + c (Ley asociativa para la suma).

P2 a + b = b + a (Ley conmutativa para la suma).

P3 Existe un entero que denotaremos por 0 tal que d+0 = d para todo entero d. (Existencia de elemento neutro para la suma).

P4 Para cada entero x existe otro entero y tal que x + y = 0 (Existencia de elemento inverso con respecto a la suma).

P5 a · (b · c) = (a · b) · c (Ley asociativa para la multiplicación).

P6 a · (b + c) = a · b + a · c (Ley distributiva para la suma y la multiplicación).

P7 a · b = b · a (Ley conmutativa para la multiplicación).

P8 Existe un entero que denotaremos por 1 tal que d · 1 = d para todo entero d (Existencia de elemento neutro para la multiplicación) y 0 6 = 1.

Muchas de las propiedades algebraicas de los enteros se pueden deducir a partir de estas ocho propiedades junto con las leyes de la lógica. Ilustrar este hecho es el objetivo principal de esta sección. Las demostraciones las presentaremos de una manera que, podríamos decir, es “rigurosa”. En matemáticas se dá mucha importancia a los argumentos rigurosos, por éstos entenderemos aquellos argumentos de gran precisión y exactitud tanto lógica como conceptual. Lo característico de este método es el señalar con precisión los principios y leyes usados para justificar los argumentos presentes en las demostraciones.

1.1.2. Propiedades de la suma

Para iniciar nuestro estudio formal de las propiedades de la suma daremos una justifi- cación de la ley de cancelación.

Proposición 1.1. (Ley de cancelación para +) Dados enteros a, b y c tales que b + a = c + a se cumple que b = c.

Demostración: Fijemos a, b y c. En lo que sigue denotaremos por d al inverso aditivo de a dado en la propiedad P4, es decir, d satisface que a + d = 0.

4 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES

(1) (a + b) + c = c + (a + b) P (2) a + b = b + a P (3) c + (a + b) = c + (b + a) De (2) y C (4) c + (b + a) = (c + b) + a P (5) (a + b) + c = (c + b) + a De (1), (3) y (4) e I 2

Ejemplo 1.3. Para ilustrar lo engorroso que sería mencionar el uso de los principios I1, I2, I3, C1 y C2 daremos una prueba de la ley de cancelación para la suma donde haremos explícito el uso de ellos.

(1) b + a = c + a Hipótesis. (2) (b + a) + d = (c + a) + d De (1) por C1, donde d es el inverso de a dado por P (3) b + (a + d) = (b + a) + d Por P (4) c + (a + d) = (c + a) + d Por P (5) b + (a + d) = (c + a) + d De (2) y (3) por I (6) b + (a + d) = c + (a + d) De (4) y (5) por I2 y I (7) a + d = 0 Por P4 pues d es el inverso de a fijado en (2) (8) b + (a + d) = b + 0 De (7) por C (9) b + 0 = b Por P (10) b + (a + d) = b De (8) y (9) por I (11) c + (a + d) = c + 0 De (7) por C (12) c + 0 = c Por P (13) c + (a + d) = c De (11) y (12) por I (14) b + (a + d) = c De (6) y (13) por I (15) b = c De (10) y (14) por I2 y I 2

Observación: Una de las ventajas que tiene esta forma de presentar las demostraciones es que los principios lógicos y matemáticos en que se basan los argumentos quedan completa- mente especificados. Al contrario de lo que ocurre en las presentaciones mas informales de las pruebas, donde el uso de esos principios puede pasar desapercibido. Para acortar la longitud de las demostraciones algunos pasos serán abreviados. Una diferencia importante entre los principios I2, I3, C1, C2 y el resto, es que los primeros se expresan por medio de proposiciones condicionales. Por esta razón, cada vez que hagamos uso de ellos, debemos señalar la línea (o las líneas) de la demostración donde se verificó la premisa. Por ejemplo, la línea (5) se justificó con I3 y tuvimos que señalar que las líneas (2) y (3) contienen la premisa de I3:

b + (a + d) = (c + a) + d premisa

c + (a + d) = (c + a) + d premisa

b + (a + d) = c + (a + d) conclusión

1.1. LOS ENTEROS DESDE UN PUNTO DE VISTA ABSTRACTO 5

El lector podrá comprobar que las únicas líneas que en su justificación se requiere mencionar una (o algunas) de las líneas anteriores son aquellas que hacen uso de I2, I3, C1 o C2.

Mostraremos a continuación que el inverso aditivo de un entero (como lo indica la propiedad P4) es único. El esquema que seguiremos ocurre con frecuencia y le recomen- damos al lector que le ponga atención: Supondremos que un entero a tiene dos inversos aditivos b y d y después mostraremos que b = d.

Proposición 1.4. Sea a un entero, existe un único entero b tal que a + b = 0.

Demostración: Supongamos que b y d son enteros que satisfacen:

a + b = 0

a + d = 0

De lo anterior se concluye (usando I3) que

a + b = a + d.

Podemos ahora usar la proposición 1.1 y concluir que d = b.

2 Ya que cada entero tiene un único inverso, lo denotamos con un símbolo especial:

−a.

Observe el lector que si dos enteros a y b satisfacen que a + b = 0, entonces podemos concluir que b = −a (es decir, b es el inverso de a) y también que a = −b (es decir, que a es el inverso de b). Usualmente se escribe a − b en lugar de a + (−b).

A continuación mostraremos dos propiedades del inverso aditivo. El lector seguramente las conoce, lo interesante es que ellas se deducen de los principios básicos.

Proposición 1.5. Sean a y b enteros. Se tiene que (i) −(−a) = a, (ii) −(a + b) = −a − b. (iii) −0 = 0.

Demostración: Note el lector que (i) simplemente dice que el inverso de −a es a. En efecto, como a + (−a) = 0, de la unicidad del inverso concluimos que −(−a) = a.

Para establecer la validez de (ii), bastaría ver que −a − b es el inverso aditivo de a + b. En efecto,

1.1. LOS ENTEROS DESDE UN PUNTO DE VISTA ABSTRACTO 7

Observe el lector que en la línea (1) hemos usado otra versión de la ley distributiva: (b + c) · a = b · a + c · a. La cual se deduce de P6 y la ley conmutativa P7. 2

Mostraremos a continuación que el elemento neutro para la multiplicación es único.

Proposición 1.8. Supongamos que b es un entero tal que a · b = a para todo entero a. Entonces b = 1.

Demostración: Como a · b = a para todo a ∈ Z, en particular sustituyendo a por 1 tenemos que 1 · b = 1. Por P7 tenemos que 1 · b = b · 1 y en consecuencia por P8 e I3 tenemos que b = 1 · b. Por lo tanto b = 1. 2 Ahora queremos demostrar la ley de cancelación para la multiplicación. Es decir, quere- mos ver que si a 6 = 0 y a · c = a · b

entonces c = b. ¿Cómo razonaríamos informalmente para mostrar esta ley?. De la igualdad anterior se tiene que a · c − a · b = 0.

Por lo tanto, a · (c − b) = 0.

Como a se supone que no es igual a cero, entonces necesariamente c − b = 0, es decir c = b. Aquí hemos usado una propiedad importante de los números: si el producto de dos enteros es igual a cero, entonces alguno de ellos es igual a cero. Sin embargo, esta propiedad no se puede validar usando solamente los principios P1,..., P8. Por esta razón introduciremos otras propiedades. Denotaremos con el símbolo

Z+

al conjunto de los números enteros positivos. Las propiedades de los enteros positivos que serán fundamentales son las siguientes:

P9 (Ley de Tricotomía) Para todo número entero a se cumple una, y sólo una, de las siguientes afirmaciones:

1. a = 0.
2. a ∈ Z+.
3. −a ∈ Z+.

P10 Si a, b ∈ Z+, entonces a + b ∈ Z+.

P11 Si a, b ∈ Z+, entonces a · b ∈ Z+.

Proposición 1.9. Sean a y b enteros. Si a · b = 0, entonces a = 0 ó b = 0. 1

(^1) Como lo mencionamos anteriormente, la proposición 1.9 no se puede demostrar sin hacer uso de los

principios P9, P10 y P11. Esta afirmarción no es fácil de verificar. Piense el lector cómo puede uno mostrar que una proposición no se puede demostrar.

8 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES

Demostración: Mostraremos la contrarecíproca, es decir,

si a 6 = 0 y b 6 = 0, entonces a · b 6 = 0.

Por la tricotomía P9, tenemos que a ∈ Z+^ o −a ∈ Z+^ y análogamente b ∈ Z+^ o −b ∈ Z+. De esto se concluye que existen cuatro casos posibles: (i) a ∈ Z+, b ∈ Z+, (ii) a ∈ Z+^ y −b ∈ Z+, (iii) −a ∈ Z+^ y b ∈ Z+^ y finalmente (iv) −a ∈ Z+^ y −b ∈ Z+. Cada uno de estos cuatro casos hay que tratarlo por separado, pero de manera similar. Comencemos con el primer caso. (i) Si a ∈ Z+, b ∈ Z+, entonces por P11 se concluye que a · b ∈ Z+. Por lo tanto, por la tricotomía a · b 6 = 0. Supongamos ahora que se da el caso (ii). Si a ∈ Z+^ y −b ∈ Z+, entonces a · (−b) ∈ Z+ por P11. Como −(a · b) = a · (−b), entonces −(a · b) 6 = 0 (por P9). Por lo tanto a · b 6 = 0. En efecto, pues si a · b = 0, entonces −(a · b) = 0 (¿por qué?). Dejaremos a cargo del lector los dos casos restantes. 2

Ahora podemos verificar la ley de cancelación para la multiplicación.

Proposición 1.10. (Ley de cancelación para la multiplicación) Sean a, b y c enteros con c 6 = 0. Si a · c = b · c, entonces a = b.

Demostración: Supongamos que a · c = b · c y c 6 = 0. Entonces

(1) a · c = b · c Hipótesis (2) a · c + (−b) · c = b · c + (−b) · c De (1) y C (3) a · c + (−b) · c = (a + (−b)) · c Por P (4) b · c + (−b) · c = (b + (−b)) · c Por P (5) (b + (−b)) · c = 0 Por 1. (6) (a + (−b)) · c = 0 De (2), (3) y (4) e I (7) a + (−b) = 0 De (6) y la proposición 1. pues c 6 = 0 por hipótesis (8) a = b De (7). 2 Para finalizar esta sección, mostraremos ahora que

1 ∈ Z+.

En efecto, primero observemos que a partir de la proposición 1.7 se obtiene que

a · a = (−a) · (−a)

para cualquier entero a. En particular, esto nos dice que si a es un entero no nulo, entonces independientemente de si a pertenece o no a Z+, se tiene que a · a ∈ Z+. En consecuencia, como 1 6 = 0 y 1 · 1 = 1 (por P8), entonces 1 ∈ Z+.

10 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES

(1) b − a ∈ Z+^ Por hipótesis a < b (2) c − b ∈ Z+^ Por hipótesis b < c (3) (b − a) + (c − b) ∈ Z+^ De (1) y (2) y P (4) (b − a) + (c − b) = (c − b) + (b − a) Por P (5) (c − b) + (b − a) = ((c − b) + b) − a Por P (6) (c − b) + b = c + (−b + b) Por P (7) (c − b) + b = c De (6) por P3, P4 e I (8) (c − b) + (b − a) = c − a De (5), (6) y (7) por C1 e I (9) c − a ∈ Z+^ De (3), (4) y (8) por I (10) a < c De (9) y la definición de <

(iv) Sean a y b dos enteros, y consideremos el entero a − b. Por P9 una, y sólo una, de las siguientes alternativas se cumple: (1) a − b ∈ Z+, (2) a − b = 0 ó (3) −(a − b) ∈ Z+. Analicemos las tres alternativas por separado:

(1) Si a − b ∈ Z+, entonces b < a. (2) Si a − b = 0, entonces a = b (justifíquelo). (3) Finalmente suponga que −(a − b) ∈ Z+. Por la proposición 1.5(ii) tenemos que −(a − b) = −a − (−b) = −a + b = b − a y por lo tanto b − a ∈ Z+, es decir a < b.

(iii) Por reducción al absurdo, si a 6 = b, entonces de la hipótesis se tendría que a < b y b < a, pero esto contradice lo mostrado en (iv).

2

Observación: En la demostración de la parte (ii) de la proposición anterior hemos usado otro principio lógico, que por ser muy obvio pasa desapercibido. En la línea (9) de esa demostración concluimos que c−a ∈ Z+. Para hacerlo, nos basamos en que (b−a)+(c−b) = c−a y que (b−a)+(c−b) ∈ Z+. El principio que estamos usando (y que seguiremos haciendo sin mencionarlo) es el siguiente:

Sea C un conjunto. Si a ∈ C y a = b, entonces b ∈ C.

Ahora mostraremos que la suma y el orden de Z son compatibles.

Proposición 1.13. Sean a, b, c y d enteros.

(i) Si a < b, entonces a + c < b + c.

(ii) Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d.

(iii) Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c para todo entero c.

(iv) Si a ≤ b y c ≤ d, entonces a + c ≤ b + d.

Demostración:

1.1. LOS ENTEROS DESDE UN PUNTO DE VISTA ABSTRACTO 11

(i) Sean a y b enteros tales que a < b. Tenemos que (1) b − a ∈ Z+^ Por hipótesis a < b (2) −(a + c) = −a − c Por la proposición 1.5. (3) (b + c) − (a + c) = (b + c) + (−a − c) De (2) por C (4) (b + c) + (−a − c) = b − a Ver ejercicio 3e (5) (b + c) − (a + c) = b − a De (3) y (4) por I (6) (b + c) − (a + c) ∈ Z+^ De (1) y (5) (7) a + c < b + c De (6) por la definición de <

(ii) Sean a, b, c y d enteros tales que a < b y c < d. Tenemos que (1) b − a ∈ Z+^ Por hipótesis a < b (2) d − c ∈ Z+^ Por hipótesis c < d (3) (b − a) + (d − c) ∈ Z+^ De (1) y (2) por P (4) (b − a) + (d − c) = (b + d) − (a + c) Ver ejercicio 3f (5) (b + d) − (a + c) ∈ Z+^ De (3) y (4) (6) a + c < b + d De (5) por la definición de <

(iii) y (iv) se dejan como ejercicio.

2

La siguiente proposición trata de la compatibilidad de la multiplicación con el orden.

Proposición 1.14. Sea a, b, c enteros.

(i) Si a < b y c > 0 , entonces a · c < b · c. Además, si a ≤ b y c > 0 entonces, a · c ≤ b · c.

(ii) Si c < 0 y a < b, entonces bc < ac. Además, si a ≤ b y c < 0 , entonces bc ≤ ac.

Demostración: (i) Sean a, b y c enteros tales que a < b y 0 < c.

(1) b − a ∈ Z+^ Por hipótesis a < b (2) c ∈ Z+^ Por hipótesis 0 < c (3) (b − a) · c ∈ Z+^ De (1) y (2) por P (4) (b − a) · c = b · c − a · c Por P (5) b · c − a · c ∈ Z+^ De (3) y (4) (6) a · c < b · c De (5) por la definición de <

Dejaremos a cargo del lector el completar lo que resta de la demostración. 2

Los enteros tienen otra propiedad fundamental: el principio del mínimo entero positivo. Esta propiedad se expresa en un lenguaje diferente: el lenguaje de la teoría de conjuntos. Recordemos que n es el mínimo de un subconjunto A de Z, si n ∈ A y además n ≤ m para todo m ∈ A.

1.1. LOS ENTEROS DESDE UN PUNTO DE VISTA ABSTRACTO 13

4. Usando las definiciones de < y ≤ dadas en esta sección muestre lo siguiente:

a) Si 0 < a y b < 0 , entonces a · b < 0. b) Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. c) Si 0 < a y b < c, entonces ab < ac. d ) Si 0 < a y b ≤ c, entonces ab ≤ ac. e) Si ac < bc y 0 < c, entonces a < b. f ) Si a < 0 y b < c, entonces ac < ab. g) Si a < b y c ≤ d, entonces a + c < b + d. h) Si 0 < a < b y 0 < c < d, entonces ac < bd. i) Si a + b = d + c y a < d, entonces c < b. j ) Si a + b < d + c y c < b, entonces a < d. k ) Si a + b < d + c y c < b, entonces c + a < b + d. (Sugerencia: Muestre primero que a < d). l ) Si a > 0 y a · b > 0 , entonces b > 0.

5. Justifique, usando los principios vistos en esta sección, que si 4 x + 5 − y = 4y − x + 5, entonces x = y.
6. Considere la siguiente “demostración” de: si a = b, entonces 2 = 1. (0) a = b (1) a^2 = ab (2) a^2 − b^2 = ab − b^2 (3) (a + b)(a − b) = b(a − b) (4) a + b = b (5) 2 b = b (6) 2 = 1 Justifique cuáles de los pasos son correctos y determine donde está el error.
7. Considere la siguiente demostración: (1) a + b = b Por hipótesis. (2) (a + b) − b = b − b De (1) por C1 y P (3) b − b = 0 Por P (4) (a + b) − b = 0 De (2) y (3) por I (5) a + (b − b) = (a + b) − b Por P (6) a + (b − b) = 0 De (4) y (5) por I (7) a + (b − b) = a + 0 De (3) por C (8) a + 0 = a Por P (9) a + (b − b) = a De (7) y (8) por I (10) a = 0 De (6) y (9) por I2 y I ¿Puede decir cuál es la proposición que se demuestra?

14 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES

8. Demuestre que para todo entero k ∈ Z, se cumple que no existe un entero m tal que k < m < k + 1.

1.2. Los números racionales

Los números racionales son las expresiones de la forma m n con n y m números enteros y n 6 = 0. El conjunto de los números racionales se denotará con el símbolo Q. Algunos ejemplos de números racionales: 1 4

Recordemos que Z ⊆ Q, pues todo entero m se identifica con la fracción m 1. Por ejemplo, el 1 se identifica con la fracción 11 y el 0 con la fracción 01. Notemos que 28 y 14 representan al mismo número. Por esta razón, diremos que dos fracciones m n y p q son equivalentes si se cumple que mq = np.

En este caso, esas dos fracciones representan al mismo número racional. La suma y la multiplicación en Q se definen de la siguiente manera:

m n

p q

mq + np nq

m n

p q

mp nq

Si las propiedades P1, ..., P8 las entendemos como refiriéndose a números racionales en lugar de a números enteros, entonces se tiene que Q satisface P1, ..., P8. Como ilustración verificaremos que P2 y P8 se cumplen en Q y dejaremos el resto como ejercicio (ver ejercicio 3).

Para ver que P2 se cumple tenemos que verificar que la suma en Q es conmutativa. Observemos que m n

p q

mq + np nq

pn + qm qn

p q

m n

Para probar que P8 se cumple, basta mostrar que 1 es el elemento neutro de la mul- tiplicación. Observemos que m n

m · 1 n · 1

m n

Mostraremos que las operaciones de suma y multiplicación que hemos definido no depen- den de las fracciones representantes en el sentido expresado en el siguiente resultado.

Proposición 1.16. Sean n, m, p y q enteros, con n 6 = 0 6 = q. Supongamos que n′, m′, p′^ y q′^ son otros enteros tales que las fracciones m n y m ′ n′^ son equivalentes y las fracciones^

p q y^

p′ q′ también son equivalentes. Entonces