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Un capítulo de un curso sobre ecuaciones diferenciales en el que se explica el concepto de problemas de valor inicial (PVI), su definición, teoremas de existencia y unicidad, y cómo resolverlos mediante integración directa. Además, se incluyen ejemplos y ejercicios para practicar.
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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¡No te pierdas las partes importantes!
Antonio Acosta, PhD., Rodolfo Gallo, PhD.
Universidad de Investigaci´on Tecnol´ogica Yachay Tech aacosta@yachaytech.edu.ec rgallo@yachaytech.edu.ec
13 de octubre de 2021
(^1) Problemas de valor inicial Definici´on de un Problema de valor inicial Teorema de existencia y unicidad
(^2) Resoluci´on de una EDO de primer orden por integraci´on directa Resoluci´on de una EDO por integraci´on directa
Sabemos que en la mayor´ıa de las Edo’s se obtiene una familia de soluciones. Por ejemplo, la funci´on y = x^2 + c es una familia de soluciones de la edo y ′^ = 2x.
Sabemos que en la mayor´ıa de las Edo’s se obtiene una familia de soluciones. Por ejemplo, la funci´on y = x^2 + c es una familia de soluciones de la edo y ′^ = 2x.
0 -0.
1
x^2 + x^2 +0. x^2 -3/ x^2
Sabemos que en la mayor´ıa de las Edo’s se obtiene una familia de soluciones. Por ejemplo, la funci´on y = x^2 + c es una familia de soluciones de la edo y ′^ = 2x.
0 -0.
1
x^2 + x^2 +0. x^2 -3/ x^2
En la mayor´ıa de los casos estamos interesados en una soluci´on que satisfaga cierta condici´on dada. Por ejemplo en la edo y ′^ = 2x, estamos interesados en una soluci´on que satisfaga la condici´on
y (0) = 0, 5.
Este tipo de problemas, en el que se da una edo y una o varias condiciones en un mismo punto, se conoce como un problema de valor inicial.
Una ecuaci´on diferencial
dy dx = f (x, y ), (1) Sujeta a la condici´on y (x 0 ) = y 0 , (2)
se conoce como un problema de valor inicial de orden uno.
La funci´on y = −ex^ + 2 es soluci´on del PVI { y ′^ = y − 2 y (0) = 1
Verificar.
En muchas ocasiones estamos interesados en investigar la existencia y la unicidad de la soluci´on de un pvi.
dy dx
= f (x, y ) y (x 0 ) = y 0
Supongamos que la funci´on real f (x, y ) es continua en alg´un rect´angulo (a, b) × (c, d) del plano que contiene al punto (x 0 , y 0 ). Entonces el (PVI)
{ (^) dy dx = f (x, y ) y (x 0 ) = y 0
tiene al menos una soluci´on definida en alg´un intervalo abierto I ⊂ (a, b),
que contiene al punto x = x 0 (existencia). Si adem´as,
∂f ∂y es continua en
el rect´angulo entonces la soluci´on es ´unica (unicidad) en alg´un intervalo I 0 (I 0 ⊂ I ) que contiene al punto x = x 0.
Supongamos que la funci´on real f (x, y ) es continua en alg´un rect´angulo (a, b) × (c, d) del plano que contiene al punto (x 0 , y 0 ). Entonces el (PVI)
{ (^) dy dx = f (x, y ) y (x 0 ) = y 0
tiene al menos una soluci´on definida en alg´un intervalo abierto I ⊂ (a, b),
que contiene al punto x = x 0 (existencia). Si adem´as,
∂f ∂y es continua en
el rect´angulo entonces la soluci´on es ´unica (unicidad) en alg´un intervalo I 0 (I 0 ⊂ I ) que contiene al punto x = x 0.
El teorema no dice como hallar la soluci´on.
Compruebe que el PVI (^) { y ′^ = y − 2 y (0) = 1
satisface las hip´otesis del teorema de existencia y unicidad, por lo tanto, tiene soluci´on ´unica.
Compruebe que el PVI (^) { y ′^ = y − 2 y (0) = 1
satisface las hip´otesis del teorema de existencia y unicidad, por lo tanto, tiene soluci´on ´unica.
Compruebe que el PVI (^) { dy dx =^ xy^
1 / 2 y (x 0 ) = y 0
Con x 0 ∈ R (cualquiera) y y 0 > 0 tiene soluci´on ´unica.
La EDO dydx = g (x), donde g es una funci´on, se resuelve por integraci´on:
dy dx
= g (x) ⇒ y =
g (x)dx + C , C ∈ R.
La EDO dydx = g (x), donde g es una funci´on, se resuelve por integraci´on:
dy dx
= g (x) ⇒ y =
g (x)dx + C , C ∈ R.
Una ecuaci´on del tipo dy dx
= f (y ) ,
no puede resolverse integrando, con respecto a x, ambos miembros. Este tipo de ecuaci´on es un caso particular de lo que se denomina una ecuaci´on a variables separables.
