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Unidad 1 - SEL
Definición de una ecuación lineal en n variables
Preguntas importantes:
Existencia y unicidad: ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales o SEL? Es un conjunto finito de ecuaciones lineales, es decir ecuaciones de primer grado (ecuaciones cuyo mayor exponente es 1), con una cantidad finita de incógnitas al que se le busca una solución en común de todas las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones. Ejemplo: ¿Cómo se pueden clasificar los SEL? Se clasifican dependiendo la cantidad de soluciones que cumplan para todo el sistema:
- Compatible determinado (1 solución),
- compatible indeterminado (todos los valores en un intervalo satisfacen el sistema)
- e incompatible (no hay ninguna solución). Dos SEL son equivalentes si cualquier solución de uno es solución del otro. ¿Cuántos tipos de SEL hay? Existen los SEL homogéneos (SELH) y los SEL no homogéneos (SELH con la H tachada). Los SEL homogéneos son los que su constante o término independiente es 0. ¿Cómo es la representación matricial? La matriz de coeficientes de un SEL es una forma de representar dicho SEL de un forma más simple, dejando solamente los coeficientes de cada una de las variables. Una matriz aumentada es aquella que además de dejar los coeficientes, también deja una sección aparte para los términos independientes correspondientes de cada ecuación.
¿Cómo se sabe si una matriz está en su forma escalonada reducida por renglones? Una matriz está en su FER si:
- Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz.
- En cada renglón el primer número distinto de 0 por la izquierda es 1.
- El pivote de cualquier renglón está a la derecha del pivote anterior ¿Qué métodos se utilizan para resolver un SEL? Las formas principales son la eliminación de Gauss-Jordan y la eliminación Gaussiana, ambas involucran llevar a la matriz ampliada de coeficientes del sistema a una forma escalonada (la mitad por debajo de la diagonal principal de la matriz tiene solamente ceros) en el caso de la eliminación gaussiana y escalonada reducida (la diagonal principal es igual a 1 y el resto es ceros excepto los términos independientes) con la eliminación de gauss-jordan mediante operaciones elementales. ¿Cuáles son las operaciones elementales? Las siguientes operaciones se pueden realizar sobre las filas de una matriz:
- Multiplicar una fila por un número no nulo.
- Intercambiar dos filas entre sí.
- Multiplicar una fila y sumarle el resultado a otra. Dos Matrices son equivalentes si se puede llegar a una a partir de la otra mediante operaciones elementales. Teorema de Rouché-Frobenius:
Unidad 2 - Matrices
Preguntas importantes:
¿Qué es una matriz? Una matriz es un arreglo bidimensional de mxn elementos, donde los elementos están acomodados en m filas y n columnas.
¿Cómo se multiplica una matriz por un escalar? Dada una matriz A y un escalar k, los elementos de la matriz resultante D: dij = aij*k A esta operación se le llama “Ley de composición interna”. Propiedades de la suma y el producto escalar de matrices Sean A, B y C matrices de mxn y k y j escalares:
- A+0=A (Elem. neutro de la suma)
- 0A=0 (Elem. absorbente)
- A+B = B+A (Conmutatividad de la suma)
- A+(B+C) = (A+B)+C (Asociatividad de la suma)
- k(A+B) = kA + kB (Distributiva de un escalar respecto a una suma de matrices)
- 1A = A (Elem. neutro del producto escalar)
- (k+j)A = kA+jA (Distributiva de una matriz respecto a una suma de escalares) ¿Cómo se multiplican las matrices o los vectores? El caso más simple son los vectores, dónde dados dos vectores a y b, siendo sus componentes ai y bi respectivamente, se deben multiplicar a 1 y b 1 , a 2 y b 2 , y así respectivamente hasta llegar a an y bn siendo n el tamaño del vector, para luego sumar los resultados de esas n multiplicaciones. Este producto escalar se puede interpretar como una función que tiene como entrada 2 vectores y como salida 1 escalar. Las propiedades de este producto escalar son: Dados dos vectores a y b y un escalar k:
- a0=
- ab=ba
- a(b+c)=ab+ac
- ka(b)=k(ab) En el caso de las matrices, se vuelve más complejo debido a que es un arreglo bidimensional. Para multiplicar dos matrices primero hay que tener en cuenta su tamaño: ⚠️ Dos matrices A y B pueden ser multiplicadas si A tiene el mismo número de columnas que B de filas ⚠️. Dadas A= (aij) (i=1..m; j..n) y B(bij) (i=1..n; j=1..p) existe una matriz resultante C (cij) (i=1..m; j=1..p) tal que sus elementos sean: cij = Fi(a)*Cj(b) = (^) ∑ k = 1 n
❑aikbkj= ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + ain*bnj
Propiedades del producto matricial:
- A(BC)=(AB)C
- A(B+C)=AB+AC ⚠️ El producto de matricesno es conmutativo siempre⚠️ Inversa de una matriz Una matriz cuadrada es inversa de otra si al multiplicarlas, su resultado es la matriz identidad del mismo tamaño. ⚠️ Si |A|=0 o no existe, entonces A no es invertible⚠️
¿Cómo se encuentra la inversa de una matriz? De forma general:
- se escribe la matriz aumentada (A|I).
- utilizamos la reducción por renglones para llevar a A a su FER.
- se decide si A es invertible: a. FER de A=I entonces A-1^ es la matriz a la derecha. b. si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical que la separa de la I, entonces A no es invertible. Para matrices de 2x2:
si |A| ≠ 0 entonces:
A-1=
A
¿ A ∨¿ ¿
Inversa por adjunta:
si |A| ≠ 0, A-1=
¿ A ∨¿ ¿
*Adj(A) Traspuesta de una matriz Sea A=(aij) una matriz de mxn, su traspuesta AT^ es una matriz de nxm que se obtiene de intercambiar los renglones por las columnas de A. Propiedades:
- (AT)T^ = A
- (AB)T^ = BTAT
- Si A y B son de nxm entonces (A+B)T=AT^ + BT
- Si A es invertible, entonces AT^ también lo es, y (AT)-1^ = (A-1)T Matriz elemental Una matriz de nxn llamada E se denomina matriz elemental se puede obtener a partir de aplicarle una operación elemental a la matriz identidad In. Teorema: sea A una matriz cuadrada, entonces A se puede escribir como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior U. ¿Cómo expresar una matriz invertible como producto de matrices elementales?
- transformar A a su FER.
- Encontrar las matrices elementales asociadas a las op. elementales del paso 1.
- hallar inversas de dichas matrices elementales.
- A = E 1 -1…En-
a. x 1 = D 1 /D, x 2 = D 2 /D,..., xi = Di/D,..., xn = Dn/D , siendo Di el determinante del sistema donde se reemplaza la columna i por el vector de términos independientes y D el determinante del sistema. Propiedades de los determinantes
- |A|=|AT|
- |AB|=|A|.|B| a. |Ak|=|A|k b. |kA|=kn|A|
- El determinante de una matriz diagonal, elemental, superior o inferior es el producto de su diagonal principal.
- |In|=
- |A-1|=
¿ A ∨¿ ¿
(solo si ∃ A-1^ y si es distinto de 0)
- si la i-ésima línea de una matriz C es igual a la suma de la i-ésima línea de A y B y las demas líneas son iguales en A, B y C, entonces |A|+|B|=|C|. Propiedades que anulan a los determinantes
- Si A tiene una línea nula, su determinante es 0.
- Si A tiene una línea que es múltiplo escalar de otra línea, entonces su determinante es 0.
- Si A tiene 2 líneas paralelas iguales, entonces su determinante es 0.
- Si A tiene una línea que es combinación lineal de las otras, entonces su determinante es 0. Cómo las operaciones elementales afectan al determinante
- Si B se obtiene aplicando operaciones elementales de tipo 1 a A entonces |B|=-|A|
- Si B se obtiene aplicando operaciones elementales de tipo 2 a A entonces |B|=k|A|
- Si B se obtiene aplicando operaciones elementales de tipo 3 a A entonces |B|=|A| Tipo 1 - Intercambiar dos filas entre sí. Tipo 2 - Multiplicar una fila por un número no nulo. Tipo 3 - Multiplicar una fila y sumarle el resultado a otra.
Unidad 4 - Vectores geométricos
¿Qué es un vector geométrico?
Un vector es un segmento orientado AB , donde el punto A es el origen del vector y el B es el extremo
del mismo.
- Su módulo es el número real positivo que mide la distancia entre A y B, se simboliza || AB || o ||v||.
- Sentido: es el sentido en el que A precede a B. Puede ser positivo o negativo.
Tipos de vectores
- Vector nulo: es un vector cuyo módulo es igual a 0.
- Vector unitario: es un vector cuyo módulo es 1. También se los llaman versores. Datos de vital importancia
- Igualdad de vectores: dos vectores son iguales si ambos tienen la misma dirección, sentido y módulo.
- Equivalencia de vectores: dos vectores son equivalentes si ambos tienen la misma norma.
- Opuesto de un vector: un vector es el opuesto de otro si tiene el mismo módulo y dirección pero sentido opuesto. Operaciones de los vectores
- Suma: dados dos vectores u y v pertenecientes a los reales, tal que u=(u 1 , ..., un) y v=(v 1 , ..., vn), existe un w=u+v tal que w=(u 1 +v 1 , ..., un+vn). Esto significa que la suma de dos vectores es un nuevo vector, el cual sus componentes están formadas por la suma de las componentes en la misma posición (es decir, homólogas) de los otros dos vectores. Los métodos gráficos para sumar son el del paralelogramo (1.1) y el de la poligonal (1.2) donde en ambos R es el vector resultante. 1.1 1.
- Producto por un escalar: dado un vector u=(u 1 , ..., un) y un escalar k, ku=(ku 1 , ..., kun). El producto de un vector por un número es el mismo vector pero todas sus componentes están multiplicadas por el mismo número.
- Norma de un vector: dado v=(v 1 , ..., vn), su norma (longitud o módulo) es ||v||= √(v 12
- … + vn^2 ). Es el largo (es decir el módulo) de un vector y se calcula mediante una generalización del teorema de pitágoras. Propiedades de la norma: i.||v| ≥ 0 →La norma es siempre positiva (porque es una distancia) ii. ||kv||=|k|*||v|| iii.||v+u|| ≤||v||+||u|| (desigualdad triangular)
10. Ángulo entre vectores: cos-1^ (^
u. v
¿∨ u ∨¿. ∨¿ v ∨¿
- Producto vectorial o cruz: Dados dos vectores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3), el producto vectorial de estos es: a. Interpretación geometrica: ||uxv||=||u||.||v||.sen(α), donde ||uxv||= al área del paralelogramo que forman ambos vectores.
- Producto mixto: dados tres vectores u, v y w, su producto mixto es:
o también a. Interpretación geométrica: |u.(vxw)| es el volumen del paralelepipedo que forman los tres vectores
- Proyección escalar: da como resultado la norma del vector proyección. Dados dos vectores u y v, su proyección es la siguiente: ||proyecciónvu|| = (^) |
¿∨ u. v ∨¿
¿∨ v ∨¿ |
- Proyección vectorial: da como resultado el vector proyección. Dados u y v, su proyección es la siguiente: proyvu^ =
u. v
¿∨ v ∨¿
2.^ v
Condiciones de paralelismo, ortogonalidad y coplanaridad
- Dos vectores son paralelos (u//v) si u=kv y son ortogonales (u ⊥v) si u.v=0.
- Tres vectores u, v y w son coplanares ⇔|u.(vxw)|=0. Combinación lineal de vectores (CL) Dado v, un vector con componentes reales y A, un conjunto finito de vectores (A={u 1 ,...,uk}). v es combinación lineal de A ⇔∃α (^) i ∈ ℝ, con i de 1 a k, tal que v=∑ i = 1 k
❑αi*ui. En otras palabras, v es
combinación lineal de una cantidad finita de vectores si v se puede formar multiplicando esos vectores por distintos valores, si no existe uno de esos valores, entonces v no es combinación lineal. Dependencia lineal Dado A, un conjunto finito de vectores (A={u 1 ,...,uk}) y la CL del vector 0 con A 0=∑ i = 1 k
❑αi*u
- si αi=0, ∀i=1..k ⇒A es linealmente independiente (LI)
L: Ax+By+C Ax+By+C=0 con B=( 0 Ax+C=-By despejo y
− A
B
x +
− C
B
= y donde m=
− A
B
y b=
− C
B
- Ecuación explícita
L: y = mx + b
Ax+By=-C Despejo el término independiente
− A
C
x +
− B
C
y = 1
x
− C
A
y
− C
B
Donde a=
− C
A
y b=
− C
B
- Ecuación segmentaria: L:
x
a
y
b
- Ecuación punto-pendiente: L: y-y0 = m(x-x0) Ecuaciones de la recta en el espacio (R^3 ) y su transición de una a la otra
- Ecuación vectorial paramétrica: L:(x,y,z)=(x 0 , y 0 ,z 0 )+α(v 1 ,v 2 ,v 3 ) – por producto escalar →L:(x,y,z)=(x 0 , y 0 ,z 0 )+(αv 1 ,αv 2 ,αv 3 ) –por suma de vectores→ L:(x,y,z)=(x 0 +αv 1 , y 0 +αv 2 ,z 0 +αv 3 ) –por igualdad de vectores→
- Ecuación cartesiana paramétrica L: x=x 0 +αv (a); y=y 0 +,αv 2 (b); z=z 0 +,αv 3 (c) de (a): α=
x + x 0
v 1
, con v1 distinto de 0. de (b): α=
y + y 0
v 2
, con v2 distinto de 0. de (c): α=
z + z 0
v 3
Y se igualan ambos valores de α para obtener:
- Ecuación simétrica L:
x + x 0
v 1
y + y 0
v 2
z + z 0
v 3
- Ecuación implícita o biplanar: (Se llama así porque es una recta formada por la intersección de 2 planos) L: {A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 (plano π 1 ); A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 (plano π 2 )} L= π 1 ∩π (^2)
- (EXTRA) Recta formada por 2 puntos: dados dos puntos A y B, para hacer una recta que pase por dos puntos se va a utilizar cualquiera de los dos puntos como el punto de la ecuación paramétrica vectorial y el vector AB como vector director. Concepto de plano
Son los puntos en el plano P(x,y,z) que verifican PoP. n = 0 Donde Po(x0,y0,z0) es un punto
perteneciente al plano π, n=(A,B,C) es un vector normal perpendicular al plano π. Ecuaciones del plano A partir de
PoP. n = 0
(x-x0,y-y0,z-z0)*(A,B,C)=
- Ecuación vectorial π: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 Ax+By+Cz -Ax0 -By0 -Cz0=0, donde D= -Ax0 -By0 -Cz
- Ecuación implícita π: Ax+By+Cz+D= Ax+By+Cz=-D
A
− D
x +
B
− D
y +
C
− D
z = 1
x
− D
A
y
− D
B
z
− D
C
z = 1
donde a=
− D
A
;b=
− D
B
;c=
− D
C
- Ecuación segmentaria
x 0
a
y 0
b
z 0
c
z = 1
Donde: P1(a,0,0) = π ∩eje x P2(0,b,0) = π ∩eje y P3(0,0,c) = π ∩eje z
- Ecuación vectorial paramétrica Dados: Po=(x0,y0,z0) perteneciente al plano u y v dos vectores paralelos al plano pero no paralelos entre ellos P(x,y,z) π:(x,y,z)=(x0,y0,z0)+α(u1,u2,u3)+β(v1,v2,v3)
y sean r = rango de matriz de coeficientes r’= rango de matriz ampliada a. si r=r’=3 los tres se cortan en un punto→ Compatible determinado b. si r=2 y r’= i. los planos se cortan 2 a 2 → incompatible ii. 2 planos paralelos cortan al restante → incompatible c. si r=r’= i. se intersecan en una recta → Compatible indeterminado ii. dos son coincidentes y uno los corta a ambos → Compatible indeterminado d. si r=1 y r’= i. 3 planos paralelos → incompatible ii. 2 coincidentes y 1 paralelo → incompatible e. si r=r’=1 los 3 son coincidentes Ángulos
- Entre dos rectas (en R^2 y R^3 ) α=L 1 ^L 2 =u^v=cos-1(
u. v
¿∨ u ∨¿. ∨¿ v ∨¿
- Entre dos planos α=π 1 ^π 2 =n 1 ^n 2 =cos-1(
n 1. n 2
¿∨ n 1 ∨¿. ∨¿ n 2 ∨¿
- Entre una recta y un plano α=π^L=u^v=cos-1(
n. u
¿∨ n ∨¿. ∨¿ u ∨¿
Distancias
- De un punto a una recta (R^2 ) siendo Po un punto que pertenece a L
d(P,L) = proynPoP^ = |
PoP. n
¿∨ n ∨¿
- De un punto a una recta (R^3 ) P= punto cualquiera Po= punto dado que pertenece a la recta u//L
d(Po,L) =
¿∨ PoP x u ∨¿
¿∨ u ∨¿
- Entre rectas paralelas (R^2 ) L 1 : Ax + By + C 1 = L 2 : Ax + By + C 2 =
d(L 1 ,L 2 ) = ¿^ C^^1 − C^^2 ∨^
- Entre rectas paralelas (R^3 ) Dadas 2 rectas paralelas o alabeadas
- busco un vector normal a ambas rectas → vL1 x vL2 = n
2. busco dos puntos, uno en cada recta y formo un vector → PL 1 PL 2
3. busco la proyección escalar entre PL1PL2 y n → ¿^ PL^^1 PL^^2.^ n ∨^
¿∨ n ∨¿
- Punto a plano
- se forma un vector entre un punto cualquiera que pertenezca al plano y el punto dado → PoP
- calcula la proyección escalar de dicho vector con el normal
proynPoP^ = |
PoP. n
¿∨ n ∨¿
- Plano a plano Busco un punto cualquiera de un plano y hago distancia de punto a plano.
Unidad 6 - espacios vectoriales
Concepto ¿Qué es un espacio vectorial? Definición coloquial: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales. Llamamos u+v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un número real α por un vector v ∈V. Definición matemática: un espacio vectorial es una cuaterna de la forma (V,+,K,*) Siendo V un conjunto no vacío de elementos de tipo V, + es una operación que cumple la ley de composición interna (LCI), K es un conjunto de escalares con estructura de cuerpo (Q,R,C), y * es una operación que cumple la ley de composición externa. Esta cuaterna es espacio vectorial ⇔ cumple con los siguientes axiomas Siendo u, v y w elementos de V y α y β elementos de K:
- ley de composición interna (Ley de cerradura): u+v ∈V
- conmutatividad: u+v=v+u
- asociatividad: (u+v)+w=u+(v+w)
- Ley de identico aditivo: Elemento Existe un vector nulo 0V ∈V tal que v+0V=v
- inverso aditivo: Para cada v en V, existe un opuesto (–v) ∈V tal que v+(–v)=0V
Combinación lineal Dado un E.V. (V,+,K,*), v perteneciente a V y A={u 1 , ..., up}subconjunto de V, v es combinación lineal de A ⇔ ∃α perteneciente a K que va de 1 hasta p, tal que v se puede expresar como: v=∑ i = 1 p
❑αivi
Conjunto generador Dado un E.V. (V,+,K,*) y A={u 1 , ..., up}subconjunto de V, A genera a V ⇔para todo u perteneciente a V, u se puede expresar como combinación lineal de A. Subespacio generado Sean v1,v2,…,vr vectores de un espacio vectorial V:
- El vector nulo puede expresarse como combinación lineal de dichos vectores: 0V=0v1+0v2+ …+0vr
- Si sumamos dos combinaciones lineales de los vectores dados, obtenemos otra combinación lineal: (a1v1+…+arvr)+(b1v1+…+brvr)=(a1+b1)v1+…+(ar+br)vr
- Si multiplicamos un escalar k por una combinación lineal de los vectores dados, obtenemos una combinación lineal de dichos vectores: k(a1v1+…+arvr)=(ka1)v1+…+(kar)vr Estas tres condiciones permiten afirmar que el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1,v2, …,vr es un subespacio de V. Entonces: Dados los vectores v1,v2,…,vr en V, llamamos subespacio generado por v1,v2,…,vr al conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Lo denotamos con la expresión gen{v1,v2,…,vr} y por lo tanto gen{v1,v2, …,vr}={v ∈V:v=α1v1+α2v2+…+αrvr,conαi ∈R} es un subespacio de V. Independencia lineal Dado un E.V. (V,+,K,), A={u 1 , ..., up}subconjunto de V, y la combinación lineal del 0V con A: a. si αi = 0 para todo i=1…p → A es linealmente independiente (LI) b. si ∃α (^) i=( 0 para todo i=1…p →A es linealmente dependiente (LD) Base de un espacio vectorial Dado un E.V. (V,+,K,) y A={u 1 , ..., up}subconjunto de V, A es base de V ⇔
- A es linealmente independiente.
- A genera a V. Teorema: Dado un E.V. (V,+,K,*) y A={u 1 , ..., up}subconjunto de V, A es base de V
- si A es LI → A genera a V, por lo tanto A es base de V
- si A genera a V → A es LI, por lo tanto A es base de V Bases canónicas Ejemplos de bases canónicas:
- V=R^2 , E={(1,0),(0,1)}
- V=R^3 , E={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
- V=Rn, E={e 1 ,e 2 ,...,en}
Dimensión de un EV La dimensión de un espacio vectorial V es la cantidad de vectores que componen una base de V. Si B={v1,v2,…,vn} es una base de V, la dimensión de V es n y lo indicamos como dim(V)=n Si no existe una base de V formada por un conjunto finito de vectores, se dice que V es un espacio de dimensión infinita. Un ejemplo es el espacio de todos los polinomios (de cualquier grado). Como el vector nulo es linealmente dependiente, el espacio {0V} no tiene base. A este espacio compuesto únicamente por el vector nulo, se le asigna dimensión cero: dim({0V})= Coordenadas de un vector respecto a una base Dado (V,+,K,), B={u 1 ,u 2 ,...,un} una base de V y u un elemento de V, las coordenadas de u respecto a B son los escalares de la CL de u con B: uB=(α 1 ,α 2 ,α 3 ,...,αn) Matriz cambio de base Dado (V,+,K,), B 1 ={u 1 ,u 2 ,...,un} y B 2 ={v 1 ,v 2 ,...,vn} bases de V, la matriz cambio de B 1 a B 2 tiene como columnas coordenadas de los elementos de B 1 con respecto a B 2 : AB1B Teorema: AB1B2 uB1=uB2 y también uB1= (AB1B2 )-1uB Espacios fundamentales de una matriz (EFM) Dada A perteneciente a Rmxn^ los EFM son:
- Espacio fila (Fil(A)) es el SE de Rn^ generado por las filas o renglones de A
- Espacio columna (Col(A)) es el SE de Rm^ generado por las columnas de A
- Espacio Nulo es el SE de R generado por la solución del SELH asociado a A AX= Teorema 1: Si una matriz A es equivalente por renglones a una matriz B entonces el EF de A = EF de B: A~B → Fil(A)=Fil(B) Teorema 2: Si una matriz A está en su forma escalonada, entonces una base del EF de A es igual a las filas no nulas de su forma escalonada: FE(A) → Base de EF = filas no nulas de FE Teorema 3: R(A)=Dim(Fil(A))=Dim(Col(A)) Teorema 4: Dim(Fil(A)), Dim(Col(A)), R(A) + Nulidad(A)= #Columnas Producto interno Definición Dado un EV (V,+,K,*) y una función <> que a cada par de elementos de V le asocia un escalar de K. La función es producto interno ⇔cumple los siguientes axiomas:
