Docsity
Docsity

Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes

Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity


Consigue puntos base para descargar
Consigue puntos base para descargar

Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium


Orientación Universidad
Orientación Universidad

Resumen general de algebra lineal y geometría analitica, Apuntes de Álgebra Lineal

Sistemas de ecuaciones lineales, matrices, determinantes, vectores, recta y plano, etc. hasta espacios vectoriales y autovectores y autovalores. espero que les sea util.

Tipo: Apuntes

2024/2025

A la venta desde 06/07/2025

diana-i31
diana-i31 🇦🇷

3 documentos

1 / 37

Toggle sidebar

Esta página no es visible en la vista previa

¡No te pierdas las partes importantes!

bg1
Unidad 1 - SEL
Definición de una ecuación lineal en n variables
Preguntas importantes:
Existencia y unicidad:
¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales o SEL?
Es un conjunto finito de ecuaciones lineales, es decir ecuaciones de primer grado (ecuaciones cuyo
mayor exponente es 1), con una cantidad finita de incógnitas al que se le busca una solución en común
de todas las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones. Ejemplo:
¿Cómo se pueden clasificar los SEL?
Se clasifican dependiendo la cantidad de soluciones que cumplan para todo el sistema:
- Compatible determinado (1 solución),
- compatible indeterminado (todos los valores en un intervalo satisfacen el sistema)
- e incompatible (no hay ninguna solución).
Dos SEL son equivalentes si cualquier solución de uno es solución del otro.
¿Cuántos tipos de SEL hay?
Existen los SEL homogéneos (SELH) y los SEL no homogéneos (SELH con la H tachada). Los SEL
homogéneos son los que su constante o término independiente es 0.
¿Cómo es la representación matricial?
La matriz de coeficientes de un SEL es una forma de representar dicho SEL de un forma más simple,
dejando solamente los coeficientes de cada una de las variables. Una matriz aumentada es aquella que
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18
pf19
pf1a
pf1b
pf1c
pf1d
pf1e
pf1f
pf20
pf21
pf22
pf23
pf24
pf25

Vista previa parcial del texto

¡Descarga Resumen general de algebra lineal y geometría analitica y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!

Unidad 1 - SEL

Definición de una ecuación lineal en n variables

Preguntas importantes:

Existencia y unicidad:

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales o SEL?

Es un conjunto finito de ecuaciones lineales, es decir ecuaciones de primer grado (ecuaciones cuyo mayor exponente es 1), con una cantidad finita de incógnitas al que se le busca una solución en común de todas las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones. Ejemplo:

¿Cómo se pueden clasificar los SEL?

Se clasifican dependiendo la cantidad de soluciones que cumplan para todo el sistema:

  • Compatible determinado (1 solución),
  • compatible indeterminado (todos los valores en un intervalo satisfacen el sistema)
  • e incompatible (no hay ninguna solución). Dos SEL son equivalentes si cualquier solución de uno es solución del otro.

¿Cuántos tipos de SEL hay?

Existen los SEL homogéneos (SELH) y los SEL no homogéneos (SELH con la H tachada). Los SEL homogéneos son los que su constante o término independiente es 0.

¿Cómo es la representación matricial?

La matriz de coeficientes de un SEL es una forma de representar dicho SEL de un forma más simple, dejando solamente los coeficientes de cada una de las variables. Una matriz aumentada es aquella que

además de dejar los coeficientes, también deja una sección aparte para los términos independientes correspondientes de cada ecuación.

¿Cómo se sabe si una matriz está en su forma escalonada reducida por renglones?

Una matriz está en su FER si:

  1. Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz.
  2. En cada renglón el primer número distinto de 0 por la izquierda es 1.
  3. El pivote de cualquier renglón está a la derecha del pivote anterior

¿Qué métodos se utilizan para resolver un SEL?

Las formas principales son la eliminación de Gauss-Jordan y la eliminación Gaussiana, ambas involucran llevar a la matriz ampliada de coeficientes del sistema a una forma escalonada (la mitad por debajo de la diagonal principal de la matriz tiene solamente ceros) en el caso de la eliminación gaussiana y escalonada reducida (la diagonal principal es igual a 1 y el resto es ceros excepto los términos independientes) con la eliminación de gauss-jordan mediante operaciones elementales.

¿Cuáles son las operaciones elementales?

Las siguientes operaciones se pueden realizar sobre las filas de una matriz:

  • Multiplicar una fila por un número no nulo.
  • Intercambiar dos filas entre sí.
  • Multiplicar una fila y sumarle el resultado a otra. Dos Matrices son equivalentes si se puede llegar a una a partir de la otra mediante operaciones elementales.

Teorema de Rouché-Frobenius:

Unidad 2 - Matrices

Preguntas importantes:

¿Qué es una matriz?

Una matriz es un arreglo bidimensional de mxn elementos, donde los elementos están acomodados en m filas y n columnas.

¿Cómo se multiplica una matriz por un escalar? Dada una matriz A y un escalar k, los elementos de la matriz resultante D: dij = aij*k A esta operación se le llama “Ley de composición interna”.

Propiedades de la suma y el producto escalar de matrices

Sean A, B y C matrices de mxn y k y j escalares:

  1. A+0=A (Elem. neutro de la suma)
  2. 0A=0 (Elem. absorbente)
  3. A+B = B+A (Conmutatividad de la suma)
  4. A+(B+C) = (A+B)+C (Asociatividad de la suma)
  5. k(A+B) = kA + kB (Distributiva de un escalar respecto a una suma de matrices)
  6. 1A = A (Elem. neutro del producto escalar)
  7. (k+j)A = kA+jA (Distributiva de una matriz respecto a una suma de escalares)

¿Cómo se multiplican las matrices o los vectores?

El caso más simple son los vectores, dónde dados dos vectores a y b, siendo sus componentes ai y bi respectivamente, se deben multiplicar a 1 y b 1 , a 2 y b 2 , y así respectivamente hasta llegar a an y bn siendo n el tamaño del vector, para luego sumar los resultados de esas n multiplicaciones. Este producto escalar se puede interpretar como una función que tiene como entrada 2 vectores y como salida 1 escalar. Las propiedades de este producto escalar son: Dados dos vectores a y b y un escalar k:

  1. a0=
  2. ab=ba
  3. a(b+c)=ab+ac
  4. ka(b)=k(ab)

En el caso de las matrices, se vuelve más complejo debido a que es un arreglo bidimensional. Para multiplicar dos matrices primero hay que tener en cuenta su tamaño: ⚠ Dos matrices A y B pueden ser multiplicadas si A tiene el mismo número de columnas que B de filas ⚠. Dadas A= (aij) (i=1..m; j..n) y B(bij) (i=1..n; j=1..p) existe una matriz resultante C (cij) (i=1..m; j=1..p) tal que sus elementos sean:

cij = Fi(a)Cj(b) = aikbkj= ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + ainbnj 𝑘=

𝑛 ∑

Propiedades del producto matricial:

  1. A(BC)=(AB)C
  2. A(B+C)=AB+AC ⚠El producto de matrices no es conmutativo siempre⚠

Inversa de una matriz

Una matriz cuadrada es inversa de otra si al multiplicarlas, su resultado es la matriz identidad del mismo tamaño.

⚠Si |A|=0 o no existe, entonces A no es invertible⚠

¿Cómo se encuentra la inversa de una matriz?

De forma general:

  1. se escribe la matriz aumentada (A|I).
  2. utilizamos la reducción por renglones para llevar a A a su FER.
  3. se decide si A es invertible: a. FER de A=I entonces A-1^ es la matriz a la derecha. b. si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical que la separa de la I, entonces A no es invertible. Para matrices de 2x2: si |A| ≠0 entonces:

A-1= (^) |𝐴|𝐴

Inversa por adjunta:

si |A| ≠0, A -1= (^) |𝐴|^1 *Adj(A)

Traspuesta de una matriz

Sea A=(aij) una matriz de mxn, su traspuesta AT^ es una matriz de nxm que se obtiene de intercambiar los renglones por las columnas de A.

Propiedades:

  1. (AT)T^ = A
  2. (AB)T^ = BTAT
  3. Si A y B son de nxm entonces (A+B)T=AT^ + BT
  4. Si A es invertible, entonces AT^ también lo es, y (AT)-1^ = (A-1)T

Matriz elemental

Una matriz de nxn llamada E se denomina matriz elemental se puede obtener a partir de aplicarle una operación elemental a la matriz identidad In.

Teorema: sea A una matriz cuadrada, entonces A se puede escribir como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior U.

¿Cómo expresar una matriz invertible como producto de matrices elementales?

  1. transformar A a su FER.
  2. Encontrar las matrices elementales asociadas a las op. elementales del paso 1.
  3. hallar inversas de dichas matrices elementales.
  4. A = E 1 -1…En-
  1. Regla de cramer: Dado un sistema de nxn donde el determinante ≠0, la única solución a dicho sistema está dada por: a. x 1 = D 1 /D, x 2 = D 2 /D,..., xi = Di/D,..., xn = Dn/D , siendo Di el determinante del sistema donde se reemplaza la columna i por el vector de términos independientes y D el determinante del sistema.

Propiedades de los determinantes

  1. |A|=|AT|
  2. |AB|=|A|.|B| a. |Ak|=|A|k b. |kA|=kn|A|
  3. El determinante de una matriz diagonal, elemental, superior o inferior es el producto de su diagonal principal.
  4. |In|=
  5. |A-1|= (^) |𝐴|^1 (solo si ∃A-1^ y si es distinto de 0)
  6. si la i-ésima línea de una matriz C es igual a la suma de la i-ésima línea de A y B y las demas líneas son iguales en A, B y C, entonces |A|+|B|=|C|.

Propiedades que anulan a los determinantes

  1. Si A tiene una línea nula, su determinante es 0.
  2. Si A tiene una línea que es múltiplo escalar de otra línea, entonces su determinante es 0.
  3. Si A tiene 2 líneas paralelas iguales, entonces su determinante es 0.
  4. Si A tiene una línea que es combinación lineal de las otras, entonces su determinante es 0.

Cómo las operaciones elementales afectan al determinante

  1. Si B se obtiene aplicando operaciones elementales de tipo 1 a A entonces |B|=-|A|
  2. Si B se obtiene aplicando operaciones elementales de tipo 2 a A entonces |B|=k|A|
  3. Si B se obtiene aplicando operaciones elementales de tipo 3 a A entonces |B|=|A| Tipo 1 - Intercambiar dos filas entre sí. Tipo 2 - Multiplicar una fila por un número no nulo. Tipo 3 - Multiplicar una fila y sumarle el resultado a otra.

Unidad 4 - Vectores geométricos

¿Qué es un vector geométrico?

Un vector es un segmento orientado 𝐴𝐵, donde el punto A es el origen del vector y el B es el extremo del mismo.

  • Su módulo es el número real positivo que mide la distancia entre A y B, se simboliza || 𝐴𝐵|| o ||v||.
  • Sentido: es el sentido en el que A precede a B. Puede ser positivo o negativo.

Tipos de vectores

  • Vector nulo: es un vector cuyo módulo es igual a 0.
  • Vector unitario: es un vector cuyo módulo es 1. También se los llaman versores.

Datos de vital importancia

  • Igualdad de vectores: dos vectores son iguales si ambos tienen la misma dirección, sentido y módulo.
  • Equivalencia de vectores: dos vectores son equivalentes si ambos tienen la misma norma.
  • Opuesto de un vector: un vector es el opuesto de otro si tiene el mismo módulo y dirección pero sentido opuesto.

Operaciones de los vectores

  1. Suma: dados dos vectores u y v pertenecientes a los reales, tal que u=(u 1 , ..., un) y v=(v 1 , ..., vn), existe un w=u+v tal que w=(u 1 +v 1 , ..., un+vn). Esto significa que la suma de dos vectores es un nuevo vector, el cual sus componentes están formadas por la suma de las componentes en la misma posición (es decir, homólogas) de los otros dos vectores. Los métodos gráficos para sumar son el del paralelogramo (1.1) y el de la poligonal (1.2) donde en ambos R es el vector resultante.
  1. Producto por un escalar: dado un vector u=(u 1 , ..., un) y un escalar k, ku=(ku 1 , ..., kun). El producto de un vector por un número es el mismo vector pero todas sus componentes están multiplicadas por el mismo número.
  2. Norma de un vector: dado v=(v 1 , ..., vn), su norma (longitud o módulo) es ||v||=√(v 12 + … + vn^2 ). Es el largo (es decir el módulo) de un vector y se calcula mediante una generalización del teorema de pitágoras. Propiedades de la norma: i.||v|≥0 →La norma es siempre positiva (porque es una distancia) ii. ||kv||=|k|*||v|| iii.||v+u|| ≤ ||v||+||u|| (desigualdad triangular)
  1. Ángulo entre vectores: cos-1^ ( (^) ||𝑢||.||𝑣||𝑢.𝑣 )= α
  2. Producto vectorial o cruz: Dados dos vectores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3), el producto vectorial de estos es:

a. Interpretación geometrica: ||uxv||=||u||.||v||.sen(α), donde ||uxv||= al área del paralelogramo que forman ambos vectores.

  1. Producto mixto: dados tres vectores u, v y w, su producto mixto es:

o también

a. Interpretación geométrica: |u.(vxw)| es el volumen del paralelepipedo que forman los tres vectores

  1. Proyección escalar: da como resultado la norma del vector proyección. Dados dos vectores u y v, su proyección es la siguiente: ||proyecciónvu|| = || ||𝑢.𝑣||||𝑣|| ||
  2. Proyección vectorial: da como resultado el vector proyección. Dados u y v, su proyección es la siguiente: proyvu^ = (^) ||𝑣||𝑢.𝑣 2. 𝑣

Condiciones de paralelismo, ortogonalidad y coplanaridad

  • Dos vectores son paralelos (u//v) si u=kv y son ortogonales (u⊥v) si u.v=0.
  • Tres vectores u, v y w son coplanares⇔|u.(vxw)|=0.

Combinación lineal de vectores (CL)

Dado v, un vector con componentes reales y A, un conjunto finito de vectores (A={u 1 ,...,uk}). v es

combinación lineal de A ⇔∃αi ∈ ℝ, con i de 1 a k, tal que v= αi*ui. En otras palabras, v es 𝑖=

𝑘 ∑

combinación lineal de una cantidad finita de vectores si v se puede formar multiplicando esos vectores por distintos valores, si no existe uno de esos valores, entonces v no es combinación lineal.

Dependencia lineal

Dado A, un conjunto finito de vectores (A={u 1 ,...,uk}) y la CL del vector 0 con A 0= αi*u 𝑖=

𝑘 ∑

  • si αi=0, ∀i=1..k ⇒A es linealmente independiente (LI)
  • si αi≠0 ⇒A es linealmente dependiente (LD)

−𝐴𝐵 𝑥 + −𝐶𝐵 = 𝑦 donde m= −𝐴𝐵 y b= −𝐶𝐵

  1. Ecuación explícita L: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Ax+By=-C Despejo el término independiente −𝐴 𝐶 𝑥 +^

−𝐵 𝐶 𝑦 = 1

−𝐶^ 𝑥^ Donde a=^ y b= 𝐴

𝐵

= 1 −𝐶𝐴^ −𝐶𝐵

  1. Ecuación segmentaria: L: 𝑥𝑎 + 𝑦𝑏 = 1
  2. Ecuación punto-pendiente: L: y-y0 = m(x-x0)

Ecuaciones de la recta en el espacio (R^3 ) y su transición de una a la otra

  1. Ecuación vectorial paramétrica: L:(x,y,z)=(x 0 , y 0 ,z 0 )+α(v 1 ,v 2 ,v 3 ) – por producto escalar →L:(x,y,z)=(x 0 , y 0 ,z 0 )+(αv 1 ,αv 2 ,αv 3 ) –por suma de vectores→ L:(x,y,z)=(x 0 +αv 1 , y 0 +αv 2 ,z 0 +αv 3 ) –por igualdad de vectores→
  2. Ecuación cartesiana paramétrica L: x=x 0 +αv (a); y=y 0 +,αv 2 (b); z=z 0 +,αv 3 (c)

de (a): α= 𝑥+𝑥0𝑣1 , con v1 distinto de 0.

de (b): α= 𝑦+𝑦0𝑣2 , con v2 distinto de 0.

de (c): α= 𝑧+𝑧0𝑣

Y se igualan ambos valores de α para obtener:

  1. Ecuación simétrica

L: 𝑥+𝑥0𝑣1 = 𝑦+𝑦0𝑣2 =^ 𝑧+𝑧0𝑣

  1. Ecuación implícita o biplanar: (Se llama así porque es una recta formada por la intersección de 2 planos) L: {A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 (plano π 1 ); A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 (plano π 2 )} L= π 1 ∩π 2
  2. (EXTRA) Recta formada por 2 puntos: dados dos puntos A y B, para hacer una recta que pase por dos puntos se va a utilizar cualquiera de los dos puntos como el punto de la ecuación paramétrica vectorial y el vector AB como vector director.

Concepto de plano

Son los puntos en el plano P(x,y,z) que verifican 𝑃𝑜𝑃. 𝑛 = 0Donde Po(x0,y0,z0) es un punto perteneciente al plano π, n=(A,B,C) es un vector normal perpendicular al plano π.

Ecuaciones del plano

A partir de

𝑃𝑜𝑃. 𝑛 = 0 (x-x0,y-y0,z-z0)*(A,B,C)=

  1. Ecuación vectorial π: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 Ax+By+Cz -Ax0 -By0 -Cz0=0, donde D= -Ax0 -By0 -Cz
  2. Ecuación implícita

π: Ax+By+Cz+D= Ax+By+Cz=-D 𝐴 −𝐷 𝑥 +^

𝐵 −𝐷 𝑦 +^

𝐶 −𝐷 𝑧 = 1 −𝐷^ 𝑥^ donde a=^ ;b=^ ;c= 𝐴

𝐵

𝐶

𝑧 = 1 −𝐷𝐴^ −𝐷𝐵^ −𝐷𝐶

  1. Ecuación segmentaria 𝑥 𝑎 +^

𝑦 𝑏 +^

𝑧 𝑐 𝑧 = 1 Donde: P1(a,0,0) = π∩eje x P2(0,b,0) = π∩eje y P3(0,0,c) = π∩eje z

  1. Ecuación vectorial paramétrica Dados: Po=(x0,y0,z0) perteneciente al plano u y v dos vectores paralelos al plano pero no paralelos entre ellos P(x,y,z) π:(x,y,z)=(x0,y0,z0)+α(u1,u2,u3)+β(v1,v2,v3)

Posiciones relativas

  1. De una recta con un plano Si la recta L está definida por el punto A y el vector u; y el plano π tiene el vector normal n, las posiciones relativas son:

Posición u.n A

Recta contenida en el plano =0 ∈π

Recta y plano paralelos =0 ∉π

Recta y plano secantes ≠

Ángulos

  1. Entre dos rectas (en R^2 y R^3 )

α=L 1 ^L 2 =u^v=cos-1( (^) ||𝑢||.||𝑣||^ 𝑢.𝑣 )

  1. Entre dos planos

α=π 1 ^π 2 =n 1 ^n 2 =cos-1( (^) ||𝑛1||.||𝑛2||^ 𝑛1.𝑛2 )

  1. Entre una recta y un plano

α=π^L=u^v=cos-1( (^) ||𝑛||.||𝑢||^ 𝑛.𝑢 )

Distancias

  1. De un punto a una recta (R^2 ) siendo Po un punto que pertenece a L

d(P,L) = proynPoP^ = |||𝑃𝑜𝑃.𝑛||𝑛|| 2 |||

  1. De un punto a una recta (R^3 ) P= punto cualquiera Po= punto dado que pertenece a la recta u//L

d(Po,L) = ||𝑃𝑜𝑃 𝑥 𝑢||||𝑢||

  1. Entre rectas paralelas (R^2 ) L 1 : Ax + By + C 1 = L 2 : Ax + By + C 2 =

d(L 1 ,L 2 ) = |𝐶1 − 𝐶2| 𝐴^2 +𝐵^2

  1. Entre rectas paralelas (R^3 ) Dadas 2 rectas paralelas o alabeadas
    1. busco un vector normal a ambas rectas → vL1 x vL2 = n
    2. busco dos puntos, uno en cada recta y formo un vector → 𝑃𝐿1𝑃𝐿
    3. busco la proyección escalar entre PL1PL2 y n → |𝑃𝐿1𝑃𝐿2. 𝑛|||𝑛||
  2. Punto a plano
    1. se forma un vector entre un punto cualquiera que pertenezca al plano y el punto dado → PoP
    2. calcula la proyección escalar de dicho vector con el normal proynPoP^ = |||𝑃𝑜𝑃.𝑛||𝑛|| 2 |||
  3. Plano a plano

Busco un punto cualquiera de un plano y hago distancia de punto a plano.

Unidad 6 - espacios vectoriales

Concepto

¿Qué es un espacio vectorial? Definición coloquial: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales. Llamamos u+v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un número real α por un vector v∈V.

Definición matemática: un espacio vectorial es una cuaterna de la forma (V,+,K,*) Siendo V un conjunto no vacío de elementos de tipo V, + es una operación que cumple la ley de composición interna (LCI), K es un conjunto de escalares con estructura de cuerpo (Q,R,C), y * es una operación que cumple la ley de composición externa. Esta cuaterna es espacio vectorial ⇔cumple con los siguientes axiomas Siendo u, v y w elementos de V y α y β elementos de K:

  1. ley de composición interna (Ley de cerradura): u+v∈V
  2. conmutatividad: u+v=v+u
  3. asociatividad: (u+v)+w=u+(v+w)
  4. Ley de identico aditivo: Elemento Existe un vector nulo 0V∈V tal que v+0V=v
  5. inverso aditivo: Para cada v en V, existe un opuesto (–v)∈V tal que v+(–v)=0V
  6. Ley de composicion externa (multiplicación por un escalar): αv∈V
  7. distributiva de un escalar respecto a la suma de elementos: α(u+v)=αu+αv
  8. Distributiva de un elemento respecto a la suma de escalares: (α+β)v=αv+βv
  9. asociatividad mixta: α(βv)=(αβ)v
  10. elemento neutro del producto: 1v=v

⚠V tiene que estar contenido en K para que cumplan los axiomas.⚠

Subespacios

Dado un espacio vectorial (V,+,K,*) y S un subconjunto no vacío de V. S es un Subespacio (SE) de V ⇔ S es E.V. bajo las operaciones de V.

Teorema 1- S es subespacio de V ⇔ cumple los siguientes axiomas:

  1. (^0) v también pertenece a S.
  2. LCI: u+v∈S para todo u y v
  3. LCE: αv∈S para todo v y α Teorema 2- para todo u y v pertenecientes a S y para todo α y β pertenecientes a K, αu+βv pertenece a S, es decir que S es cerrado si y solo si para las combinaciones lineales (es decir, se aplican las anteriores al mismo tiempo)

Como analizar si un subconjunto de V es subespacio: dado V, un EV (R3,+,K,*) y S{(x,y,z)| x+y-z=0}, comprobar si S es subespacio de V por teorema 1

  1. 0V = (0,0,0) 0+0-0=0 ✅

Base de un espacio vectorial

Dado un E.V. (V,+,K,*) y A={u 1 , ..., up}subconjunto de V, A es base de V ⇔

  1. A es linealmente independiente.
  2. A genera a V.

Teorema: Dado un E.V. (V,+,K,*) y A={u 1 , ..., up}subconjunto de V, A es base de V

  • si A es LI → A genera a V, por lo tanto A es base de V
  • si A genera a V → A es LI, por lo tanto A es base de V

Bases canónicas

Ejemplos de bases canónicas:

  1. V=R^2 , E={(1,0),(0,1)}
  2. V=R^3 , E={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
  3. V=Rn, E={e 1 ,e 2 ,...,en}

Dimensión de un EV

La dimensión de un espacio vectorial V es la cantidad de vectores que componen una base de V. Si B={v1,v2,…,vn} es una base de V, la dimensión de V es n y lo indicamos como dim(V)=n

Si no existe una base de V formada por un conjunto finito de vectores, se dice que V es un espacio de dimensión infinita. Un ejemplo es el espacio de todos los polinomios (de cualquier grado).

Como el vector nulo es linealmente dependiente, el espacio {0V} no tiene base. A este espacio compuesto únicamente por el vector nulo, se le asigna dimensión cero: dim({0V})=

Coordenadas de un vector respecto a una base

Dado (V,+,K,*), B={u 1 ,u 2 ,...,un} una base de V y u un elemento de V, las coordenadas de u respecto a B son los escalares de la CL de u con B: uB=(α 1 ,α 2 ,α 3 ,...,αn)

Matriz cambio de base

Dado (V,+,K,*), B 1 ={u 1 ,u 2 ,...,un} y B 2 ={v 1 ,v 2 ,...,vn} bases de V, la matriz cambio de B 1 a B 2 tiene como columnas coordenadas de los elementos de B 1 con respecto a B 2 : AB1B

Teorema: AB1B2 uB1=uB2 y también uB1= (AB1B2 )-1uB

Espacios fundamentales de una matriz (EFM)

Dada A perteneciente a Rmxn^ los EFM son:

  1. Espacio fila (Fil(A)) es el SE de Rn^ generado por las filas o renglones de A
  2. Espacio columna (Col(A)) es el SE de Rm^ generado por las columnas de A
  3. Espacio Nulo es el SE de R generado por la solución del SELH asociado a A AX=

Teorema 1: Si una matriz A es equivalente por renglones a una matriz B entonces el EF de A = EF de B: A~B → Fil(A)=Fil(B)

Teorema 2: Si una matriz A está en su forma escalonada, entonces una base del EF de A es igual a las filas no nulas de su forma escalonada: FE(A) → Base de EF = filas no nulas de FE

Teorema 3: R(A)=Dim(Fil(A))=Dim(Col(A))

Teorema 4: Dim(Fil(A)), Dim(Col(A)), R(A) + Nulidad(A)= #Columnas

Producto interno

Definición Dado un EV (V,+,K,*) y una función <> que a cada par de elementos de V le asocia un escalar de K. La función es producto interno ⇔ cumple los siguientes axiomas:

  1. Simetría: <u,v>=<v,u>
  2. Aditividad:<u,v+w>=<u,v>+<u,w>
  3. Homogeneidad:α<u,v>=<αu,v>=<u,αv>
  4. Positividad: a. si u≠0V → <u,u> > 0 b. si u=0V → <u,u> = 0 Operaciones

vectores producto interno

norma ||v||=√(v 12 + … + vn^2 ). (^) ||u||= < 𝑢, 𝑢 >

angulo entre vectores (^) cos-1^ ( 𝑢.𝑣 ) = α ||𝑢||.||𝑣|| cos

-1 (^) ( <𝑢,𝑣> ) = α ||𝑢||.||𝑣||

condición de ortogonalidad

u.v=0 <u,v>=

proyección vectorial (^) proyvu^ = 𝑢.𝑣 .v ||𝑣||^2 proyv

u (^) = <𝑢,𝑣>.v <𝑣,𝑣>

proyección escalar (^) ||proyecciónvu|| = ||𝑢.𝑣|| ||𝑣||

|| || ||proyecciónvu|| = |<𝑢,𝑣>| ||𝑣||

distancia entre vectores d(u,v)=||u-v||

Bases ortonormales y ortogonales

Conjunto ortogonal: Dado el EV (V,+,K,*) con producto interno definido y S={u 1 , …, un} un subconjunto de V S es ortogonal ⇔ <ui,uj>= para todo i distinto de j, es decir que todos los elementos tomados de a pares son ortogonales entre sí.

S es ortonormal ⇔S es ortonormal, y además todos sus elementos son de norma 1.

Base ortogonal Dado el EV (V,+,K,*) con producto interno definido y S={u 1 , …, un} un subconjunto ortogonal de V. Si S es base, se llama base ortogonal.