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II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS
DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE
LA PARTÍCULA
En este capítulo y el siguiente estudiaremos exclusivamente sistemas de fuerzas en el plano, es decir, en dos dimensiones. Una vez comprendido cabalmente será muy fácil entender los sistemas de fuerzas en tres dimensiones, llamadas también fuerzas en el espacio. Seguiremos la divi- sión que señalamos en el capítulo anterior: fuerzas colineales y fuerzas concurrentes en este capítulo, y fuerzas paralelas y fuerzas no concu-rrentes ni paralelas, en el siguiente
Resultantes de los sistemas de fuerzas colineales
Consideremos dos fuerzas concurrentes en el punto A. Por la ley del paralelogramo sabemos que su resultante se encuentra en la diagonal del paralelogramo formado por ellas. Si el ángulo que forman dichas ac- ciones es muy pequeño, la magnitud de la diagonal se aproxima a la suma de los lados. Podemos deducir que si dos fuerzas son colineales, la resul- tante es otra fuerza colineal cuya mag-
F 2 F 1
R
15°
x
nitud es igual a la suma de las mag- nitudes de las dos fuerzas. En el caso en que las dos fuerzas colineales tengan sentidos contrarios, el razonamiento anterior nos lleva a concluir que entonces la resultante tiene el sentido de la fuerza más grande y su magnitud es la diferencia entre las magnitudes de las dos fuer- zas. Si un sistema, en vez de ser de dos fuerzas, está formado por mil, el procedimiento se podría repetir mil veces para obtener la magnitud y el sentido de la resultante. O sea, que podemos generalizar y afirmar que la obtención de la resultante de un sistema de fuerzas colineales se logra mediante la siguiente ecuación:
es decir, que la magnitud es la resultante es igual a la suma algebraica de las fuerzas del sistema, su sentido queda determinado por el signo de esa suma, y su línea de acción es la misma que la de las fuerzas del sistema.
Elegimos un sistema de referencia así
15° 28 kg 16 kg
10 kg 24 kg
Ejemplo. Determine la magnitud y la dirección de la resultante de las cuatro fuerzas que actúan sobre la argolla de la figura.
R
F 1 F 2
F 2
F 1
R
longitud como el ángulo que forma con la horizontal. Como a cada cm co- rrespondieron 10 kg, la resultante de estas dos fuerzas es
R = 71 kg 12°
Puesto que el método gráfico es poco preciso e impráctico, intentare- mos deducir un método analítico o trigonométrico. Observemos que el paralelogramo del ejemplo está contiene dos tri- ángulos, dos de cuyos lados son las fuerzas y el tercero, la resultante. Por tanto, en vez de construir un paralelogramo, dibujaremos una fuerza a continuación de la otra; y la resultante unirá el origen de la primera con la punta de la segunda. Del triángulo conocemos, por tanto, dos lados y el ángulo que forman entre sí. Y mediante cualquier ley del triángulo podemos hallar la magnitud de R y su dirección.
Dibujamos esquemáticamente una fuerza a continuación de la otra y unimos el origen de la primera con la punta de la segunda: este lado co- rresponde a la resultante. Tenemos, pues, un triángulo del que conocemos dos lados y el ángulo que forman entre sí. Conforme la ley de cosenos,
𝑅^2 = 𝐹 12 + 𝐹 12 − 2𝐹 1 𝐹 2 cos 𝛳
𝑅^2 = 40^2 + 50^2 − 2(40)50 cos 105° = 71.
30° 45°
40 kg
50 kg
Ejemplo. Halle analíticamente, me- diante la ley del triángulo, la magnitud y la dirección de la resultante de las dos fuerzas que actúan sobre la argolla de la figura.
50 40
R
105°
θ
y, por la ley de senos,
sen 𝛳 40
sen 105°
por tanto = 32.6°. Y el ángulo que R forma con la horizontal es 45 – 32. = 12.4. Por fin
R = 71. 7 kg 12 .4°
Resolución de fuerzas
Una vez que sabemos cómo hallar la resultante de dos fuerzas concu- rrentes, trataremos de realizar el proceso contrario, es decir, resolver o descomponer una fuerza dada en dos componentes que constituyan un sis- tema equivalente. Ilustraremos el procedimiento de los tres casos princi- pales mediante cuatro ejemplos. El primer caso consiste en resolver una fuerza en dos componentes que tengan ciertas direcciones; el segundo, descomponer la fuerza en dos componentes de cierta magnitud; y el últi- mo, en resolver la fuerza en una componente en cierta dirección y otra de cierta magnitud.
Comenzamos dibujando la fuerza que ha de descomponerse, y en ca- da uno de sus extremos líneas paralelas a las direcciones de las compo- nentes
B
A 75° 60° 120 kg
Ejemplo. Resuelva la tensión hori- zontal de 120 kg en dos componentes: C 1 en la dirección de las barra AB , y C 2 , en la dirección de la barra BC.
Ley de senos
sen 𝛽 600
sen 41 .6° 500
sen 𝛽 =
600 sen 41.6° 500
𝛽 = 52. 9 Puesto que α y β son los ángulos complementarios de θ 2 y θ 1 , res- pectivamente,
𝛳 1 = 37.1° 𝛳 2 = 48.4°
Dibujamos la fuerza vertical que vamos a descomponer. En un extre- mo, una línea a 30°, y con centro en el otro, trazamos un arco de circun- ferencia que corresponde a la fuerza de 110 N
θ 30°
C 2 =1100 N C 1
200 0 N
Ejemplo. Descomponga el peso de 20 00 N en dos componentes: C 1 que for- me un ángulo de 30° con la vertical, y C 2 cuya magnitud sea de 1100 N.
θ 2
β
α
θ 1
2000
30° 2000
30°
θ (^) α
1100
C 1
θ’
2000 α’
30°
1100
C 1 ’
Como se pueden formar dos triángulos, hay dos soluciones.
Primera solución
Ley de senos
sen 𝛼
2000
sen 30° 1100
sen 𝛼 =
2000 sen 30° 1100
sen 84 .6°
sen 30°
1100 sen 84 .6° sen 30°
Las primeras respuestas son
𝐶 1 = 2190 N
sen 35 .4°
sen 30°
𝐶 1 ′^ =
1100 sen 35.4° sen 30°
Y las segundas respuestas son
𝐶 1 ′^ = 1274 N
𝛳′^ = 35 .4°
Ejemplo. Descomponga el peso de 240 lb en dos componentes: C 1 en dirección de la barra BC , y C 2 , cuya magnitud sea la menor posible.
A
58 °
240 #
C
B
𝐹𝑥 = 56 sen 42° 𝐹𝑥 = 37.5 kg
𝐹𝑦 = 56 cos 42° 𝐹𝑦 = 41.6 kg
𝐹𝑥 = 69.3 lb
𝐹𝑦 = −40 lb
𝐹𝑥 = −1697 N
𝐹𝑦 = −1697 N
𝐹𝑥 = 150 sen 68° 𝐹𝑥 = 139.1 kg
𝐹𝑦 = −150 cos 68° 𝐹𝑥 = −56.2 kg
Ejemplo. Obtenga las componentes cartesianas de cada una de las siguientes fuerzas.
y
x
56 kg
42°
y
x
80# 30°
y
x
45°
20°
2400 N
y x
150 kg
68°
2 m
A
5 B
12
260
12 2
13
5
F y
F x
260
Es frecuente que la información acerca de las fuerzas esté relacionada con las dimensiones de los cuerpos y no con sus ángulos. Pensemos por ejemplo, en el cable que sostiene un poste de la figura. Si se sabe que la tensión del cable es de 260 kg, podríamos establecer la siguiente comparación de dos triángulos semejantes. Por el teorema de Pitágoras se puede calcular la longitud de la hipotenusa del primer triángulo y entonces establecer las siguientes proporcio- nes:
260
13
por tanto 𝐹𝑥 = 260 ( 5 13 ), y^ 𝐹𝑦^ =^ −^260 (
12 13 ), es decir,^ 𝐹𝑥^ =^100 kg^ y^ 𝐹𝑦^ = − 240 kg
𝐹𝑥 = 60 kg
𝐹𝑦 = −45 lb
𝐹𝑥 = 85 (15 17⁄^ )
𝐹𝑥 = 75 lb
𝐹𝑦 = −85 (8 17⁄^ )
𝐹𝑦 = −40 lb
Ejemplo. Diga cuáles son las componentes cartesianas de las fuer- zas que se muestran a continuación.
y
x
75 kg
4
3 4
(^53)
85 # y
x
8 15
8 15
17
Elegimos un sistema de referencia cartesiano
𝑅𝑥 = 40 cos 30° + 60 + 120 cos 45° 𝑅𝑥 = 40 √ 3 ⁄ 2 + 60 + 120 √ 2 ⁄ 2 𝑅𝑥 = 20 √ 3 + 60 + 60 √ 2 = 179. 5
𝑅𝑦 = 40 sen 30° − 120 sen 45° 𝑅𝑦 = 40(1 2⁄ ) − 120(√2 2⁄ ) 𝑅𝑦 = 20 − 60√2 = −64. 𝑅 = √179^2 + 64^2 tan 𝛳 =
𝑅 = 190.8 kg 19.9°
120 kg
40 kg
45°
60 kg
Ejemplo. La argolla de la figura está 30° sujeta a las tres fuerzas que se muestran. Determine la resultante de esas fuerzas.
Ejemplo. La figura representa un poste soportado por tres cables coplana- res. Las tensiones en los cables AB , AC y CD son, respectivamente, 150, 260 y 170 lb. Sustituya las tres tensiones que actúan en el extremo A por una sola que produz- ca los mismos efectos externos sobre el poste.
18´ 10 ´ 35 ´
C D
24 ´
B
A
30°
40
45°
120
(^60) x
y
y
θ
R
x
Además de escoger un sistema de referencia, trabajamos con las pendientes de las fuerzas.
𝑅𝑦 = −150(4 5⁄ ) − 260(12 13⁄^ ) + 170(8 17⁄^ )
𝑅 = √160^2 + 440^2
tan 𝛳 =
𝑅 = 468 lb 70°
Dibujemos las fuerzas en su sistema de referencia
Ejemplo. Tres remolcadores empu- jan una embarcación durante sus manio- bras en un puerto. Cada remolcador ejer- ce una fuerza de 2 kN. Diga cuál debe ser el valor del ángulo , de modo que la resultante de los tres empujes tenga la dirección del eje longitudinal del buque. Diga también cuál es la magnitud de la resultante.
15°
15°
θ
x
150
y
170 0
260
3
4
5
8
15
12
3
4 5
8
5 12 13 15 17
y
x
160
440
R
θ
Serie de ejercicios de Estática RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA
1 y 2. Halle gráficamente la magnitud y la dirección de las resultantes de los dos sistemas de fuerzas de las figuras. Utilice una escala tal, que permita resolver los problemas ocupando una hoja tamaño carta.
3 y 4. Resuelva analíticamente los dos problemas anteriores. ( Sol. 533 kg 10.8º; 5.69 N 6.6º)
- El cable AB ejerce una tensión de 120 kips y el AC otra de 80. Determine la magni- tud y la dirección de la fuerza única que es ca- paz de producir los mismos efectos externos sobre la argolla. ( Sol. 188.4 kip 9.2º)
- Se desea sostener el cuerpo de 140 lb que se muestra en la figura. Diga qué tensión T deberá aplicarse para lograrlo y cuál debe ser el ángulo. ( Sol. T = 81.2 lb; θ = 29.5º)
- Descomponga la fuerza horizontal de 500 kg en dos componentes, en las direcciones que se indican. Diga cuáles son las magnitudes de las componentes C 1 y C 2. ( Sol. C 1 = 543 kg, C 2 = 442 kg)
- Los tractores A y B remolcan una embarcación a lo largo de un canal. La cuerda jalada por el tractor A forma un ángulo ϴ = 25º respecto al eje del canal; la cuerda que jala B tiene una tensión de 3 kips y forma un ángulo ϕ= 40º respecto al eje del canal. ¿Cuál es la tensión en la cuerda de A? ¿Qué magnitud tiene la resultante de las dos tensiones? ( Sol. T A = 4.56 kip; R = 6.43 kip)
- Si la embarcación del problema anterior produce una resistencia de 200 kN, y la cuerda gobernada por el tractor A debe soportar la mí- nima tensión posible, ¿qué ángulo ϴ deberá formar con eje del canal, si ϕ= 40º? ¿Cuál es la tensión de cada cuerda? ( Sol. θ= 50º; TA = 128.6 kN; TB = 153.2 kN)
- Determine la magnitud de F y del án- gulo ϴ para lograr que la resultante de las compresiones ejercidas por los perfiles de la figura sea horizontal y de 2.4 ton. La fuerza Q es de 1.8 ton y el ángulo ϕ= 45º. ( Sol.F =2.30 ton, θ=64.5º; F’ =1.097 ton, θ’=25.5º)
- ¿Por qué fuerza única habría que cambiar las tres ejercidas por los perfiles so-bre el elemento estructural mostrado, de modo que se produjeran los mismos efectos externos sobre éste? ( Sol. 2260 lb 16.7º)
- En el centro de un hexágono regular están aplicadas fuerzas de 1, 3, 5, 7, 9 y 11 N, colocadas en ese mismo orden y dirigidas hacia los vértices. Determine la magnitud de su resultante y diga en la dirección de cuál de las fuerzas actúa. ( Sol. 12 N en dirección de la fuerza de 9 N)
- Además de las dos fuerzas mostradas, sobre el poste de la figura actúa la tensión del cable. Diga cuáles son las magnitudes de di-cha tensión y de la resultante de las tres fuer-zas, sabiendo que es vertical. ( Sol. T = 676 kg; R = 804 kg)
