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Curso de Verano
(Álgebra)
(Rectas y Planos - Respuestas)
- Hallar una ecuación paramétrica de la recta de R^2 que es paralela al eje x y pasa por el punto de intersección de las rectas L : x = α(− 6 , 1) + (1, 0) y L′^ : −x + 3y = 2
Lo primero que vamos a hallar es el punto de interseccion de las rectas, para lo cual, convertimos la parametrica en un punto (x,y):
α(− 6 , 1) + (1, 0) (− 6 α, α) + (1, 0) (− 6 α + 1, α)
Reemplazamos el punto obtenido en la implicita.
−x + 3y = 2 −(− 6 α + 1) + 3α = 2 6 α − 1 + 3α = 2 9 α = 3 α = (^13)
Reemplazamos el valor de α otenido en el punto para sacar las coordenadas:
(− 6 α + 1, α) (−6(^13 ) + 1, 13 ) (− 1 , 13 )
Sabiendo esto, hallamos la recta. Como nos pide que sea paralela a x sabemos que es de ecuacion y=0 pero lo necesitamos tener en forma parametrica, por lo que usamos esa formula y lo convertimos en parametros
y = 0 (x, y) = (x, 0) (x, y) = x(1, 0)
O sea, que cualquier recta que sea paralela a x tienen que tener como V. Director (1,0), con eso armamos la nueva recta:
β(1, 0) + (− 1 , 13 )
- Dadas las rectas L : X = α(1, 1) + (2, 0), L′^ que pasa por A = (0, 3) y B = (1, 5) y L′′^ : X = β(4, k), sea P el punto de intersección de L y L′. Hallar el punto P y determinar k de modo que P pertenezca a L′′.
Uso los puntos para formar una ecuacion de L′: (0; 3) − (1; 5) = (−1; −2) (1; 5) − (0; 3) = (1; 2) Elijo algun punto como punto de paso:
β(1; 2) + (0; 3)
Busco el punto P que es la interseccion de L y L′. Igualo ambas rectas:
α(1, 1) + (2, 0) = β(1; 2) + (0; 3) (α, α) + (2, 0) = (β; 2β) + (0; 3) (α + 2, α) = (β; 2β + 3) { α + 2 = β α = 2β + 3 Reemplazo β en la segunda ecuacion
α = 2(α + 2) + 3 α = 2α + 4 + 3 −α = 7 α = − 7
Sabiendo el valor de α, hallamos β:
α + 2 = β −7 + 2 = β −5 = β
Sabiendo esto, reemplazamos los valores para hallar P:
((−7) + 2, (−7)) = ((−5); 2(−5) + 3) (− 5 , −7) = (− 5 , −7)
Igualo P con L′′
(− 5 , −7) = β(4, k) (− 5 , −7) = (4β, kβ)
Armamos un sistema: (^) { −5 = 4β −7 = kβ Tomo la primer ecuacion y despejo:
−5 = 4β
= β
- Sean las rectas L 1 : X = α(4, 3) + (8, 1) y L 2 : y = −^14 x + 2 Si P es el punto de intersección de L 1 y L 2 y Q = (1, 3), encontrar la pendiente de la recta L 3 que pasa por P y Q.
Para hallar el punto de interseccion, reduzco L 1 y reemplazo en L 2
α(4, 3) + (8, 1) (4α, 3 α) + (8, 1) (4α + 8, 3 α + 1)
Reemplazo en L 2
3 α + 1 = −
(4α + 8) + 2
3 α + 1 = −α − 2 + 2 3 α + 1 = −α 4 α = − 1
α = −
Reemplazando en el punto reducido conseguimos P:
(4α + 8, 3 α + 1) ( 4
Con esto, ya tenemos el valor de P = (7, 14 ) y Q = (1, 3), por lo que podemos calcular la pendiente usando la formula:
m =
y 2 − y 1 x 2 − x 1
Tomando como (x 1 , y 1 ) a (7, 14 ) y como (x 2 , y 2 ) a Q = (1, 3) arbitrariamente:
m =
m = −
11 4 6
m = −
- L 1 es la recta que pasa por (1, −4) y (3, −1), L 2 es la recta de dirección (5, 2) que pasa por (− 5 , −3) y Q es el punto de L 2 que pertenece al eje x.
Hallar una ecuación paramétrica de una recta paralela a L 1 que pase por Q.
Uso los puntos para formar una recta (1, −4) − (3, −1) = (− 2 , −3) (3, −1) − (1, −4) = (2, 3) Elijo algun punto como punto de paso:
α(2, 3) + (3, −1)
Formo L 2 ya que se nos da el vector director (5, 2) y el punto de paso (− 5 , −3):
β(5, 2) + (− 5 , −3)
Busco Q igualando L 2 a (x,0) (dado que se nos dice que pertenece al eje x):
β(5, 2) + (− 5 , −3) = (x, 0) (5β, 2 β) + (− 5 , −3) = (x, 0) (5β − 5 , 2 β − 3) = (x, 0)
formamos un sistema de ecuaciones { 5 β − 5 = x 2 β − 3 = 0
Tomamos la segunda ecuacion y despejamos:
2 β − 3 = 0 β = (^32)
Reemplazo en la otra ecuacion:
5 β − 5 = x 5(^32 ) − 5 = x x = (^52)
Formo la nueva recta (usando el V. Director de la primera para que sea paralela y el punto obtenido de la segunda):
γ(2, 3) + (^52 , 0)
- Sean L 1 la recta que pasa por A=(1, a) y B=(− 5 , 0). L 2 la recta de ecuación X = λ(− 12 , 4) + (3, 7). Hallar el valor de a para que L 1 sea paralela a L 2.
Primero formamos la recta L 1 restando los puntos en cualquier sentido y obtenemos el vector director:
(1, a) − (− 5 , 0) = (6, a)
Teniendo el vector director le agregamos un coe ciente y le sumamos un punto de paso:
α(6, a) + (− 5 , 0)
Para que dos rectas sean paralelas tienen que tener mismo vector director o multiplo, por lo que para encontrar el valor de a vamos a copiar los vectores de direccion con un coe ciente (recordar que no se usan los dos en este tipo de operaciones)
α(6, a) = (− 12 , 4) (6α, aα) = (− 12 , 4)
Formamos un sistema de ecuaciones: { 6 α = − 12 aα = 4
De la primera despejo α:
6 α = − 12 α = − 2
Reemplazo en la segunda para despejar "a":
aα = 4 a(−2) = 4 a = − 2
- Sean en R^2 las rectas L 1 : x + 5y = 4, L 2 : α(1, 3) + (− 2 , −10) y el punto P de interseccion de L 1 y L 2. Hallar la ecuacion de la recta L que pasa por P y es paralela a la recta L 3 : β(1, 4)+(9, 3).
Primero hallamos el valor de P , reduciendo L 2 y reemplazando en L 1 como si de un plano se tratara, para hallar el valor de α.
α(1, 3) + (− 2 , −10) (α − 2 , 3 α − 10)
Reemplazamos y resolvemos:
x + 5y = 4 (α − 2) + 5(3α − 10) = 4 α − 2 + 15α − 50 = 4 16 α = 56 α = (^72)
Sabiendo el valor de α hallamos el punto P :
P =
P =
Ahora sabemos que la recta que nos piden es paralela a L 3 por lo que sabemos que comparten el vector de direccion, sabiendo esto damos la ecuacion de la recta.
L: γ (1, 4) +
2 ,^
1 2
- Sean L la recta que pasa por A=(0, − 1 , 3) y B=(2, 3 , 2) y P el punto de L que esta en el plano coordenado xy. Hallar la ecuación de la recta L′^ que tiene dirección (1, 2 , 3) y corta a L en P.
Uso los puntos para formar una recta (0, − 1 , 3) − (2, 3 , 2) = (− 2 , − 4 , 1) (2, 3 , 2) − (0, − 1 , 3) = (2, 4 , −1) Elijo algun punto como punto de paso:
α(− 2 , − 4 , 1) + (0, − 1 , 3)
P es el punto de L que esta en el plano coordenado XY, por lo tanto dicho punto seria del tipo (x, y, 0) Por lo tanto igualamos el punto a la recta:
(x, y, 0) = α(− 2 , − 4 , 1) + (0, − 1 , 3) (x, y, 0) = (− 2 α, − 4 α − 1 , 1 α + 3)
Formamos un sistema de ecuaciones
− 2 α = x − 4 α − 1 = y α + 3 = 0
De la tercer ecuacion sabemos que:
α + 3 = 0 α = − 3
Reemplazamos en la primera:
−2(−3) = x 6 = x
Tambien en la segunda:
−4(−3) − 1 = y 11 = y
Sabiendo esto, podemos decir que el punto es:
P = (6, 11 , 0)
La recta L′^ tiene direccion (1, 2 , 3) y pasa por P, entonces:
α(1, 2 , 3) + (6, 11 , 0)
- Sea el plano π : αx−y +z = 5. Hallar la intersección de π con el eje x sabiendo que P=(− 8 , 0 , 1) pertenece a π
Si P ∈ π puedo averiguar cuanto vale α, reemplazo dicho punto en el plano.
αx − y + z = 5 α(−8) − 0 + 1 = 5 − 8 α + 1 = 5 α = − 21
Por lo tanto π es de ecuacion:
−
x − y + z = 5
Si un plano corta un eje, lo corta en un punto que puede ser del tipo: En este caso reemplazo por (x,0,0) en el plano ya que se nos pide hallar la interseccion con el eje x:
−^12 x − y + z = 5 −^12 x − 0 + 0 = 5 −^12 x = 5 x = − 10
Entonces el plano corta al eje en (− 10 , 0 , 0)
- Sean L 1 la recta que pasa por P = (11, − 2 , 8) y Q = (4, − 5 , 9) y L 2 la recta de ecuacion α(28, 12 , −4) + (9, 7 , 5) Dar una ecuacion parametrica de L 1 y determinar si L 1 es paralela a L 2.
Primero armamos la recta a partir de los puntos que se nos dan, por diferencia de puntos. (11, − 2 , 8) - (4, − 5 , 9) = (7, 3 , −1) (4, − 5 , 9) - (11, − 2 , 8) = (− 7 , − 3 , 1)
Agregamos cualquiera como punto de paso y ya tenemos la recta formada.
β(7, 3 , −1) + (4, − 5 , 9)
Ahora, para que dos rectas sean paralelas, ambas deben tener el mismo vector director o multiplo, entonces:
β(7, 3 , −1) = (28, 12 , −4) (7β, 3 β, −β) = (28, 12 , −4)
Pasamos a sistema: (^)
7 β = 28 3 β = 12 −β = − 4 Despejamos en las tres ecuaciones el valor de β
7 β = 28 ⇒ β = 4 3 β = 12 ⇒ β = 4 −β = − 4 ⇒ β = 4
Como nos da el mismo valor sabemos que son efectivamente paralelas.
- L 1 es la recta que pasa por P = (2, 1 , 5) y Q = (3, 4 , 5) y L 2 es la recta paralela a L 1 que pasa por (3, 1 , 6). Hallar los valores de a y b tales que el punto (4, a, b) pertenece a L 2.
Uso los puntos para formar una recta (2, 1 , 5) − (3, 4 , 5) = (− 1 , − 3 , 0) (3, 4 , 5) − (2, 1 , 5) = (1, 3 , 0) Elijo algun punto como punto de paso:
α(− 1 , − 3 , 0) + (2, 1 , 5)
Para encontrar una paralela sabemos que tienen que tener mismo V. Director pero distinto punto de paso,usamos el que nos dan en el enunciado, por lo que L′^ nos quedaria:
β(− 1 , − 3 , 0) + (3, 1 , 6)
Para saber si (4, a, b) pertenece hay que igualarlo y resolver el sistema de ecuaciones.
β(− 1 , − 3 , 0) + (3, 1 , 6) = (4, a, b) (−β, − 3 β, 0) + (3, 1 , 6) = (4, a, b) (−β + 3, − 3 β + 1, 6) = (4, a, b)
Formamos el sistema: (^)
−β + 3 = 4 − 3 β + 1 = a 6 = b De la primera despejamos β:
−β + 3 = 4 −β = 1 β = − 1
Sabiendo el valor de β, de la segunda despejamos a
− 3 β + 1 = a −3(−1) + 1 = a 4 = a
Para que el punto pertenezca los valores deben ser a = 4 y b = 6
- Sea L la recta que pasa por los puntos A=(1, 0 , 4) y B=(7, 4 , 0). Hallar, si existe, el valor de k para el cual el punto C=(4, 2 , k) pertenece a L.
Uso los puntos para formar una recta (1, 0 , 4) − (7, 4 , 0) = (− 6 , − 4 , 4) (7, 4 , 0) − (1, 0 , 4) = (6, 4 , −4) Elijo algun punto como punto de paso:
α(− 6 , − 4 , 4) + (1, 0 , 4)
Igualamos el punto para ver si pertenece:
α(− 6 , − 4 , 4) + (1, 0 , 4) = (4, 2 , k) (− 6 α, − 4 α, 4 α) + (1, 0 , 4) = (4, 2 , k) (− 6 α + 1, − 4 α, 4 α + 4) = (4, 2 , k)
Formamos un sistema (^)
− 6 α + 1 = 4 − 4 α = 2 4 α + 4 = k De la primera hallamos el valor de α:
− 6 α + 1 = 4 − 6 α = 3 α = −^12
Sabiendo esto, reemplazamos en la tercera para obtener el valor de k:
4 α + 4 = k 4(−^12 ) + 4 = k 2 = k
Para que el punto pertenezca a la recta k tiene que se igual a 2.
- Sean la recta L : X = λ(1, a, 2) + (2, 6 , 4) y el plano π : x − y + 2z = 5. Determinar a ∈ < para que la recta L pase por el origen de coordenadas y hallar la intersección de L y π.
Si la recta pasa por el origen quiere decir que hay que encontrar la interseccion con (0, 0 , 0)
λ(1, a, 2) + (2, 6 , 4) = (0, 0 , 0) (λ, aλ, 2 λ) + (2, 6 , 4) = (0, 0 , 0) (λ + 2, aλ + 6, 2 λ + 4) = (0, 0 , 0)
Formamos el sistema: (^)
λ + 2 = 0 aλ + 6 = 0 2 λ + 4 = 0 De la primer ecuacion hallamos el valor de λ
λ + 2 = 0 λ = − 2
Sabiendo su valor, lo reemplazamos en la segunda para hallar el valor de a:
aλ + 6 = 0 a(−2) + 6 = 0 a = 3
Como ya tenemos el valor de a buscamos la interseccion con el plano reduciendo la parametrica y reemplazandola.
λ(1, 3 , 2) + (2, 6 , 4) (λ, 3 λ, 2 λ) + (2, 6 , 4) (λ + 2, 3 λ + 6, 2 λ + 4)
Reemplazamos en la implicita:
x − y + 2z = 5 (λ + 2) − (3λ + 6) + 2(2λ + 4) = 5 2 λ + 4 = 5 λ = (^12)
A este valor lo reemplazo en la recta reducida y nos queda el valor de la interseccion:
(λ + 2, 3 λ + 6, 2 λ + 4) ( 1 2
- Sea P el punto de intersección del plano π : x − 2 y + z = 6 con el eje y. Sea L la recta que pasa por los puntos (1, 3 , −1) y (2, 1 , 0) Hallar una ecuación de la recta L′^ que es paralela a L y pasa por P.
El punto donde el plano corta al eje y es de forma (0, y, 0), por lo que reemplazamos dicho punto en la ecuacion:
x − 2 y + z = 6 0 − 2 y + 0 = 6 y = − 3
Por lo tanto el punto es de forma (0, − 3 , 0).
Formamos la recta con los puntos que nos dan (1, 3 , −1) − (2, 1 , 0) = (− 1 , 2 , −1) (2, 1 , 0) − (1, 3 , −1) = (1, − 2 , 1) Elijo algun punto como punto de paso:
α(− 1 , 2 , −1) + (1, 3 , −1)
Nos dicen que L′^ es paralela a L por lo que tiene su mismo V. Director pero distino punto de paso, el cual es la interseccion del plano con el eje, por lo que copiamos el V. Director de la recta y le sumamos el punto que conseguimos del plano.
L′^ = β(− 1 , 2 , −1) + (0, − 3 , 0)
- Encontrar la intersección de la recta L : X = α(1, − 2 , 0) + (0, − 1 , 1) con el plano π : 2x + 5y + 3z = 2
Reducimos la recta a un punto para reemplazarlo en el plano:
α(1, − 2 , 0) + (0, − 1 , 1) (α, − 2 α, 0) + (0, − 1 , 1) (α, − 2 α − 1 , 1)
Reemplazamos en el plano:
2 x + 5y + 3z = 2 2(α) + 5(− 2 α − 1) + 3(1) = 2 − 8 α − 2 = 2 α = −^12
Reemplazamos en el punto y nos queda la interseccion:
(α, − 2 α − 1 , 1) ( −
