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Figura 2d Elemento Área Perímetro
Cuadrado l=lado
d=diagonal
2
2
Rectángul
o
b=base
h=altura
Triangulo b=base
h=altura
Formula cambia dependiendo
del triangulo
Triangulo
equilátero
l=lado
2
Circulo
Y sector
circular
r=radio
C=circunferencia
𝜃 =ángulo en rad
𝑜
2
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
2
C=2𝜋𝑟
𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
= 2𝑟 + 𝜃r
Polígono
regular
l=lado
a=apotema
n=num. de lados
trapecio B=base mayor
b=base menor
h=altura
Formula cambia
dependiendo del
trapecio
d
l
h
b
b
h l r l a b B
h
Figura 3d Elemento Volumen Área lateral y total
Cubo a=arista
d=diagonal
3
2
𝐿
2
𝑇
2
Ortoedro l=largo
a=ancho
h=altura
𝑉 = ℎ ∙ l ∙ 𝑎
𝐿
𝑇
Cilindro
recto
r=radio
h=altura
2
𝐿
𝑇
2
Cono(c),
Cono
truncado(ct)
r=radio menor
R=radio mayor
h=altura
g=generatriz
𝑉
𝑐
= ൗ
1
3
𝜋𝑟
2
ℎ
𝑉
𝑐𝑡
=
ℎ𝜋
3
(𝑅
2
2
𝐴 𝐿(𝑐)
= 𝜋𝑟𝑔
𝐴
𝑇(𝑐)
= 𝜋𝑟𝑔 + 𝜋𝑟
2
𝐴
𝐿(𝑐𝑡)
= 𝜋(𝑅 + 𝑟)𝑔
𝐴 𝑇(𝑐𝑡)
= 𝜋[ 𝑅 + 𝑟 𝑔 + 𝑟
2
2
]
Esfera r=radio
3
𝐿
𝑇
2
a
d
l
a
h
r
h
r
Otras formulas empleadas en Razón de cambio (relacionadas con triangulo ABC)
Trigonometría : 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝐵𝐶 𝐴𝐵 ,cos 𝜃 =
𝐴𝐶 𝐴𝐵,etc.
Semejanza de triángulos :
𝐴𝐵
𝐴𝐵
′
𝐴𝐶
𝐴𝐶
′
𝐵𝐶
𝐵
′
𝐶
′
Pitágoras : 𝐴𝐵
2
2
2
A
B
C
C’
B’
𝜃
R
h g
r
R
h
g
Si f(x) y g(x) son continuas en [𝒂, 𝒃] y derivable en (𝒂, 𝒃) → ∃ 𝐜 ∈ (𝒂, 𝒃) tal que se
cumple el:
Teorema de Lagrange o
valor medio:
Teorema de Rolle:
Teorema de Cauchy o
teorema del valor medio
generalizado:
Si y solo si
′
Si y solo si
′
Si y solo si
′
′
Pasos para resolver ejercicios de Razón de Cambio
1)Leer detenidamente el problema y realizar un Bosquejo en base a los datos obtenidos.
2)Sacar datos del problema e identificar variables y constantes.
3)Plantee una ecuación que permita encontrar la razón deseada.
3,5) En el caso de ser necesario, si en la ecuación planteada en el paso 3 se encuentran variables
indeseadas, emplear de ser posible otra relación o relaciones que permitan eliminar la variable o
variables indeseadas.
4)Derivar implícitamente la ecuación respecto a t.
5)Reemplazar datos en la ecuación respecto al momento deseado.
6)Despejar la derivada deseada.
Teorema de L’Hopital
Si existe un lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
tal que
𝑓(𝑎)
𝑔(𝑎)
0
0
ó
∞
∞
entonces es
aplicable el Teorema de L’Hopital
𝒙→𝒂
𝒇′(𝒙)
𝒈′(𝒙)
Se pueden manipular la ecuación para
emplear L’Hopital
lim
𝑥→𝑎
(𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
(
𝟏
𝒈 𝒙
)
=
0
0
ó
∞
∞
La regla se aplica hasta destruir la indeterminación
0
0
ó
∞
∞
Aproximaciones
0
0
0
Error Absoluto
𝑎
= ∆𝑓=𝑓’(x)∆𝑥
Error relativo
𝑅
Formula Figura
Área debajo de una recta
𝑎
𝑏
𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂𝒔
A=
𝑎
𝑏
𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂𝒔
𝒔𝒊 𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑳 𝒂
𝒃
(𝒇) = න
𝒂
𝒃
𝟏 + 𝒇′(𝒙)
𝟐
𝒅𝒙
𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂
𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
𝒍 = න
𝒂
𝒃
𝒙
′
𝒕 + 𝒚′(𝒕)𝒅𝒕
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒑𝒐𝒓 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝐕 = න
𝒂
𝒃
𝑨(𝒙) 𝒅𝒙
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆
𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏
(𝒎𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐𝒔)
𝑽
𝒓𝒆𝒗
= 𝝅 න
𝑎
𝑏
|𝑓 𝑥 |
2
𝑑𝑥
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆
𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏
(𝒎𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒍𝒂𝒔)
𝑽 = 𝝅 න
𝒂
𝒃
|𝒇 𝒙
𝟐
− 𝒈 𝒙
𝟐
| 𝒅𝒙
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆
𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏
𝑴𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒑𝒂𝒔
𝑽 = 𝟐𝝅 න
𝒂
𝒃
𝒙 |𝒇 𝒙 |𝒅𝒙
𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒅𝒆
𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏
𝑨 = 𝟐𝝅 න
𝒂
𝒃
𝒇(𝒙) 𝟏 + 𝒇′(𝒙)
𝟐
𝒅𝒙
coordenadas polares
Área de región Longitud de arco
𝜃 1
𝜃 2
2
𝜃 1
𝜃 2
2
2
Casos Particulares en graficas
- Punto singular
- No existe max o
min
inflexión
- Punto singular
- No existe max o
min
inflexión
Denominado punto
silla: f’(x)=0 y no es
máximo ni mínimo
pero no mínimo
- Punto singular
- Punto singular
- Si existe un max
x Tipo de punto
A,I Punto frontera
B,F
Máximo
B es Max. Local
F es Max.Absoluto
D,H
Mínimo
D es Min. Local
H es Min.Absoluto
C,E,G Punto de inflexión
Creciente:(A,B)U(D,F)U(H,I)
Decreciente:(B,D)U(F,H)
Cóncava:(A,C)U(E,G)
Convexa:(C,E)U(H,I)
Aplicaciones de de la derivada
Máximos y
mínimos
- F(c) es el valor máximo de f en S si 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para toda x en S
- F(c) es el valor mínimo de f en S si 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para toda x en S
- F(c) es el valor extremo de f en S si 𝑓 𝑐 es un máximo o un mínimo
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces f posee máximo y mínimo en [a,b].
Punto fronterizo: En [a,b], a y b son puntos fronterizos de f(x)
Punto estacionario: c es un punto estacionario si f’(c)=0 (máximo, mínimo, silla)
Punto singular: c es un punto singular si f’(c) no existe
Punto critico: Cualquiera de los puntos fronterizos, estacionarios y singulares en f(x)
Monotonía y
concavidad
f es creciente si ∀
𝑥 1
,𝑥 2
en I, 𝑥
1
2
1
2
f es creciente si ∀
𝑥
1
,𝑥
2
en I, 𝑥
1
2
1
2
Teorema de
monotonía
Si f’(x)>0 ∀x en [a,b]⇒f es creciente en [a,b]
Si f’(x)<0 ∀x en [a,b]⇒f es decreciente en [a,b]
Teorema de
concavidad
Si f’’(x)>0 ∀x en [a,b]⇒f es cóncava hacia arriba(concava) en [a,b]
Si f’’(x)<0 ∀x en [a,b]⇒f es cóncava hacia abajo (convexa) en [a,b]
Punto de
inflexión
Si se presenta un cambio de concavidad en c (cóncavo a convexo y
viceversa), entones c es un punto de inflexión.
Cóncava
Creciente Decreciente
Convexa
Creciente Decreciente
B
A
C
D
F
E
H
G
I
F”(x)<
cóncava
F”(x)<
cóncava
F”(x)>
convexa
F”(x)>
convexa
F’(x)<
decrece
F’(x)<
decrece
F’(x)>
crece
F’(x)>
crece
F’(x)>
crece
Intervalo:(A,I)
F es continua
Si f ´(c) = 0 → 𝑐 es un posible máximo o
mínimo. Para comprobar si c es max o min,
se comprueba si existe monotonías opuesta
a ambos lados de c.
Si f "(c) = 0 → 𝑐 es un posible punto de
inflexión. Para comprobar si c es punto de
inflexión, se comprueba si existe
concavidades opuesta a ambos lados de c.
F”(x)
F’(x)
f(x)
a
b
f(x)
g(x)
a
b
a
b
f(x)
r=c; c>
r=2b∙sen(𝜃) r=-2b∙sen(𝜃)
r=2a∙cos(𝜃) r=-2a∙cos(𝜃)
Rosa: si n es par #pétalos=2n, n es impar #pétalos=n
r=a∙sen(n𝜃); n=2; #𝑝 = 4 r=a∙sen(n𝜃); n=3; #𝑝 = 3
r=a∙cos(n𝜃); n=2; #𝑝 = 4 r=a∙cos(n𝜃); n=3; #𝑝 = 3
Graficas de coordenadas polares x=r∙cos(𝜃), x=r∙sen(𝜃),
r=a+bcos(𝜃) r=a-bcos(𝜃) r=a+bsen(𝜃) r=a-bsen(𝜃)
Cardioide
(corazón)
SI a=b
Limazón con rizo
Si 𝟎 <
𝒂
𝒃
Cardioide con
endidura
Si 𝟏 <
𝒂
𝒃
Limazón
convexo o
caracol ovalado
Si
𝒂
𝒃
Notas:
radianes
grafica en
polares
comprobar con
𝝅
𝟐
𝟑𝝅
𝟐
2
2
cos( 2 𝜃) 𝑟
2
2
sen( 2 𝜃) 𝑟
2
2
cos( 2 𝜃) 𝑟
2
2
sen( 2 𝜃)
a+b
a a
a+b
a+b
a
a
a
a
a a
a+b
a a
a a
a
a
a
a
b-a
b-a
b-a
b-a
b+a
b+a
b+a
b+a
b+a
a-b
b+a
a-b
a
b+a
a-b
a
a
b+a
a-b
a a
a-b
b+a
a a
a-b
b+a
a
a
a-b
b+a
a
a
a-b
b+a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
r
2b
b
b
2a
a 2a
a
2b
a
a
a
a
r=b∙csc(𝜃)
r=a∙sec(𝜃)
b
a
