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TRILCE
Capítulo
PROPORCIONALIDAD
9^ Y SEMEJANZA
TEOREMA DE THALES
Si tres o más rectas paralelas, son intersecadas por dos rectas secantes a las paralelas; entonces, se determinan entre las rectas paralelas, segmentos proporcionales. d c b a (^) a b c d
L 1
L 2
L 3
m n Si : * L 1 // L 2 //L 3
- m y n^ secantes Propiedad : B A C x z y w
L M N
Si : L // AC w z y x Teorema de Thales en un triángulo. Propiedad de la Bisectriz En un triángulo, los lados que forman el vértice de donde se traza la bisectriz son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado opuesto o su prolongación. B A C
D
a m n * Bisectriz Interior * Bisectriz Exterior n m a c (^) C a
B
A
E
n m n m a c (^)
Geometría TEOREMA DEL INCENTRO El incentro determina en cada bisectriz dos segmentos que son proporcionales a la suma de los lados que forman el vértice de donde parte la bisectriz y al tecer lado. B A C
D
a (^) (^) b
I
"I" incentro b c a ID
BI
TEOREMA DE MENELAO
Si se traza una recta transversal a los lados de un triángulo, se determinan sobre dichos lados 6 segmentos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros 3 restantes. E D A (^) C F
B
x m n y q z
L
L secante m.n.q = x.y.z TEOREMA DE CEVA Si en un triángulo se trazan 3 cevianas interiores concurrentes, se determinan sobre los lados 6 segmentos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros 3 restantes. E
D
A C
F
B
x m n y z O^ m.n.q = x.y.z q
- AD , BE y CF cevianas
- "O" cevacentro SEMEJANZA Definción : Dos figuras son semejantes se tienen la misma forma, y tamaños distintos. Ejm. : 4u (^) 3u l l l l
2 2 l (^2) l
Geometría
- "O" es centro de la semicircunferencia. CP = 8 u; DP = 2 u; AB = 8u. Calcule PB. A
D
B
C
O
P
- Calcule el lado del cuadrado, mostrado en la figura, en función de la base "b" del triángulo sobre el cual descansa y de la altura "h" relativa a dicha base. h b
- Según el gráfico : (^) BC //ODy OD = 2AB. Calcule BC. Si : AD = 4u. O
D
A
C
B
- En el gráfico, BC = 15 u. Calcule DC, si : G es baricentro del triángulo ABC y L es paralela a (^) AB. A
B
C
D
G
L
- Del gráfico, calcule MQ, si : BC = 25 u y TC = 4AT. M y T : puntos de tangencia. A
B
C
T
M
Q
- En el gráfico, calcule el radio de la cicunferencia mayor donde : OC = 5 m, BC = 4 m.
O
A
B
C
Test de aprendizaje preliminar
TRILCE
- En el gráfico, se tiene un rectángulo ABCD en el cual : AD = 2CD, y donde : m ) OMA = m ) BPO. Si : MN^ y PQ se intersectan en O, de modo que : PO = 2 cm, QO = 4 cm y MO = 5 cm. Calcule NO. B (^) C A D M P N O Q
- Calcule la medida de la hipotenusa del triángulo ABC. Si : x 2 y^2 20 u^2 ; l 8 u. l x (^) l y
A
B
C
- RS = 10 u, ES = 5 u, VE = 3 u. Calcule ST.
R
S
V^ T
E
- P, Q y T son puntos de tangencia, a y b son los radios de las semicircunferencias. Determinar la distancia de T a la recta PQ. O O' a (^) b
P
Q
T
Practiquemos :
- En un triángulo ABC, se ubica el incentro "I" sobre la bisectriz BM , de tal manera que : 3IB = 2BM. Calcule AC, si : AB + BC = 24 u.
- En un triángulo ABC, se trazan las cevianas interiores AM , BN y CL concurrentes en P, de tal manera que: 5AL = 2AB y 9BM = 5BC. Calcule : (^) ) PN
PB
- En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF , luego por F se traza FQ //AB(Q en BC ), la bisectriz del ángulo FQC intersecta a AC en R. Si : FR = a y RC = b. Calcule AF.
TRILCE
- En un triángulo rectángulo, la bisectriz del ángulo recto divide a la hipotenusa en dos segmentos cuyas longitudes son 3 y 1, respectivamente. El menor de sus ángulos mide : a) 30º b) 45º c) 18º d) 60º e) 15º
- En un triángulo ABC, se cumple que : m ) BAC = 2m ) BCA; AB = 6 u y AC = 8 u. Calcule BC. a) 3 21 u b) 21 u c) 2 21 u d) 2 14 u e) 3 14 u
- En la figura mostrada, el punto "O" es el ortocentro del triángulo ABC; BN = 2u, MB = 3u. Calcule OC. AB + BC = 10u. C A (^) B
O
N
M
a) 8 (^3 3) u b) 3 3
u c) 3
u d) 2 3
u e) 2 (^3 3) u
- Si los radios de dos circunferencias miden 3 y 1 m. La mínima distancia entre los centros es 10 m, entonces la distancia entre el punto de intersección de las tangentes interiores y el punto de intersección de las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias es : a) 14 m b) 7,5 m c) 7 m d) 1,2 m e) 6,5 m
- Por el baricentro G, de un triángulo ABC se traza una recta que corta a (^) AB en E y a BC en F. Calcule FC. Si : AE = a, EB = b y BF = c. a) (^) a b( a c ) b) (^) a c( a b ) c) (^) b c( ba ) d) (^) b c( b a ) e) (^) b (b a ) 30. En la figura, ABCD es un cuadrado y ED = 3 2 u. Calcule NC. B (^) C A D E
M
N
a) 2 u b) 2 u c) 2 2 u d) 3 u e) 3 2 u
- En un triángulo rectángulo AB recto en B, se trazan las bisectrices interiores AM y CN , de tal manera que : 5 CM
AN
. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscria en el triángulo ABC. a) 5 u b) 1 u c) 2 u d) 3 u e) (^5)
u
- En la figura, A y B son puntos de tangencia. Si : MN. PQ = 4 2 u 2. Calcule : AM. BP.. N M
Q
P
A
B
a) (^4 2) u^2 b) (^8) u^2 c) (^4) u^2 d) (^8 2) u^2 e) (^62) u^2
- En la figura mostrada, calcule la relación de los perímetros de los triángulos BAM y BCM respectivamente. B A M
C
a) 1 b) 2 c) 1/ d) 1/3 e) 3/
Geometría
- En un triángulo ABC, AB = 3u, BC = 12u. Calcule la longitud de la bisectriz interior BM, si : m (^) ) B = 120°. a) 2 u b) 2,4 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u
- Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. Si en AB se ubican los puntos P y Q, tal que : m ) ACP = m ) PCQ = m ) QCB; AP = a y PQ = b. Calcule QB. a) 2 b a( a b ) b) b 2 a (a b ) c) (a b) a b d) (^) ( 2 a b) a b e)^ 2 a b( ab )
- En el gráfico : EF = 3u, FG = 2u. Calcule GH, si : "T" es punto de tangencia. T H E F G a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 2,5 u
- Se tiene un triángulo ABC acutángulo con AC = 12 m. En su interior, desde un punto "F", se trazan las perpendiculares (^) FD y (^) FE a los lados (^) AB y BC respectivamente. Si : DE = 4 y BF = 6. Calcule el circunradio del triángulo ABC. a) 10 m b) 9 m c) 12 m d) 15 m e) 20 m
- Sea ABC un triángulo, donde : AB + BC = 18 dm y el segmento que une el incentro con el baricentro es paralelo al lado AC. Calcule AC. a) 6 dm b) 8 dm c) 9 dm d) 12 dm e) 16 dm
- En un triángulo ABC, se trazan 3 cevianas concurrentes AM , BN^ y CP^ ; la prolongación de PM intersecta a la prolongación de AC en Q. Si : AN = a y NC = b. Calcule CQ. a) (^) a b a(a b )
b) (^) a b b(a b )
c) (^) a 2 b b(a b )
d) (^2) a b a(a b )
e) (^2) b( ab )
- En la figura : P, Q, T son puntos de tangencia. Si : RS = a. Calcule AC. B S R
P
Q
A
C
T
a) a b) 2a c) a 2 d) 3 a e) 0,75. a
- Del gráfico, calcule "xº", en función de " º". º xº 2a^ a^ a a) º b) 2 º c) 3 º d) 90º - º e) 90º - 2 º
- Si : P, T y R son puntos de tangencia en la figura. Calcule "xº". xº 40º
B
T
P
A
R C
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
Geometría
- La circunferencia inscrita del triángulo ABC es tangente al lado (^) AC en "Q", una recta secante al triángulo es tangente a la circunferencia en P, e interseca a los lados AB (^) y BC (^) en M y N respectivamente. (MC PQ){F }, MP = 4 u, QC = 8 u y FC = 10 u. Calcule MF. a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 8 u
- En un triángulo ABC (recto en B); la m (^) ) BAC = 53°, sea P un punto de la región interior de dicho triángulo, tal que : PA = 15 u, PB = 12u y PC = 20 u. Calcule AC. a) 11 u b) 5 5
u c) 5
u d) 5
u e) 5 25 12 3 u
- En el gráfico : AB = 7u, BC = 9 u y AC = 8 u. Calcule : ET
EI
B
I
T
A C
E N
a) 3/5 b) 3/4 c) 2/ d) 2/3 e) 5/
- De la figura, calcule : PQ. RM, si : ST. LK = 27 u^2. P S R Q T K M
L
a) 25 u^2 b) 25/2 u^2 c) 27 u^2 d) 27/2 u^2 e) 9 u^2
- En un trapecio ABCD (BC //ADy BC AD), por B se traza una paralela a (^) CD , que intersecta a (^) AC en M y por C se traza una paralela a AB que interseca a BD en N. Calcule la longitud del segmento MN^ , sabiendo que: BC = 3u, AM = 6u y CM = 4 u. a) 1,40 u b) 1,50 u c) 1,20 u d) 1,25 u e) 1,35 u
- Si "I" es el incentro del triángulo ABC, y : 3(AH) = 4(RQ) = 6(CT) = 6(TR) = 12 u. Calcule HC. A
B
J
N
M
I
H C T R Q
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 4/7 u
- En el gráfico mostrado : AE = 4 dm, EF = 2 dm, AM = 5 dm y NC = 12 dm. Calcule la diferencia entre FB y MN. B A C
F
E
H
M N
a) 1 dm b) 2 dm c) 2,5 dm d) 3 dm e) 4 dm
- En el gráfico, "I" es el incentro del triángulo ABC y (^) BM es una mediana. Si : (^3)
IB
ID
(^) , EB = 6 dm y FM = 4 dm. Calcular EF. B A C
I
E
F
D M
a) 1 dm b) 1,5 dm c) 2 dm d) 2,5 dm e) 3 dm
TRILCE
ClavesClaves _21.
e a e a a d c b c d e a a b e d b c b c
a c d b c d c c e d b c c e a c c a d c_
