Actividad 1
[a] Enuncia la tercera ley de Kepler y comprueba su validez para una órbita circular.
[b] Un satélite artificial describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra, como se indica en la
figura. Las velocidades en los extremos del eje mayor son v
A
y v
B
. Si la masa de la Tierra
es M y la constante de la gravitación G, calcula la distancia AB.
[c] Explica razonadamente si v
A
es mayor, igual o menor que v
B
.
AB
Tierra
Respuesta
[a] Comprueba que a partir de la tercera ley de Kepler se puede deducir la ley de gravitación
universal.
[b] En primer lugar, se dibuja las velocidades, relativas al satélite, en los puntos A y B.
AB
Tierra
v
v
A
B
B
r
A
r
El movimiento del satélite está regido por dos leyes de conservación: la del momento
angular y la de la energía mecánica. En consecuencia, se cumple que:
, simplificando se llega a:
rAmvA=rBmvB
1
2mvA
2−GMm
r
A
=1
2mvB
2−GMm
r
B
rAvA=rBvB
vA
2−2GM
r
A
=vB
2−2GM
r
B
De la 1ª ecuación se deduce que: ; llevando este resultado a la 2ª ecuación, escrita
rA=v
B
v
A
rB
en la forma , queda: ;
vB
2−vA
2=2GM(1
r
B
−1
r
A
)vB
2−vA
2=2GM(1
r
B
−v
A
v
B
r
B
)
, de donde se puede obtener el valor de r
B
:
vB
2−vA
2=2GM(v
B
−v
A
v
B
r
B
)
. El valor de r
A
es, entonces,
r
B
=
2GM(v
B
−v
A
)
v
B
v
b
2
−v
A
2
=
2GM(v
B
−v
A
)
v
B
(v
B
−v
A
)(v
B
+v
A
)
=
2GM
v
B
(v
B
+v
A
)
. Por lo tanto, la distancia AB es: .
r
A
=
2GM
v
A
(v
B
+v
A
)
d
AB
=r
A
+r
B
=
2GM
v
A
v
B
[c] El satélite evoluciona sometido a la acción de una fuerza central; en consecuencia, el
momento angular del satélite respecto a la Tierra se conserva, esto es, ;
rAmvA=rBmvB
; como en el punto A el satélite se encuentra más cerca de la Tierra que en el
rAvA=rBvB
punto B, la rapidez en A es mayor que la rapidez en B.
Física de 2º Bachillerato Campo gravitatorio
© fagm, 22 septiembre 2009 { 1 }
