Principios de la Incertidumbre en la inteligencia, Apuntes de Aplicaciones Informáticas

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EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

BIOGRAFIA

Heisenberg, Werner Kart. (Wurzburgo, Alemania, 1901-Munich, 1976) Físico alemán

Se formó en la Universidad de Munich, donde asistió a las clases de A. Sommerfeld y por la que se doctoró en el año 1923. También colaboró con M. Born, en la Universidad de Gotinga. Durante su formación fue compañero de W. Pauli tanto en Munich como en Gotinga. Más adelante trabajó con N. Bohr en Copenhague (1924-1927) y desempeñó, sucesivamente, los cargos de profesor de la Universidad de Leipzig (1927), director del Instituto Káiser Wilhelm de Berlín (1942) y del Max Planck de Gotinga (1946), así como del de Munich (1958).

Cuando comenzó la Primera Guerra Mundial, en 1914, el edificio del Gymnasium pasó a convertirse en un cuartel del ejercito. Por ello, las clases tuvieron que ser impartidas en distintos espacios acondicionados, lo que implicó un deterioro de la educación. Lo anterior, Heisenberg lo asumió estudiando de manera independiente una serie de asignaturas que probablemente tendrían un efecto beneficioso en su educación. Matemáticas, física y religión fueron su elección prioritaria, aunque en general su rendimiento en todas las asignaturas escolares fue excelente. Sus habilidades en matemáticas eran tales que pudo coadyuvar en cálculo a amigos universitarios de la familia. Durante ese período de la guerra, Heisenberg perteneció a una organización paramilitar que funcionaba en el Gymnasium, con el objetivo de preparar a los hombres jóvenes para combatir en la guerra.

Sobre su período como estudiante universitario, Heisenberg escribió: Aprendí optimismo de Sommerfeld , matemáticas en Göttingen, y física con Bohr.

En 1932, Heisenberg fue galardonado con el premio Nobel de física por: La creación de la mecánica cuántica, cuyo uso ha conducido, entre otras cosas, al descubrimiento de las formas alotrópicas del hidrógeno.

En 1935, los nazis promulgaron una ley en Alemania la cual establecía que los docentes mayores de 65 años debían retirarse de sus actividades académicas. Sommerfeld tenía 66 años y había manifestado su deseo de ser substituido, en su cargo en la universidad, por Heisenberg cuando concretara su retiro. Se trataba de una posición académica muy del agrado de Heisenberg. Sin embargo, en esa época en Alemania, los nazis ya habían llegado al extremo de calificar a la relatividad y a la mecánica cuántica como ciencia judía y, además,

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Según la física clásica, por ejemplo :

Posición : x = 5 x Momento : p = 10 p

No hay una barrera fundamental para un mejoramiento final de los aparatos o procedimientos experimentales. Es decir, es posible, en principio, hacer estas mediciones con una incertidumbre arbitrariamente pequeña

La teoría cuantica ,predice, sin embargo que tal barrera existe. En 1927, Werner Heisenberg(1901-1976),introdujo esta noción ,la cual ahora se conoce como :

Principio de incertidumbre de Heisenberg. 2

 x  p 

Es físicamente imposible medir en forma simultanea la posición exacta y el movimiento exacto de una partícula:

Si  x es pequeña  p es grande ( y viceversa)

Tales incertidumbres no surgen de imperfecciones en los materiales de medida, sino provienen de la estructura cuántica de la materia

Otra relación: 2

 E  t 

Interpretación Para comprender el principio de incertidumbre, considere el siguiente experimento mental introducido por Heisenberg., para analizar un electrón con un potente microscopio óptico.(a) el electrón se mueve hacia la derecha antes de chocar con el foton.(b) El electrón retrocede(su momento cambia) como resultado de la colisión con el fogón.

Ejemplo 1 : ¿El modelo de Bohr es realista? De acuerdo con el modelo de Bohr del atomo de H, el electrón en ele estado base se mueve en orbita circular de 0,529  10 -10^ m de radio. En vista del principio de incertidumbre de Heisenberg ¿Es realista este modelo? Solución:

Sea 2

 r  p 

Cuando se señala el radion c 3 digitos significativos la incertidumbre radial es a lo sumo :

 r = 0,0005  10 -10m

Luego : s

m kg r

p 1 10. 2 ( 0 , 0005 10 )

21 10

34

 



  

VELOCIDAD

 p  m  v

Luego : s

m m

p v (^) 31 9

21 1 10 9 , 11 10

 ( MAYOR QUE c)

¡El modelo de Bohr no es una descripción razonable del átomo de H!

Ejemplo 2 : Localización de un electrón

La rapidez de un electrón es de 5  103 m/s con una precisión de 0,003%.Encuentre la incertidumbre mínima en la determinación de la posición de este electrón

Solución

Sabemos : 2

 x  p 

Donde : 2

 x   p 

Luego : ( 2 )( 0 , 003 %)( p )

x 

( 2 )( 0 , 003  ^31 ^3



x

 x  0 , 386 mm

PROBLEMAS RESUELTOS

Electrón Datos m= 9,11  10 -31^ kg

v= s

m

Precisión: 0,01% Formula

 x  p ^ despejo : m v

x 

, luego : m v

x 

reemplazo : x  1 , 16 m

Bala

Datos m= 0,02 kg v= s

m

Precisión : 0,01% reemplazo : x  5 , 27  10 ^32 m

50. Se utiliza un rifle de aire comprimido para disparar partículas de 1 g a una rapidez de 100 m/s a través de una apertura de 2 mm de diámetro.¿A que distancia del rifle debe colocarse un observador para poder ver la dispersión del haz en 1 cm, debido al principio de incertidumbre? Compare esta respuesta con el diámetro del universo visible ( 2  1026 )
51. Use el principio de incertidumbre, a fin de demostrar que si un electrón estuviera confinado en el interior de un núcleo atómico de 2  10 -15m de diámetro, tendría que estar desplazándose de manera relativista, en tanto que un protón confinado en el mismo núcleo podría estarse desplazando de manera no relativista.

Solución Electrón

 x  p  despejo : m x

v e 

,reemplazo : 2 ( 2  10 ^15 )

m e

v

s

m v  289  108

Protón

 x  p  despejo : m x

v p 

,reemplazo : 2 ( 2  10 ^15 )

m p

v

s

m v  0 , 158  108

52. (a) Demuestre que la energía cinética de una partícula no relativista se puede escribir en función de su cantidad de movimiento de la forma k = p^2 /2m (b)Utilice los resultados del inciso (a) para determinar la energía cinética mínima de un protón confinado en el interior de un núcleo de 1  10 -15m de diámetro Solución

Parte (a) m

p m

p m

mv K mv 2 2

Parte (b) Proton

En m

p K 2

2  reemplazo ; 2

 x  p  s

m  p  5 , 27  10 ^20 kg.

K = 5,2 MeV

53. Una mujer de pie sobre una escalera deja caer píldoras pequeñas hacia un blanco puntual en el piso.(a) Demuestre que, según el principio de incertidumbre , la distancia promedio de error debe ser por lo menos : 1 / 2 1 /^4 2 2  

g

H

m

x (^) f

Donde H es la altura inicial de cada píldora desde el piso y m es la masa de cada píldora. Suponga que la dispersión en los puntos de impacto esta dada por  x (^) f  xi ( vx ) t. (b) SI H = 2 m y , m = 0,5 g. ¿ cual es valor de  xf? Solución

Sabemos : 2

 x  p 

Luego : 2

 x  mv 

t

x x m

  t

m

 x   2

g

H

m

x

2   

Arreglo : 

1 / 2 2 2 2 4

g

H

m

x

Raiz :

1 / 2 1 /^4 2 2 2

g

H

m

x

Pero :  x (^) f  xi ( vx ) t.

 x (^) f  xi ( vx ) t

x x v t x f^ i x

Luego : 2

 x  x^ f

Reemplazo en (*) , obtengo

1 / 2 1 /^4 2 2  

g

H

m

x (^) f

 E  1 , 06  10 ^32 J

Parte © Aplicamos regla de tres simple

Si E x

mv

---

_______________ 100 %

Obtenemos : 2, 87  10 ^35 %

67. Un mesón o^ es una partícula inestable producto de las colisiones entre particulas de alta energia.Su energía en reposo es de aproximadamente 135 MeV, y tiene una existencia con un tiempo de vida promedio de solo 8,70  10 -17s antes de decaer, formado dos rayos gamma. Utilizando el principio de incertidumbre, estime la incertidumbre fraccionaria  m / m en su determinación de la masa.

Solución

Datos E = 135 MeV

t= 8,7  10 ^17 s

m

m

Formula:

 E  t  También : 2

 x  p  2

 x  mv 

Pero : E = mc^2 ,

Arreglo : 2

 E  t  en : 2 2 2 c

t c

E 

pero de : E = mc^2 obtengo : m c

E

Reemplazo: 2 2 c

m t

Arreglo: m c m t

m 

Sabemos mesón o^ = 135 MeV/c^2

Reemplazo:

 s 

c

MeV c

m

m 17 2

Simplifico:  2 , 8  10 ^8

m

m