Universidad Sim´on Bol´ıvar
Departamento de Matem´aticas
Enero-Abril 2009
Nombre:
Carnet: Secci´on:
MA-3111—Primer Parcial, modelo 28-2-2009, 35 %— 9:30 a.m.
JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS.
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE; a∈R, α, β ∈C.
u(x)U(z)
αu(x) + βv(x)αU(z) + βV (z)
u′
gen(x)zU(z)
u(k)
gen(x)zkU(z)
xu(x)−U′(z)
u(x−a)U(z)e−az
eαxu(x)U(z−α)
u∗v(x)U(z)V(z)
−→
u(x)U(z)
δ(x) 1
δ(k)(x)zk
δ(k)(x−a)zke−az
H(x)1
z
H(x)eαx 1
z−α
H(x)xk−1
(k−1)!
1
zk
−→
u(x)U(z)
H(x)eαx xk−1
(k−1)!
1
(z−α)k
H(x) sen(ax)a
z2+a2
H(x) cos(ax)z
z2+a2
H(x) senh(ax)a
z2−a2
H(x) cosh(ax)z
z2−a2
1. La funci´on de Bessel J0(t)∈C∞(R) + tJ0(t) = 0 satisface la cota |J0(t)| ≤ 1, para todo t,
y la ecuaci´on diferencial
tJ′′
0(t) + J′
0(t) + tJ0(t) = 0 (1)
J0(0) = 1, J′
0(0) = 0 (2)
Sea u(t) = H(t)J0(t).
a) Encuentre la transformada de Laplace de u(t)
b) Use el teorema que relaciona la transformada de Laplace con la convoluci´on para calcular
Zt
0
J0(s)J0(t−s) (3)
Soluci´on
