Método de Operadores Diferenciales: Resolución de Ecuaciones Diferenciales, Apuntes de Matemáticas

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UNIVERSIDAD NACIONAL

INTERCULTURAL DE QUILLABAMBA

LECCIÓN 10

MÉTODO DE OPERADORES

DIFERENCIALES

CURSO : CÁLCULO III

DOCENTE : Dr. ENRIQUE MAMANI M.

SEMESTRE : 202 2 - I

QUILLABAMBA-PERÚ

OPERADORES DIFERENCIALES.

Sea D la diferenciación con respecto a x lo cual se denota por:

2

2

2

𝑛

𝑛

𝑛

Luego

𝑛

𝑛

𝑛− 1

𝑛− 1

1

0

Se le llama operador diferencial de orden n, donde 𝑎

𝑛

𝑛− 1

0

son

constantes o funciones de x.

MÉTODO DE LOS OPERADORES DIFERENCIALES

Para calcular la solución particular de una ecuación diferencial no

homogénea de orden n con coeficientes constantes expresado en función

de los operadores diferenciales es:

Igualando (a) y (b) se tiene:

Si

𝑷

𝟐

𝒙

[∫ 𝒆

−𝑷

𝟐

𝒙

𝒅𝒙]

Entonces:

𝑃

1

𝑥

[∫ 𝑒

−𝑃

2

𝑥

𝛼𝑑𝑥]

EJERCICIOS

RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

DIFERENCIALES

2

−𝑥

𝑆𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁

−𝑥

Caso 3

[𝑒

−𝑥

𝑥

−𝑥

𝑑𝑥}]

[

−𝑥

]

𝑥

[∫

−𝑥

−𝑥

]

𝑥

[∫ 𝑒

− 2 𝑥

. 𝑥𝑑𝑥.]

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠

𝑃

−𝑥

−𝑥

La solución complementaria es:

𝐶

1

−𝑥

2

𝑥

RESPUESTA:

1

−𝑥

2

𝑥

1

2

−𝑥

1

4

−𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑥

SOLUCIÓN

𝑥

𝑥

𝑥

[∫ 𝑒

−𝑥

𝑥

𝑑𝑥]

𝑥

Entonces la solución particular es: 𝑌

𝑃

𝑥

Ahora hallaremos la solución complementaria 𝑌

𝐶

Expresamos el polinomio característico 𝑟 − 1 = 0

𝐶

1

𝑥

RESPUESTA: 𝑦 = 𝑐

1

𝑥

𝑥

[𝑒

2 𝑥

− 2 𝑥

2 𝑥

𝑠𝑒𝑛 3 𝑥𝑑𝑥}]

2 𝑥

2 𝑥

[∫ 𝑒

− 2 𝑥

2 𝑥

) 𝑑𝑥]

2 𝑥

𝑃

2 𝑥

Ahora hallamos la solución complementaria.

Escribimos el polinomio característico de la ecuación diferencial

2

2

2

𝐶

1

2 𝑥

2

2 𝑥

1

2 𝑥

2

2 𝑥

𝑒

2 𝑥

𝑠𝑒𝑛 3 𝑥

9

𝑑

3

𝑦

𝑑𝑥

3

𝑑

2

𝑦

𝑑𝑥

2

5 𝑑𝑦

𝑑𝑥

− 2 𝑥

SOLUCIÓN

3

2

− 2 𝑥

− 2 𝑥

− 2 𝑥

[𝑒

3 𝑥

− 3 𝑥

− 2 𝑥

𝑑𝑥}]

− 2 𝑥

− 2 𝑥

[∫ 𝑒

2 𝑥

− 2 𝑥

)𝑑𝑥]}

[−

− 2 𝑥

]

𝑥

[∫ 𝑒

−𝑥

− 2 𝑥

𝑑𝑥]

− 2 𝑥

− 2 𝑥

𝑃

− 2 𝑥

− 2 𝑥

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎

Escribimos el polinomio característico de la ecuación diferencial

𝑑

3

𝑦

𝑑𝑥

3

𝑑

2

𝑦

𝑑𝑥

2

5 𝑑𝑦

𝑑𝑥

3

2

𝐶

1

− 2 𝑥

2

𝑥

3

3 𝑥

1

− 2 𝑥

2

𝑥

3

3 𝑥

− 2 𝑥

− 2 𝑥