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CÁLCULO (INDUSTRIALES)
CONVOCATORIA ORDINARIA. 31 MAYO 2016
SEGUNDO PARCIAL
HOJA 1 (15 puntos)
A) Clasificar y resolver la EDO: ln ln sen 0
x y^ x e y dx x y dy x y
^ ^
(5 p)
Solución
, ln
, ln sen
x y X x y e y x
x Y x y x y y
X 1 1 Y
y y x x
Por lo tanto se trata de una EDO exacta
La solución general es: ln ln sen
x y x
a b
y a e y dx a y dy C x y
^ ^
+^ +^ +^ +^ +^ =
∫ ∫
Para simplificar el cálculo puede ponerse: a = 1 ; b = 1 :
1 1
ln sen
x y x y e y dx y dy C x y
^ ^
+^ +^ +^ +^ =
∫ ∫
[ ]
1 1
ln ln ln cos
x (^) y x (^) e + x y + y x + y − y = C
ln ln ( ln ) ln cos ( cos1)
x e + x y + y x − e + y + y − y − − =
ln ln cos cos
x
= e + x y + y x − e − y + = C
Por consiguiente, la solución general es:
ln ln cos
x e + x y + y x − y = K
donde k = C + e −cos
B) Clasificar y resolver la EDO:
3 x ln x ⋅ y ′+ y = 3 x
(5 p)
Solución:
3 2 3 1 3 1 3 ln 3 ln ln ln ln
x x x x y y x y y y y x x x x x x x
⋅ ′^ + = → ′^ + = → ′+ =
Se trata de una EDO lineal en y. Se resuelve mediante la fórmula:
( ) ( ) ( )
P x dx P x dx y e Q x e dx C
(^) ∫
En nuestro caso
2 1 3 ( ) ; ( ) ln ln
x P x Q x x x x
= =. Por lo tanto:
(^1) ( ) ln ln (^1) ( ) ln ln ( ) ln ln ; ; ln ln ln
P x dx x^ P x dx x P x dx dx x cte e e e e x x x x
− ∫ − ∫ = = + = = = = ∫ ∫
2 ( ) 3 2 3 ( ) ln 3 ln
P x dx x Q x e dx xdx x dx x C x
∫ = = = +
∫ ∫
Luego la solución general de la ecuación lineal dada es:
( )
ln
y x C x
C) Resolver la EDO:
2 2 x y ′′^ − 3 x y ′+ 3 y = x + x ⋅ln x
(5 p)
Solución
Se trata de una EDO de Euler. Para resolver la homogénea asociada ensayamos
directamente soluciones de tipo potencial:
1 2
r r r
y x y r x y r r x
− −
= ′^ = ′′= −
2 2 2 1
3 3 ( 1) 3 3 [ ( 1) 3 3] 0
r r r r
x y xy y x r r x x r x x x r r r
− −
2 3 1 2
r r r y C x C x
± −^
Usando el método de variación de los parámetros se plantea como solución general:
3 1 2
y = L ( ) x ⋅ x + L ( ) x ⋅ x
donde los parámetros L (^) 1 ( ) x y L (^) 2 ( ) x están sometidos al sistema:
2 2 2 2 3 ln ln ln 2 2 2 4 2 2
x x x x x x = − x − x + + Ax − − ⋅ x − + Bx =
3 2 ln 2 4
x x Ax Bx x x
HOJA 2 (15 puntos)
A) Hallar la transformada de Laplace de la función f t ( ) definida gráficamente por:
(5 p)
Solución
A la vista de la figura, la función f t ( ) está definida mediante:
t
t t f t t t
t
^ <
−^ <^ <
L (^) [ f t ( ) (^) ] = L[ (1 − t )( u 0 (^) − u 1 (^) ) + ( t − 1)( u 1 (^) − u 2 (^) )+ u 2 ]=
= L [ (1 − t ) ⋅ u 0 (^) + −( (1 − t ) + ( t − 1)) ⋅ u 1 (^) ) + −( ( t − 1) + 1)⋅ u 2 ]=
= L [ (1 − t ) ⋅ u 0 (^) + 2( t − 1) ⋅ u 1 (^) + (2 − t ) ⋅ u 2 ]=
[ ] [ ]
2 2 2 2 2 2 2 2
p p p p p p e^ e^ p^ e^ e e t e t p (^) p p p p p p
− − − − − − −^ +^ − = − + L + − + L − + = − + − =
Nota: Se ha utilizado la fórmula: [^ ( )^ ]^ [^ (^ )]
pa a
f t u e f t a
−
L ⋅ = L +
B) Resolver la ecuación integral : 0
( ) 2 ( ) cos( ) 4 sen
t (^) t f t f u t u du e t
−
(5 p)
Solución
La integral que figura en la ecuación corresponde al tipo convolutorio. La propiedad de la
transformada directa a emplear es:
0
( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )
t f u g t − u du = f t ∗ g t = F p ⋅ G p ∫
L L
Hay que aplicar L , resolver en F p ( )y aplicar finalmente
− 1
L :
2 2
p F p F p p p p
2
2 2 2 2
p p p F p F p p p p p p p
^ + +
+^ =^ +^ →^ =^ +
+^ +^ +^ +^ + +
2 2 2
2 2 2 2 2
p p p F p F p p p p p p p p
=^ +^ →^ =^ +
2 2
3 2 3 2
p p F p
p p p p
2
3 2 3
p A B C
p p p p
2 2
A A
p A p B p C A B B
A B C C
=^ =
+^ +^ =^ =
1 1 1 1 2 3 2
f t p p p p
− ^ − ^ ^ − ^ ^ − ^
^ ^ ^ ^ ^
+^ +^ +^ +
L L L L
( )
2 2 2 4 8 4 4 7 4 4 7 4
t t t t t t t t e t e t e t e e t e t e t t e
− − − − − − − − = − + + = − + = − +
C) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica, descrita en el período − 2 ≤ t ≤ 2 ,
mediante f t ( ) = t
(5 p)
Solución
