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Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Cátedras:
Fundamentos para el Análisis de Señales (Ing. Eléctrica)
Análisis Numérico y Cálculo Avanzado (Ing. Industrial)
Cálculo Avanzado (Ing. Mecánica)
Análisis de Señales y Sistemas (Ing. Electrónica)
11 – a.- Definición 1…………………………………………………………………………………
11 – b.- Definición 2…………………………………………………………………………………2 7
11 – c.- Propiedades………………………………………………………………………………….2 7
13 – a.- Trabajo Práctico…………………………………………………………….…………….…2 9
13 – b.- Soluciones…………………………………………………………………………………...
a) Introducción.-
Muchas ecuaciones de la física matemática estudiadas en Análisis Matemático se formulan mediante
derivadas parciales (respecto de las variables independientes) de la función desconocida y se resuelven, en
ocasiones, descomponiendo la incógnita en series (sumas infinitas) de las variables independientes. Las
series más interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carácter periódico de tales
sumas, las series de Fourier se aplican allí donde surgen procesos oscilantes, como ocurre en las series
temporales de naturaleza económica, en electrónica (se aplican por ejemplo en teoría de señales), en acústica
o en óptica. Los problemas teóricos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado
avances fundamentales en distintos ámbitos de las matemáticas y siguen siendo considerados hoy como
problemas muy difíciles.
b) Aplicación en procesamiento digital de señales.-
Para nuestra formación como futuros ingenieros electrónicos es importante considerar la aplicación
de las series de Fourier ya que estas sirven mucho en el procesamiento digital de señales, la cual es una área
de la ingeniería que se ha desarrollado rápidamente en los últimos 30 años Este rápido desarrollo es resultado
de avances tecnológicos tanto en los ordenadores digitales como en la fabricación de circuitos integrados.
Estos circuitos digitales baratos y relativamente rápidos han hecho posible construir sistemas digitales
altamente sofisticados, capaces de realizar funciones y tareas del procesado de señales que
convencionalmente se realizaban analógicamente, se realicen hoy mediante hardware digital, más barato y a
menudo más fiable. Nos parece importante que se tenga en cuenta la diferencia entre una señal analógica y
digital para comprender mejor el procesamiento de señales, el nombre de una señal analógica se deriva del
hecho de que es una señal análoga a la señal física que se representa .La magnitud de una señal analógica
pude tomar cualquier valor, esto es, la amplitud de una señal analógica exhibe una variación continua sobre
su campo de actividad. La gran mayoría de señales en el mundo que hay a nuestro alrededor son analógicas.
Los circuitos que procesan estas señales se conocen como circuitos analógicos. Una forma alternativa de
representación de señal es la de una secuencia de números, cada uno de los cuales representa la magnitud de
señal en un instante determinado. La señal resultante se llama señal digital, esta a diferencia de la señal
analógica es una señal que esta discretizada en el tiempo y cuantificada en magnitud. El procesamiento de
señales se correlaciona con las series de Fourier ya que esta nos permite expresar una función periódica de
tiempo como la suma de un numero infinito de senoides cuyas frecuencias están armónicamente relacionadas
La importancia de esto radica en que la serie de Fourier nos facilita el arduo trabajo del manejo con señales,
ya que para que nosotros podamos procesar estas señales es necesario expresarlas como una combinación
lineal de términos, lo cual nos lo proporciona la serie de Fourier.
c) Aplicaciones en la medicina.-
Diagnóstico automático: La ecografía permite registrar la vibración de cada una de las membranas
del corazón, proporcionando una curva periódica. Un programa de ordenador calcula los primeros términos
de las sucesiones (coeficientes de Fourier). En el caso de la válvula mitral, son suficientes los dos primeros
coeficientes de Fourier para diagnosticar al paciente. Esta forma de diagnóstico disminuye costes en el
sistema sanitario y, sobre todo, evita al paciente los riesgos y molestias inherentes a las pruebas
endoscópicas.
d) Aplicaciones diversas.-
Las series de Fourier son de gran importancia ya que tienen muchas aplicaciones dentro de los
campos de la física y de la matemática entre otros. La idea básica de las series de Fourier es que toda función
periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo
periodo T. Este problema aparece por ejemplo en astronomía en donde Neugebauer (1952) descubrió que los
Babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la predicción de ciertos eventos
celestiales.
La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D’Alembert (1747) y su trabajo de las
Otra de las aplicaciones importantes de la serie de Fourier y en este caso de la transformada de Fourier es el problema del flujo del calor. El planteamiento de este problema es similar al del problema anterior.
Las aplicaciones tanto en la ecuación de ondas, la formula de Poisson y la Identidad de Jacobi son de carácter matemático riguroso por lo que se dejan indicadas.
Teorema de trasplantación para las series de Fourier-Bessel. La presente aplicación es de tipo
matemática utilizando una sucesión de ceros positivos de la función de Bessel de cierto tipo de orden, en este
punto una sucesión de funciones forman un sistema ortonormal completo. Las series de Fourier asociadas a
este sistema ortonormal se denominan series de Fourier-Bessel dentro de este estudio cabe mencionar el
teorema de trasplantación con pesos potenciales para este tipo de series de Fourier que permite un rango lo
mas alto posible para los parámetros involucrados.
a) Serie de Fourier de funciones de período arbitrario T en forma trigonométrica.-
2
T 2 T^ t
n 1
n n
(^0) t T
2 n t b sen T
2 n a cos 2
a f(t)
Coeficientes de Euler – Fourier:
T 2
n T 2
n t dt T
2 n
sen
cos f(t) T
b
a^ ∀n ∈ ℕ^0
∀n ∈ ℕ
El intervalo dado, también puede ser remplazado por cualquier otro de longitud T, (0 t T).
(^)
n 1 n
2 n
a t T
2 n
b sen
a cos f (t)
0
n
n
Coeficientes de Euler – Fourier:
t dt T
2 n
sen
cos f(t) T
b
a
T 2
n 0
n
∀n ∈ ℕ (^0)
∀n ∈ ℕ
c) Desarrollos de medio rango.-
f (t) definida en el intervalo [0, L]
(^)
n 1 n
2 n
a t L
n
b sen
a cos f (t)
o
Coeficientes de Euler – Fourier:
t dt L
n
sen
cos f(t) L
b
a
L
n 0
n
∀n ∈ ℕ (^0)
∀n ∈ ℕ
2
T 2 T^ t
t T
2 n i f(t) cn e
Coeficiente complejo de Fourier:
T 2
T 2
t T
i^2 n n f(t) e dt T
c ∀n ∈ ℤ
El intervalo dado, también puede ser remplazado por cualquier otro de longitud T, (0 t T).
Fórmulas de conversión: (n 0)
(a ib ) 2
c (^) n n n , a (^) n 2 Rec (^) n, bn 2 Im cn, 0 a 0 2
c
e) Teorema de Parseval para la Serie de Fourier.
(^)
n 1
2 n
2 n
2 0
T 2
T 2
(^2 ) a b 2
a 4
f(t) dt T
f(t)
n
k 1
2 n
2 n
2 0
T 2
T 2
2 2 N a b 2
a 4
ε (n) f(t) dt T
g) Error Cuadrático Medio.
ε ε
2 k c ^ ^ ^ ^
n
k 1
2 n
2 n
2 0
T 2
T 2
2 c a b 2
a 4
f(t) dt T
ε (n)
f(t) es aperiódica
A( ) cos( t) B( ) sen( t) d
f(t)
0
Coeficientes de Fourier:
t dt sen
cos f(t) B( )
c) Transformada (infinita) Coseno de Fourier.-
Fc(ω) F (^) c
f(t) ^ Cf(t) f(t)cos(^ t)dt t
Fc(ω) F (^) c
0
f(t) f(t) cos( t)^ dt (^0 t) (T.C.F.)
f(t) F
0
c c
1 c F( ) cos( t)d
F( ) (Transformada Inversa Coseno)
d) Transformada de Fourier (Transformada de Laplace).-
s ℂ
0
st F(s) f(t) e dt
e) Transformada Finita de Fourier.-
Tf.F., 0 < t < L, 0 L n ℤ
L
L
in t Fn f(t) F(n) f(t) e dt 0
Tf.S.F., igual condiciones que la Tf.F.
L
0
Fs (n) Snf(t) f(t) sen(n 0 t)dt
n 1
s s 0
1 n F(n) sen(n t)
f(t) S F(n) (Inversa de la Tf.S.F.)
Tf.C.F., igual condiciones que la Tf.F.
L
0
Fc (n) Cn f(t) f(t) cos(n 0 t)dt
(^)
n 1
c c c 0
1 n F(n) cos(n t) L
f(t) C F(n) (Inversa de la Tf.C.F.)
a) Linealidad.-
F 1 (ω) F f^1 (t) F 2 (ω)F f^2 (t) ctes. a
a
2
1
F a^1 f 1 (t)^ a 2 f 2 (t)a^1 F 1 ()a 2 F 2 ()
b) Escalonamiento o cambio de escala.
a ℝ – {0} F()F f (t) F (^)
a
a
f(at)
F(ω) F f (t) F f (t) F()
d) 1º propiedad de desplazamiento o desplazamiento en el tiempo de la función objeto.-
F(ω) F f (t) F 0
i t f (t t 0 ) F( ) e
e) 2º propiedad de desplazamiento o desplazamiento en la frecuencia de la función imagen.-
0 (cte) ℝ F(ω)F f^ (t) F f (t) e F( 0 )
i 0 t
f) Simetría.-
F(ω) F f (t) F F ( t) 2 f()
F(ω) F f (t) limf(t) 0 t
F f '(t) iF()
F(ω) F f (t) limf(t) 0 t
F f (t) (i ) F( )
(n ) n
i) Transformada de la integral de f(t).-
F(ω) F f (t) 0
f(t)dt F( 0 ) 0 F F( ) i
f(x)dx
t
( x: variable comodín )
j) F(ω)F f (t) F ( it) f(t) F ( )
n (n)
(n) (): derivada de orden n de F()
a) Teorema de Convolución.-
f (t) f(t)f(t) f 1 ()f 2 (t)d
convoluciónentredosfuncionesdadas
Propiedades:
i) f 1 (t)f 2 (t) 0 para t < 0
f(t) f(t) f (t) f( ) f (t )d
t
0
1 2 1 2
f (t)sen 0 t F( ) 2 i
2 i
F(t) 2 f()
f'(t) i F()
f (t)
(n) (i ) F( )
n
t
f(x) dx F( ) F( 0 ) ( ) i
itf(t) F' ()
( it)f(t)
n F ( )
( n)
f 1 (t) f 2 (t) f 1 ()f 2 (t)d F 1 ()F 2 ()
f 1 (t)f 2 (t)
F( ) F( )d 2
1 2 1 2
f(t) F()
e H(t)
at i a
a|t| e
2 2 a
2 a
at^2 e
4 a
2
e a
^
pa(t) para
para
2
a
2
a
t
t
a
a sen
a
t
senat
p (^2) a ()
te H(t)
at 2 (i a )
e H(t) (n 1 )!
t (^) at
n 1
n (i a )
e sen(bt) H(t)
at
(i a)^2 b^2
b
e cos(bt) H(t)
at
2 2 (i a) b
i a
2 2 a t
a| | e a
2 2 a t
cosbt
e a|^ b| e a| b| 2 a
2 2 a t
senbt
a| b| a| b| e e 2 ai
(t) 1
( tt 0 ) e it^0
'(t) i
(t)
(n)
n i
H(t)
i
H( tt 0 )^0
i t e i
t^2 i'()
n t^2 i ( )
n (n)
i 0 t e
cos 0 t ( 0 )( 0 )
sen 0 t i ^ ( 0 )( 0 )
Luego buscamos el coeficiente complejo de Fourier, planteando la fórmula de Cn sabiendo que la función es
periódica de período T = 2.
t e dt 2
f(t) e dt T
in t 2 int n
T 2
T 2
0
con 1 2
Calculamos la integral del miembro derecho
y obtenemos como resultado
que aplicando propiedad distributiva tenemos la siguiente expresión
Ahora bien, si aplicamos la Identidad de Euler
e cos isen
i , a la expresión anterior y sabiendo que
cos n 1 ,n
n ℤ y que sen n 0 ,nℤ, reemplazando y simplificando tendremos
2 3
2
in
2 cos n isen n
n
2 cos n isen n
in
cos n isen n
2
in
2 cos n isen n
n
2 cos n isen n
in
cos n isen n
n
2
2 n n
3
n
2
2 n n
in
n
in
in
n
in
2
n
n
Por lo tanto el valor de Cn será
que simplificando, tenemos con n 0
Para n = 0 , debemos calcularlo aparte; por definición C 0 será
dando como resultado la expresión
Ahora estamos en condiciones de armar la Serie Exponencial Compleja de Fourier de la función dada
(^) int
n n 0
n
2
2 n in t n e n
f (t) Ce^0
Dándole valores enteros a n obtenemos algunos términos de la Serie, como por ejemplo aquellos donde n
varía entre – 5 y 5.
b) Reducir el resultado del ejemplo 1 a la forma trigonométrica de la Serie de Fourier.
Utilizando las fórmulas de conversión de la página 5, obtenemos los coeficientes de Euler – Fourier.
Igualamos el Cn del desarrollo con el Cn obtenido y por igualdad entre complejos obtenemos los coeficientes
buscados
n n n n 2 1 n
a ib 2
Distribuimos el ½ e igualamos partes reales por un lado y partes imaginarias por el otro
de donde se deduce
b
n
a
n
2
n n
Para n = 19
Como se observa en este último gráfico, para 20 términos de la Serie prácticamente no hay diferencia entre la
curva original y su aproximación.
c) Obtener la Serie Trigonométrica de Fourier en Seno de la función f (t) = t
2 , t [0,].
Gráficamente, la función es:
Como nos piden el desarrollo en seno, esto significa que debemos extender la función en forma impar, es
decir, se trata de un Desarrollo de Medio Rango Impar. Primero veamos como quedaría el gráfico al
extenderlo. La extensión impar tendrá la siguiente forma
Bien, ahora hallamos el coeficiente bn del desarrollo, ya que an y a 0 valen cero (por ser f impar). Tenemos
que
L
0 0
2 n t dt
n t sen
tdt L
n f(t)sen L
b
puesto que L = .
Calculamos la integral del miembro derecho, previamente simplificando dentro del seno.
y luego la resolvemos.
Multipliquemos por la constante (^) ^2 al resultado anterior y así obtenemos el coeficiente bn de Fourier
que después de aplicar propiedad distributiva será
Como se puede ver, podemos reducir aún más el resultado si remplazamos (^) cos( n)( 1 )ny sen( n) 0 ,
