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- El espacio real de dimensiones R^3 y Rn 1.1 Conceptos básicos de vectores 1.1.1 Definición de un vector. Representación gráfica 1.1.2 Operaciones con vectores. Igualdad, suma, resta, producto escalar, producto vectorial, triple producto escalar y vectorial. 1.2 Vectores en Rn 1.2.1 Vectores unitarios en Rn 1.2.2 Producto interno, longitud y distancia en Rn 1.2.3 Rectas y planos 1.2.4 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas 1.2.5 Aplicaciones
- Funciones de varias variables con valores reales 2.1 Definición 2.2 Límites y continuidad 2.3 Derivación de funciones con valores reales y sus propiedades 2.3.1 Derivadas parciales 2.3.2 Integración física y geométrica 2.4 Linealización y diferenciales 2.5 Teorema de Taylor 2.6 Derivada implícita 2.7 Derivada direccional 2.8 Dirección y valor máximo de la derivada direccional 2.9 Gradiente y sus propiedades 2.10 Plano tangente, recta normal y ángulo entre superficies 2.11 Valores extremos y puntos silla 2.12 Multiplicadores de Lagrange 2.13 Aplicaciones
- Funciones con valores vectoriales 3.1 Funciones vectoriales 3.2 Curvas y superficies parametrizadas 3.3 Campos vectoriales 3.4 Divergencia, rotacional, laplaciano
- Integrales múltiples 4.1 Integral doble 4.2 Integral triple 4.3 Cambio en el orden de integración 4.4 Teorema de cambio de variable 4.5 Aplicaciones. Área de una superficie
- Integral de línea y superficie 5.1 Integral de línea 5.2 Integral de superficie 5.3 Aplicaciones. Trabajo, circulación, flujo
- Teorema de integración de cálculo vectorial 6.1 Teorema de Green 6.2 Teorema de Stokes 6.3 Teorema de Gauss 6.4 Aplicaciones
1. El espacio real de dimensiones R^3 y Rn 1.1 Conceptos básicos de vectores 1.1.1 Definición de un vector. Representación gráfica 1.1.2 Operaciones con vectores. Igualdad, suma, resta, producto escalar, producto vectorial, triple producto escalar y vectorial. 1.2 Vectores en Rn 1.2.1 Vectores unitarios en Rn 1.2.2 Producto interno, longitud y distancia en Rn 1.2.3 Rectas y planos 1.2.4 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas 1.2.5 Aplicaciones
1. El espacio real de dimensiones de R
3
y R
n
1.1 Escalares y Vectores
Las cantidades las cuales pueden ser especificadas dando solamente un número (positivo, negativo o cero) se llaman escalares. Estas cantidades se definen completamente una vez que se da el número real que representa la magnitud de la misma. Ejemplos de escalares son: temperatura, densidad, masa, trabajo, área, longitud, etc. Los escalares pueden ser comparados únicamente si ellos tienen las mismas dimensiones físicas. Dos escalares medidos en el mismo sistema de unidades se dice que son iguales si tienen la misma magnitud (valor absoluto) y signo. Otras cantidades físicas llamadas vectores, no quedan determinadas por completo hasta que se especifican una magnitud y una dirección. Ejemplos de vectores son: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, momento de una fuerza, intensidad de campo eléctrico, etc.
1.1.1 Definición de un vector.
1.1.1.1 Representación geométrica de vectores Los vectores se denotarán por medio de letras minúsculas negritas como a, b, v, w, u. Los vectores pueden representarse geométricamente como segmentos rectilíneos dirigidos o flechas, en los espacios bi- y tridimensional. La dirección de la flecha especifica la dirección del vector y la longitud de la misma describe su magnitud. La cola de la flecha se llama PUNTO INICIAL del vector y su punta es el PUNTO TERMINAL. Los vectores también pueden denotarse indicando los puntos INICIAL Y TERMINAL. En este caso, dichos puntos se nombran con letras mayúsculas escribiendo primero el punto inicial seguido del punto terminal con una pequeña flecha sobre ellas para indicar que se está denotando un vector. Así, por ejemplo, el vector cuyo punto inicial es el punto A y cuyo punto terminal es B se denota
⃗ AB y el vector cuyos puntos inicial y terminal son B y A respectivamente se denota ⃗ BA.
X
Y
O
A cada punto P en el plano le corresponde una y solo una pareja de números llamada par ordenado. A su vez, cada par ordenado representa uno y solo un punto en el plano coordenado. El par ordenado se llama así porque el primer elemento del par corresponde siempre a la coordenada x (llamada abscisa ) y el segundo elemento corresponde siempre a la coordenada y (llamada ordenada ) del punto P. Todo punto P puede localizarse en el plano trazando perpendiculares desde el punto P hacia los ejes coordenados y considerando los puntos en que estas perpendiculares cortan a los ejes. Los puntos en el que las perpendiculares cortan a los ejes coordenados X y Y son especificados por la abscisa y la ordenada del par ordenado, respectivamente. 1.1.1.2 Representación analítica de vectores Sea v cualquier vector en el plano y supóngase que se ha colocado v de manera que su punto inicial coincida con el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Las coordenadas ( v 1 , v 2 ) del punto terminal de v se llaman componentes de v o componentes escalares de v y se escribe:
v =⟨ v 1 , v 2 ⟩ (1.1)
Así, un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales ( v 1 , v 2 ). Los números v 1 y v 2 se llaman elementos del vector v. Si se colocan vectores equivalentes (vectores que tienen la misma longitud y la misma dirección), v y w , de modo que sus puntos iniciales caigan en el orígen, entonces es obvio que sus puntos terminales deben coincidir. Así entonces, los vectores tienen los mismos componentes. De igual manera vectores con las mismas componentes tendrán la misma longitud y la misma dirección y,
por consiguiente, son equivalentes: v =⟨ v 1 ,^ v 2 ⟩ y w =⟨ w 1 ,^ w 2 ⟩ son equivalentes si y solo si v 1 = w 1 y
v 2 = w 2. Se define también el vector 0 el que tiene componentes ( 0 , 0 ). Por definición, el vector 0 no tiene dirección dado que sus puntos inicial y terminal coinciden. 1.1.1.3 Norma y dirección de un vector Definición 1.2 : A la longitud de un vector v a menudo se le da el nombre de norma de v y se le denota por ║v║.
En el espacio bidimensional, la norma de un vector v =⟨ v 1 ,^ v 2 ⟩ viene dada por el teorema de
Pitágoras como se muestra en la Figura 1.3:
X Y O X
Y
θ X
Y
θ
Y
X
θ X
Y
θ v v v v v v v v v v v2 v Figura 1.3 Norma de un vector anclado en el origen del sistema coordenado. No siempre es posible localizar el punto inicial del vector sobre el origen del sistema coordenado. En este caso, es posible representar dicho vector en forma geométrica localizando las coordenadas de sus puntos inicial y terminal. Si P 1 y P 2 son dos puntos en el espacio bidimensional, entonces el
vector cuyos puntos inicial y terminal son P 1 y P 2 , respectivamente, se denota como ⃗ P 1 P 2. La
norma de este vector es la distancia entre los puntos P 1 y P 2 calculada a partir del teorema de Pitágoras, como se muestra en la Figura 1.4. Figura 1.4 Norma de un vector no anclado en el origen del sistema coordenado.
Definición 1.3 : Se define la dirección del vector v =⟨ v 1 ,^ v 2 ⟩ como el ángulo θ en radianes, medido
en sentido contrario a las manecillas del reloj, que forma el vector con el lado positivo del eje X. Por convención se escoge 0 ≤ θ < 2π. Para determinar θ de manera única es necesario determinar el cuadrante de v tal como se muestra en la Figura 1.5.
v −w w v − w w v v − w w v w − v para todo vector v. Como no existe dirección natural para el vector cero, se convendrá en que se le puede asignar cualquier dirección que resulte conveniente para el caso particular considerado. Además se define − 0 = 0.
La adición de vectores es muy fácil de llevar a cabo en términos de componentes. Así, si v =⟨ v 1 ,^ v 2 ⟩
y w =⟨ w 1 ,^ w 2 ⟩entonces:
v + w =⟨ v 1 + w 1 , v 2 + w 2 ⟩
La sustracción de dos vectores v y w cualesquiera, se define por:
v − w = v + (− w )
Gráficamente, la sustracción de vectores se realiza estimando el vector − w y después realizando la suma normalmente tal y como se indica en la Figura 1.7. Otra manera de realizar la sustracción de vectores, también indicada en la Figura 1.7, es haciendo coincidir los puntos iniciales de los vectores y trazando la resultante desde el punto terminal del vector en el segundo término (sustraendo) hasta el punto terminal del vector en el primer término (minuendo). El trazado de la resultante es muy importante pues, como puede verse en la Figura 1.7, la sustracción de vectores no es conmutativa. Figura 1.7 Representación geométrica de la sustracción de vectores. Teorema 1.1 : Si u , v y w son vectores en el espacio bidimensional y m y n son escalares, entonces i. u + v = v + u ii. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) iii. u + 0 = 0 + u = u iv. u + (− u ) = 0 v. m ( n u ) = ( m n ) u vi. m ( u + v ) = m u + m v vii. ( m + n ) u = m u + n u viii. 1 u = u 1.1.2.2 Multiplicación de un vector por un escalar Si v es un vector y k es un número real (escalar), entonces el producto k v se define como el vector cuya longitud es │ k │veces la longitud de v y cuya dirección es la misma que la de v si k > 0, y opuesta a la de v si k < 0. Se define k v = 0 si k = 0 o v = 0. La Figura 1.8 muestra geométricamente el efecto de multiplicar un vector por un escalar.
v
2 2v^ −v
X
v w = −k v w 1 w 2 v 2 v 1
Y
Figura 1.8 Multiplicación de un vector por un escalar. Analíticamente, cuando un vector es multiplicado por un escalar, sus componentes se ven incrementados en la misma proporción tal como se muestra en la Figura 1.9 para el caso donde k <
Figura 1.9 Producto de un vector por un escalar Por definición:
‖ w ‖=‖ k v ‖
el cual puede escribirse como:
‖ w ‖=| k |‖ v ‖ (1.3)
donde | k | se define como: | k |={
k si k > 0
− k si k < 0
De la Figura 1.9, tenemos, por semejanza de triángulos:
w 1
v 1
‖ w ‖
‖ v ‖
Sustituyendo (1.3), tenemos
w 1
v 1
| k |‖ v ‖
‖ v ‖
=− k
o bien
w 1 =− k v 1
Y
X
u v v − u θ v1 u u v
cos θ =
u • v
‖ u ‖‖ v ‖
(1.5) Otra forma más común de calcular el producto escalar en términos de componentes, es como sigue:
Si u =⟨ u 1 ,^ u 2 ⟩ y v =⟨ v 1 ,^ v 2 ⟩ son dos vectores diferentes de cero, entonces:
u ∙ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 (1.6)
La demostración se basa en la Figura 1.11 utilizando la Definición 1.4 del producto escalar. Por la ley del coseno, podemos escribir para el triángulo mostrado en la Figura 1.11.
‖ v − u ‖
2
=‖ v ‖
2
+‖ u ‖
2
− 2 ‖ v ‖‖ u ‖cos θ (1.7)
de donde despejamos la expresión:
‖ v ‖‖ u ‖cos θ =
(‖ v ‖
2
+‖ u ‖
2
−‖ v − u ‖
2
Figura 1.11 Diagrama para la obtención del producto escalar de vectores. El lado izquierdo de (1.8) es la ecuación (1.4) y desarrollando el lado derecho de (1.8), aplicando la Definición 1.2 de norma, tenemos:
u ∙ v =
[ ( v 1 2
+ v 2
2
) +( u 1
2
+ u 2
2 )−( ( v 1 − u 1 ) 2
+( v 2 − u 2 )
2 ) (^) ] de donde, desarrollando binomios y simplificando obtenemos la ecuación (1.6) anterior. Con esta forma de calcular el producto escalar de vectores, se puede demostrar el siguiente teorema. Teorema 1.2 : Sean u, v y w tres vectores y sea k un escalar. Entonces:
i. u • 0 = 0
ii. u • v = v • u ley conmutativa del producto escalar
iii. u • ( v + w )= u • v + u • w ley distributiva del producto escalar
iv. k ( u• v )=( k u ) • v = u • ( k v )
v. v • v =‖ v ‖
2 vi.
v • v > 0 si v ≠ 0
v • v = 0 si v = 0
De los anteriores, utilizaremos los incisos (ii) a (v) para demostrar la ecuación (1.4) con ayuda de la Figura 1.11. Por el inciso (v) del teorema 1.2 tenemos:
‖ v − u ‖
2
=( v − u ) • ( v − u )
Por la ley distributiva del producto punto (inciso (iii), teorema 1.2), aplicada dos veces, tenemos:
‖ v − u ‖
2
= v • ( v − u )− u • ( v − u )= v • v − v • u − u • v − u • u
Por los incisos (ii) y (v), podemos simplificar la expresión anterior a la forma:
‖ v − u ‖
2
=‖ v ‖
2
− 2 u • v +‖ u ‖
2 Sustituyendo el lado izquierdo de la igualdad por la expresión de la ley del coseno, ecuación (1.7), tenemos:
‖ v ‖
2
+‖ u ‖
2
− 2 ‖ v ‖‖ u ‖cos θ ‖ v ‖
2
− 2 u • v +‖ u ‖
2 Simplificando obtenemos la ecuación (1.4) mostrada anteriormente:
u • v =‖ u ‖‖ v ‖cos θ (1.4)
Utilizando la ecuación (1.5) es posible demostrar el siguiente teorema. Teorema 1.3 : Sean u y v vectores diferentes de cero en el espacio bidimensional. Si θ es el ángulo entre ellos, entonces: i. θ es agudo si y solo si u • v > 0 ii. θ es obtuso si y solo si u • v < 0 iii. θ = π/2 si y solo si u • v = 0 1.1.2.5 Proyección de un vector sobre otro Un resultado útil en el estudio de vectores es la determinación de la proyección de un vector sobre otro tal como se muestra en la Figura 1.12.
Y
X
j i
w =
u • v
‖ u ‖
2 u
Este vector w se llama la proyección ortogonal de v sobre u y se denota:
proyu v =
u • v
‖ u ‖
2 u^
mientras que el vector v − w es llamada la componente de v perpendicular a u y viene dada por:
v − w = v −
u• v
‖ u ‖
2 u^
1.1.3 Vectores unitarios en R^2
Un vector unitario u es un vector con norma igual a 1. Si v es un vector diferente de cero, entonces el vector u obtenido como sigue:
u =
v
‖ v ‖
es un vector unitario que tiene la misma dirección que v. Existen dos vectores especiales en el espacio bidimensional que nos permiten representar
otros vectores en el plano de manera conveniente. Se denotan los vectores ⟨ 1, 0 ⟩ y ⟨ 0, 1 ⟩ con las
letras i y j , respectivamente, y se muestran en la Figura 1.13. Figura 1.13 Vectores unitarios i y j.
Si v =⟨ v 1 ,^ v 2 ⟩ es cualquier vector en el plano, entonces:
v = v 1 + v 2
donde los vectores v 1 y v 2 son vectores mutuamente perpendiculares que yacen sobre los ejes coordenados X e Y, respectivamente. Estos vectores pueden expresarse como:
v 1 = v 1 ⟨ 1, 0 ⟩
v 2 = v 2 ⟨ 0, 1 ⟩
Entonces, el vector v , puede escribirse como:
v = v 1 ⟨ 1, 0 ⟩+ v 2 ⟨ 0, 1 ⟩
O en forma más concisa:
v = v 1 i + v 2 j (1.12)
Con esta representación se dice que el vector v está resuelto en sus componentes vectoriales horizontal y vertical. Los coeficientes v 1 y v 2 en (1.12) se conocen como componentes escalares del vector v. Sea v = v 1 i + v 2 j un vector unitario, entonces: ‖ v ‖=√ v 1 2
+ v 2
2
o bien
v 1
2
+ v 2
2
Así, v puede representarse por un punto en el círculo unitario: Figura 1.14 Círculo unitario mostrando el vector unitario v y sus componentes. Si θ es la dirección de v , entonces:
v 1 =cos θ y v 2 =sin θ
Así, cualquier vector unitario v puede escribirse en términos de la dirección θ de v, en la forma:
v = i cos θ + j sin θ
1.1.3.1 Números directores, ángulos directores y cosenos directores Estas variables son muy útiles para describir totalmente un vector en el plano cartesiano. Las
componentes escalares de un vector v =⟨ v 1 ,^ v 2 ⟩, si v no es un vector unitario, se denominan
números directores. Los ángulos directores se definen como los ángulos que forma el vector con la
Figura 1.16 Proyección de un vector u sobre un vector w. Primero encontraremos el vector unitario w. Sabemos que el vector buscado w es un vector unitario de manera que:
‖ w ‖= 1
Además, el vector w es perpendicular al vector v por lo que se satisface que:
v • w = 0
El vector w puede escribirse en términos de sus cosenos directores como sigue:
w =⟨ cos αw , cos βw ⟩
Así que el problema se reduce a expresar los cosenos directores de w en términos del vector v. De la figura podemos ver que:
αw = αv +
y βw =
v Entonces, por trigonometría, tenemos que:
cos αw =−sin α v y cos βw =sin βv
O bien, en términos de los cosenos directores del vector v :
cos αw =−cos βv y cos βw =cos αv
Por lo que las componentes escalares del vector unitario w , en términos del vector v , son:
w =⟨−cos βv , cos α v ⟩
w =
− v 2
‖ v ‖
v 1
‖ v ‖ ⟩^
(1.13) Es fácil ver que el vector w cumple con las condiciones impuestas de ser un vector unitario:
‖ w ‖=
− v 2
‖ v ‖ )
2
v 1
‖ v ‖)
2
y perpendicular al vector v:
v • w = v 1
(
− v 2
‖ v ‖ ) 2
+ v 2
(
v 1
‖ v ‖) 2
Ahora, para calcular la proyección de un vector u sobre el vector unitario w , utilizaremos la ecuación (1.10)
proyw u =
u • w
‖ w ‖
2 w
Utilizando la ecuación (1.13) para desarrollar el producto escalar, tenemos:
proyw u =
(
− u 1 v 2 + u 2 v 1
‖ v ‖ )(
− v 2
‖ v ‖
i +
v 1
‖ v ‖
j
) El primer término del lado derecho es un escalar; el segundo, es el vector w. Multiplicando, tenemos:
proyw u =
(
u 1 v 2
2
− u 2 v 1 v 2
‖ v ‖
(^2) ) i +(
− u 1 v 1 v 2 + u 2 v 1
2
‖ v ‖
(^2) ) j Para simplificar este resultado, sumaremos el vector cero. La componente x del vector cero, será expresada como:
u 1 ‖ v ‖
2
− u 1 ‖ v ‖
2
y la componente y del vector cero, la expresaremos como:
u 2 ‖ v ‖
2
− u 2 ‖ v ‖
2
Las siguientes líneas muestran lo dicho anteriormente y la simplificación paso a paso:
proyw u =
(
u 1 ‖ v ‖
2
− u 1 ‖ v ‖
2
+ u 1 v 2
2
− u 2 v 1 v 2
‖ v ‖
(^2) ) i +(
u 2 ‖ v ‖
2
− u 2 ‖ v ‖
2
− u 1 v 1 v 2 + u 2 v 1
2
‖ v ‖
(^2) ) j
proyw u =
(
u 1 +
− u 1 ‖ v ‖
2
+ u 1 v 2
2
− u 2 v 1 v 2
‖ v ‖
(^2) ) i +( u^2 +
− u 2 ‖ v ‖
2
− u 1 v 1 v 2 + u 2 v 1
2
‖ v ‖
(^2) ) j
proyw u =
(
u 1 +
− u 1 ( v 1
2
+ v 2
2
) + u 1 v 2
2
− u 2 v 1 v 2
‖ v ‖
(^2) ) i +( u^2 +
− u 2 ( v 1
2
+ v 2
2
)− u 1 v 1 v 2 + u 2 v 1
2
‖ v ‖
(^2) ) j
proyw u =
(
u 1 +
− u 1 v 1
2
− u 1 v 2
2
+ u 1 v 2
2
− u 2 v 1 v 2
‖ v ‖
(^2) ) i +( u^2 +^
− u 2 v 1
2
− u 2 v 2
2
− u 1 v 1 v 2 + u 2 v 1
2
‖ v ‖
(^2) ) j
proyw u =
(
u 1 +
− u 1 v 1
2
− u 2 v 1 v 2
‖ v ‖
(^2) ) i +( u^2 +
− u 2 v 2
2
− u 1 v 1 v 2
‖ v ‖
(^2) ) j
Figura 1.17 Planos mutuamente perpendiculares. Como el punto en el espacio va a localizarse con referencia a estos elementos, los planos se llaman planos coordenados, las rectas de intersección de estos planos se llaman ejes coordenados y el punto O es el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Los ejes coordenados pueden designarse como queramos. Un convenio es el indicado en la Figura 1.17; se dice que el sistema de coordenadas es un sistema de mano derecha. Los ejes coordenados X’X, Y’Y, Z’Z se llaman, respectivamente, el eje X, el eje Y y el eje Z. Estos ejes son rectas dirigidas cuya dirección positiva está indicada en cada una por una flecha. Cada plano coordenado se designa por los dos ejes coordenados que contiene. Así, el plano coordenado que contiene al eje X y al eje Y se llama plano XY; análogamente, tenemos los planos XZ y YZ. Los tres planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamados octantes. El octante determinado por las partes positivas de los ejes coordenados se llama el primer octante; no se acostumbra asignar ningún número a los siete octantes restantes. En la práctica, no es necesario representar el sistema de coordenadas como en la Figura 1.17; es suficiente con trazar solamente los ejes coordenados como se indica en la Figura 1.18. Figura 1.18 Ejes coordenados y planos a través del punto P paralelos a los planos coordenados.
Sea P un punto cualquiera en el espacio. Su posición puede determinarse haciendo pasar por P planos paralelos a los tres planos coordenados y considerando los puntos A, B y C donde dichos planos cortan a los ejes coordenados X, Y y Z, respectivamente, como se muestra en la Figura 1.18. Estos planos, junto con los coordenados forman un paralelepípedo recto rectangular. Evidentemente, la posición de P con relación al sistema de coordenadas está determinada por sus distancias a los planos coordenados. Estas distancias están dadas por las longitudes de los segmentos dirigidos OA, OB y OC, llamados x, y, z , respectivamente. Entonces los tres números reales x, y, z constituyen la coordenada x , la coordenada y y la coordenada z de P. Cada coordenada se mide a partir del origen O sobre el eje coordenado correspondiente, y es positiva o negativa según que su dirección sea la misma o la opuesta a la dirección positiva del eje. Para el punto P de la Figura 1.18 todas las coordenadas son positivas, y el punto está en el primer octante. Las coordenadas se escriben entre paréntesis y separadas por comas y el punto, entonces, se representa por P ( x, y, z ). Debido a que la posición de una coordenada en el conjunto indica a lo largo de que eje se mide la coordenada particular, es importante escribir las coordenadas de cualquier punto P en el espacio en su propio orden. Por esto, las coordenadas de un punto en el espacio forman una terna ordenada de números reales. Un punto P en el espacio tiene una y solamente una terna de coordenadas ( x, y, z ) relativa a un sistema coordenado rectangular especificado. Recíprocamente, una terna de coordenadas ( x, y, z ) determina uno y solamente un punto P en el espacio con respecto a un sistema coordenado fijo. Esto establece una relación biunívoca entre cada terna ordenada y cada punto en el espacio tridimensional. En el trazado del sistema tridimensional, el eje X se dibuja a un ángulo de 135o^ desde el eje Y y las distancias medidas a lo largo del eje se ven disminuidas en (^) √ 2 / 2 veces. Los siguientes ejemplos tienen como objetivo familiarizar al alumno con la localización de puntos en el sistema tridimensional.
- Localizar los puntos cuyas coordenadas son las siguientes: A(2, 0, -1); B(4, -3, 7); C(-5, -4, -2); D(3, -2, 4); E(-3, 3, -6) y F(1, 5, 5)
