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An´alisis de sistemas realimentados, linealizacion y
estabilidad
Andrea Chilito D´ıaz , Nicolas Trujillo Alfaro
Resumen—Este trabajo tiene como prop´osito realizar el an´alisis de un motor DC controlando la velocidad por medio de la tensi´on de campo, cuando la tensi´on de armadura es constante. Se realiza la linealizacion del modelo, donde se obtienen puntos de equilibrio que permitir´an realizar variaciones de un 5 % m´aximo alrededor de estos, lo que permitir´a observar el comportamiento del sistema. Se obtuvo una funci´on de transferencia donde se identifican los polos en el lado izquierdo del semiplano complejo, lo que indica que el sistema es estable. Un valor de ganancia K critico de -11.0756345. Se realiza la sintonizaci´on de los diferentes tipos de controles mediante el m´etodo de Ziegler-Nichols y se observa que el controlador con mejores caracter´ısticas para el sistema es el PID.
Index Terms—Motor DC-DC, estabilidad, MATLAB, SIMU- LINK, voltaje de campo.
I. OBJETIVOS
- Realizar un an´alisis de las caracter´ısticas din´amicas del sistema en estudio basado en el modelo dado.
- Analizar el sistema linealizado teniendo en cuenta las propiedades cualitativas y cuantitativas presentes.
- Implementar el sistema din´amico y validar los resultados con MATLAB o SIMULINK.
II. INTRODUCCI ON´
Los controles autom´aticos son de gran importancia ya que son utilizados diariamente desde los controladores de tostadores autom´aticos hasta los complicados sistemas de control para los veh´ıculos espaciales. En la industria son indispensables porque integran procesos de manufactura, un ejemplo de controladores autom´aticos en la industria son los controles de presi´on, temperatura, viscosidad y flujo [5]. El control autom´atico ha jugado un papel vital en el avance de la ingenier´ıa y la ciencia. Como los avances en la teor´ıa y pr´actica del control autom´atico brindan los medios para lograr el funcionamiento ´optimo de sistemas din´amicos, mejorar la calidad y abaratar los costos de producci´on, liberar de la complejidad de muchas rutinas de tareas manuales respectivas, etc.
Los sistemas mec´anicos, el´ectricos, hidr´aulicos, entre otros se pueden modelar matem´aticamente mediante leyes f´ısicas, a partir de ella se puede obtener la funci´on de transferencia con la cual se puede obtener la respuesta del sistema ante diferentes entradas, un ejemplo de esto es un motor DC, al que se le controlara la velocidad por medio del voltaje de campo. Las respuestas del sistema se pueden optimizar con controladores estos controladores con conocidos como PID y
son muy utilizados en la industria. A continuaci´on se presenta el diagrama de la planta con el controlador. Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID [2].
P acci´on de control proporcional: Da una salida del controlador que es proporcional al error, se utiliza como una constante. I Acci´on de control integral: Da una salida del con- trolador que es proporcional al error acumulado, lo que indica que es un modo controlar lento. D Acci´on de control derivativa: Usualmente se utiliza para disminuir la oscilaci´on de la respuesta del sistema pero su defecto es que amplifica los ruidos.
III. MARCO TE ORICO´
Ceros: Son las ra´ıces del numerador de la funci´on de transferencia, estos afectan la respuesta din´amica del sistema y no la estabilidad [1]. Estabilidad: Un sistema estable, es aquel que al ser perturbado por una fuerza externa, vuelve a su estado de reposo, si esta ya no act´ua sobre el [1]. Est´ator: Es la parte fija del motor, la cual permite establecer el campo magn´etico de excitaci´on [2]. S.Lazo cerrado: Son los sistemas en el cual, el con- trolador se alimenta de la se˜nal de error de actuaci´on, el cual es la diferencia entre la se˜nal de entrada y de retroalimentaci´on, que permite reducir el error y tener la salida en un valor de referencia [3]. Polos: Son las ra´ıces del denominador de la funci´on de transferencia, los cuales deben ser reales y negativas para que el sistema sea estable [1]. Motor DC: Es una maquina, que permite transformar la energ´ıa el´ectrica en un trabajo mec´anico. Esta com- puestos por un rotor, est´ator, eje, escobilla y entre-hierro [4]. Rotor: Es la parte m´ovil del motor, la cual permite proporcionar el par que mover´a la carga [2]. Variables de estado: Es el conjunto de variables, que permiten determinar el comportamiento y evoluci´on de un sistema para cualquier instante de tiempo t ≥ t 0 [5].
IV. METODOLOG´IA
En la presente gu´ıa de laboratorio, nos proporcionan los esquemas el´ectricos y mec´anicos de un motor DC.
Primero se obtienen, las ecuaciones el´ectricas, mec´anicas y complementarias para obtener un sistema de tres ecuaciones, en la cual una es no lineal. A partir de estas ecuaciones, se obtiene el espacios de estados no lineales. Se lleva acabo el dibujo del plano de fase no lineal con las variables iA(t) y la velocidad ω cuando se tiene un voltaje de campo eF (t) constate. Luego se construye la linealizacion del sistema alrededor de un punto mediante las derivadas parciales en el jacobiano. Esto nos permitir´a obtener el espacio de estados linealizado mediante el cual tendremos estados, entradas y salidas. Primero se obtiene la funci´on de transferencia, con la cual se podr´an determinar los polos, ceros, autovalores y autovectores del sistema, con lo cual podremos concluir el tipo de error del sistema. Se obtiene el valor de K en donde el sistema sera estable en lazo cerrado mediante el criterio de Routh. Con esto se podr´a obtener un sistema de control PID, que se realizara mediante la sintonizaci´on usando el m´etodo de Zigler-Nichols donde se analizara la respuesta. Por ultimo, se agregara una perturbaci´on al sistema con el cual se observara el comportamiento del sistema, dependiendo de la respuesta obtenida se realizaran los cambios necesarios para obtener un mejor desempe˜no. Algunos datos utilizados en el desarrollo de la practica fueron obtenidos de diferentes ejemplos de los libros maquinas el´ectricas y sistemas de potencia [6] y maquinas el´ectricas [7], esto con el fin de tener una idea de valores reales.
% v a l o r e s motor
e f = 2 4 0 ; %V o l t a j e campo Rf = 6 0 ; %R e s i s t e n c i a campo Lf =100 e −3; %I n d u c t a n c i a campo
e a = 2 5 0 ; %V o l t a j e a r m a d u r a Ra = 0. 0 6 ; %R e s i s t e n c i a a r m a d u r a La =20 e −3; %I n d u c t a n c i a a r m a d u r a
J = 0. 0 8 ; % B = 0. 0 1 ; % K= 0. 0 1 5 ; %
%P u n t o s de e q u i l i b r i o
wo = 1 5 7. 0 7 9 6 ; %V e l o c i d a d en r a d i a n e s i a o = 9 0 ; %C o r r i e n t e a r m a d u r a i f o = 4 ; %C o r r i e n t e campo
V. RESULTADOS
- Espacio de estados no lineal Ecuaciones no lineales del modelo
if ′^ = −
Rf Lf
if +
Lf
ef (1)
ia′^ =
La
ea −
Ra La
ia −
K
La
if ∗ w (2)
w′^ =
K
J
if ∗ ia −
B
J
w (3)
Matriz A
A =
−Rf Lf 0 0 0 −LaRa^ −LaK K∗ia J
K∗if J
−B J
Matriz B
B =
1 Lf 1 La 0
[
ef ea 0
]
Matriz C C =
[
]
Matriz D D =
[
]
- Plano de fase no lineal iA(t) vs ω(t) Para obtener el plano de fase se utilizo la herramienta PPLA- NE de JAVA, se gr´afico la corriente de armadura con respecto a la velocidad angular.
Figura 1. Plano de fase del sistema.
- Espacio de estados linealizado Ecuaciones lineales del modelo
δif ′^ = − Rf Lf
δif +
Lf
δef (8)
δia′^ = − Ra La
δia −
K
La
if o ∗ δw −
K
La
wo ∗ δif (9)
δw′^ =
K
J
if o ∗ δia +
K
J
iao ∗ δif −
B
J
δw (10)
En la figura 2 se observa la respuesta del sistema en lazo abierto ante un step unitario, donde se obtiene:
Figura 2. Comportamiento del sistema en lazo abierto.
Se analiza la funci´on de transferencia obtenida para determinar que tipo de error que tiene el sistema sin el control. De acuerdo con las tablas de errores, el numero de integradores que se tenga en la funci´on de transferencia del sistema determina este error.A continuaci´on se presenta la funci´on en donde se observa que no hay ning´un integrador por ende, el error es tipo cero (posici´on).
G(s) = 168 , 7 s − 377 , 3 s^3 + 603, 1 s^2 + 1878 s + 1575
lim(s−0)(1/(1 + G(s))) (21)
Se tiene lo siguiente sin control:
eep=131 % eev = eea=
Despu´es se se calculo el tipo de error con una ganancia K calcula con el criterio de Routh-Hurwitz de -11.075. Como no se agregro un integrador, el sistema sigue siendo de error tipo 1 (posici´on).
T(s) =
168 , 7 s − 377 , 3 s^3 + 603, 1 s^2 + 1878 s + 1575
∗ K (22)
lim(s−0)(1/(1 + T (s))) (23)
Se tiene lo siguiente con K:
eep=27.39 % eev = eea=
Por ultimo, se obtuvo el error con un control PID, se obtuvo la funci´on de transferencia de todo el sistema como se presenta a continuaci´on.
G(s) =
168 , 7 s − 377 , 3 s^3 + 603, 1 s^2 + 1878 s + 1575
G(c) =
− 1 , 723 s^2 − 6 , 768 s − 6 , 645 1 , 018 s
T 1 (s) = G(c) ∗ G(s) (26)
T 1(s) =
(− 1 , 723 s^2 − 6 , 768 s − 6 ,645)(168s − 377 ,3)0, 9823 s(s^3 + 603, 1 s^2 + 1878s + 1575) (27) De acuerdo con la operaci´on anterior la funci´on de transferen- cia de todo el sistema cuenta con un integrador, por lo tanto el error es de velocidad tipo 2.
lim(s−0)(1/S(T 1(s))) (28)
Se tiene lo siguiente con PID: eep=0 % eev =63 % eea=
- Valor de K para que el sistema sea estable Se utiliz´o el criterio de Routh-Hurwitz determinando el valor de λ que hace al lazo cerrado inestable. A continuaci´on se presenta el modelo en lazo cerrado:
K(168, 7 s − 377 , 3) s^3 + 603, 15 s^2 + 1878 s + 1575
Luego de realizar la suma, se obtiene la funci´on final que es:
s^3 + 603, 15 s^2 + (1878 + 168, 7 k)s + (1575 − 377 , 3 k) = 0 (30) MATRIZ CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ
s^3 1 1878 + 168, 7 K 0 s^2 603 , 15 1575 − 377 , 3 K 0 s^1 1875 , 388709 + 169, 3255492 K 0 s^0 1575 − 377 , 3 K 0
b 1 =
(603, 15) ∗ (1878 + 168, 7 K) − (1575 − 377 , 3 K)
b 1 = 1875, 388709 + 169, 3255492 K
b 2 = 0 (32)
c 1 =
(1875, 388709 + 169, 3255492 K) ∗ (1575 − 377 , 3 K)
(1875, 388709 + 169, 3255492 K
c 1 = 1575 − 377 , 3 K
c 2 = 0 (34)
Se despeja K, de la ecuaci´on 1875 , 388709 + 169, 3255492 K, donde se obtiene que:
Kcritico > −
El valor obtenido anteriormente como la ganancia del siste- ma, provoca que este tenga oscilaciones sostenidas como se observa en las figuras 3 y 4:
Figura 3. Comportamiento del sistema con el valor de K critico mediante c´odigo en Matlab.
Figura 4. Comportamiento del sistema con el valor de K critico mediante Simulink.
- Control PID ideal
Al obtener el valor de K critico que nos permite poner al sistema en oscilaciones sostenidas siguiendo el segundo m´etodo de Zigler-Nichols, se procede a calcular el periodo o P critico de la se˜nal. Para medir el periodo se toman dos puntos que indiquen el tiempo de inicio y finalizaci´on en que se tarde en realizar un ciclo. El periodo de la onda es de:
Pcritico = 2, 65 − 0 , 613 = 2, 037 segundos (36)
Teniendo el K critico y el P critico, procedemos a realizar la sintonizaci´on de un PID por el m´etodo de Zigler-Nichols. Para obtener los valores de las constantes Ki, Ti y Td y el comportamiento del sistema, se implementa el siguiente c´odigo en Matlab y se obtiene:
%% Z i e g l e r −N i c h o l s Second Method
s = t f ( ’ s ’ ) ; Gs2 = ( 1 6 8. 7 ∗ s − 3 7 7. 3 ) / ( s ˆ 3 + 6 0 3. 1 ∗ s ˆ2+1878∗ s + 1 5 7 5 ) ; %FT K c r i t = −11.0756345; P c r i t = 2. 0 3 7 ; Gcl4 = f e e d b a c k ( K c r i t ∗Gs2 , 1 ) ; f i g u r e s t e p ( Gcl4 ) g r i d on
%% P r o p o r t i o n a l Kp4 = 0. 5 ∗ K c r i t ; P = f e e d b a c k ( Kp4∗Gs2 , 1 ) ; f i g u r e s t e p ( P ) g r i d on
%% P r o p o r t i o n a l + I n t e g r a l Kp5 = 0. 4 5 ∗ K c r i t ; T i 3 = P c r i t / 1. 2 ; Cs4 = Kp5 ∗ ( 1 + ( 1 / ( T i 3 ∗ s ) ) ) ; P I = f e e d b a c k ( Cs4 ∗Gs2 , 1 ) ; f i g u r e s t e p ( P ) h o l d on s t e p ( P I ) g r i d on
%% P r o p o r t i o n a l + I n t e g r a l + D e r i v a t i v e Kp6 = 0. 6 ∗ K c r i t ; T i 4 = 0. 5 ∗ P c r i t ; Td3 = 0. 1 2 5 ∗ P c r i t ; Cs5 = Kp6 ∗ ( 1 + ( 1 / ( T i 4 ∗ s ) ) + Td3∗ s ) ; PID = f e e d b a c k ( Cs5 ∗Gs2 , 1 ) ; f i g u r e h o l d on s t e p ( P ) s t e p ( P I ) s t e p ( PID )
Figura 8. Comportamiento del sistema integrando el torque de carga en lazo abierto.
Al evaluar el sistema con el control dise˜nado anteriormente se tiene la siguiente se˜nal controlada de salida.
Figura 9. Comportamiento del sistema integrando el torque de carga y los controles P, PI y PID.
En las siguiente tablas se presentan los valores que se obtienen para cada uno de los controles en t´erminos de Overshoot, Settling time, Tiempo de pico y constantes obtenidas; cuando se le agrega la perturbaci´on que representa el torque carga.
Tabla III CARACTER´ISTICAS DE LA RESPUESTA DEL SISTEMA PARA CADA TIPO DE CONTROL CON EL TORQUE DE CARGA.
Controles Overshoot( %) Settling time(s) Tiempo pico(s) P 0,769 0,0507 >0, PI 0,362 0,0589 >0, PID 0,0401 0,822 1,
A continuaci´on se presenta la variaci´on de la velocidad del motor DC mediante Simulink, cuando se le agrega un torque de carga de 0,1 Nm:
Figura 10. Espacio de estados con el torque de carga.
Figura 11. Variaci´on de la velocidad con el torque de carga.
VI. AN ALISIS DE RESULTADOS´
En el punto 1, se realiza el espacio de estados cuando el sistema es no lineal, se observa que en la matriz B, la cual representa las entradas del sistema aparecen el voltaje de campo y de armadura. En el punto 2, se realiz´o el plano de fase de la corriente de armadura con respecto a la velocidad angular. En la figura 1 que representa el plano de fase, se observa una onda en forma de espiral que corresponde al diagrama de fase de un movimiento amortiguado. El comportamiento de la corriente tiende a converger a cero cuando la velocidad decrementa con el plano de fase.
En el punto 3, al realizar la linealizacion del sistema se observa que el voltaje de armadura desaparece, quedando representado en t´erminos de corriente y resistencia de armadura, lo que permite que la entrada y el control sea a partir del voltaje de campo. Se determinan los puntos de equilibrio para corriente de campo, armadura y velocidad sobre los cuales se va a trabajar.
En el punto 4 se puede observar los tres autovalores en el sistema lineal, de los cuales dos corresponden a n´umeros complejos conjugados y uno entero negativo, estos valores se encuentran en el lado izquierdo del plano complejo, lo que indica que el sistema es estable. Con el an´alisis local, se obtuvo el camino ´optimo para encontrar el error m´ınimo de la linealizacion del sistema, por medio de las derivadas parciales.
En el punto 5, a partir de la matriz de estado y de salida se obtuvo la funci´on de transferencia del sistema linealizado de tercer grado, el tipo de error se asocia al numero de
integradores que se encuentren en la funci´on de transferencia , como esta no posee ninguno, el tipo de error es cero por lo tanto es de posici´on y el error de velocidad, aceleraci´on es cero. Con el 131 % de error de posici´on se mejoro con un control.
En el punto 6, se realiza el procedimiento siguiendo la teor´ıa para calcular la ganancia K critico del sistema. El valor de la ganancia obtenida es de -11,0756345, este nos indica que para que el sistema siga siendo estable, debe tomar ganancias de valores mayores al obtenido; como en la matriz de Routh no se presentan cambios de signo, esto indica que el sistema es estable. Debido a que el sistema tendr´a muchas oscilaciones y luego se estabilizara en un valor menor que el de referencia, se tendr´a que dise˜nar un controlador PID.
En el punto 7 para dise˜nar un controlador PID mediante el m´etodo de Ziegler-Nichols, es necesario obtener el valor de K critico y el periodo de la se˜nal. El K critico se obtuvo mediante el m´etodo de Routh, con este valor podremos hacer que el sistema tenga un comportamiento de oscilaciones sostenidas para determinar el periodo de la se˜nal, que fue de 2, segundos. Teniendo los valores de K critico y P critico, se empieza a realizar la sintonizaci´on del PID aplicando las formulas utilizadas en el c´odigo realizado en Matlab. Se puede observar en la figura 5 el comportamiento del sistema cuando se le sintonizan los diferentes tipos de control al realizar una variaci´on de 1 V, valor que toma el step. En la tabla I se observan las caracter´ısticas de las respuestas de cada controlador, donde se observa que el mejor controlador es el PID, pues tiene el segundo menor porcentaje de Overshoot con una diferencia de 0,2 %, el mejor tiempo de Settling time y tiempo de pico. Lo que nos indica que el PID obtenido es adecuado para el sistema, el cual representa el control de velocidad para un motor DC.
En el punto 8 se aplic´o la perturbaci´on del sistema incluyendo una entrada nueva. Con la funci´on de transferencia se limito al sistema a responder ante una sola entrada, y al evaluar el la nueva funci´on de transferencia con el control P dise˜nado ante- riormente se pudo corroborar que el sistema sigue referencias y el tiempo de establecimiento es de 500 ms, por lo tanto el control es ´optimo ante una perturbaci´on como un cambio de entrada, en la Tabla III se observa la respuesta ante el control P, PI y PID en comparaci´on con la Tabla I (control con entrada tensi´on de campo) presenta mejor resultados en Overshoot y tiempo de establecimiento, sin embargo, esto se deba a que el sistema solo esta viendo una entrada. Por este medio de simulaci´on se limita a evaluar al sistema, por ende, se recomienda utilizar otro medio.
Despu´es se aplico la perturbaci´on del sistema en simulink, en donde si permiti´o evaluar el sistema ante la entrada de la tensi´on de campo y la entrada de perturbaci´on (torque de carga). En la Figura 11 se observa la respuesta del sistema cuando se le agrega el torque de carga y la disminuci´on de la velocidad que este provoca al motor, la cual es de 1,65 rad/s aproximadamente.
VII. CONCLUSIONES
Los modelos de linealizaci´on pueden variar de acuerdo al tipo de estudio, en este trabajo se implementaron condiciones iniciales de ejemplos desarrollados en libros de maquinas el´ectricas, lo cual permiti´o encontrar las dem´as variables de la linealizaci´on para que el sistema fuera estable. La perturbaci´on representada como el torque de carga afecta la respuesta del sistema, debido que disminuye la velocidad del motor DC cuando este no posee un control. El modelo con la funci´on de transferencia solo permite evaluar el sistema con una entrada debido a que el tama˜no de matricez de estado es diferente al incluir una entrada adicional, por ende la ventaja de trabajar con el diagrama de bloques en simulink es que permite evaluar el sistema con la entrada de la tensi´on de campo y la perturbaci´on (torque de carga). El control que mejor caracter´ısticas tiene para aplicar al control de velocidad del motor DC-DC es el PID, debido a que tiene un balance entre el porcentaje de Overshoot y el tiempo de establecimiento con respecto a los dem´as controladores. En el desarrollo de la practica fue importante tener diferentes puntos de equilibrio, debido a que en algunos de ellos el sistema era inestable cuando se le sintonizaba el control PID, lo que nos llevo a realizar prueba y error, hasta determinar un punto y regi´on de equilibro donde el sistema fuera estable.
REFERENCIAS
[1] D. Mart´ın, “Funci´on transferencia y respuesta impulsiva,” 2011. [2] “Partes de un motor de corriente continua,” 2015. Ultimo acceso 5 Abril
[3] K. Ogata, Ingenier´ıa de control moderna. Pearson Educaci´on, 2003. [4] “Motores de dc,” 2015. Ultimo acceso 5 Abril 2020. [5] D. Rodr´ıguez and C. Bordons, “Apuntes de ingenier´ıa de control, an´alisis y control de sistemas en espacio de estado, identificaci´on de sistemas control adaptativo, control predictivo,” Dpto. de Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica. UPV, 2005. [6] T. Wildi, Maquinas Electricas Y Sistemasde Potencia. Pearson educaci´on,
[7] C. Stephen, G. EDWARD, G. EDWARD, G. EDWARD, G. EDWARD, G. EDWARD, E. H. DAVID, J. L. HILBURN, J. D. IRWIN, J. D. IRWIN, et al., “M´aquinas el´ectricas,” ED. Mc. GRAU HILL, 2014.
