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CAPITULO 4: ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DE FLUIDOS
Las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos y que sirven para resolver numerosos problemas que se presentan en la práctica son:
* la ecuación de continuidad
* la ecuaci6n de la energ'a
* la ecuación de cantidad de movimiento
* la ecuación del momento de la cantidad de movimiento.
4.1 Concepto de sistema y volumen de control
El método que se emplea para deducir estas ecuaciones' es el método de Eu1er, que consiste eri 10 siguiente:
12 adoptar una porción fija del espacio dentro del seno fluido de forma y tamaño constantes. Esta porción de espacio se llama volumen de con- trol y su delimitación superficie de control;
22 escoger una porción de masa fluida de modo que en un instante dado coincida con el volumen de control. Esta porción de masase llama si~ tema y su delimitación contorno.
32 considerar la coincidencia en un instante t, el sistema desplazado un dt después y aplicarle los principios de la mecánica.
t
----....-.......
/'
t+ dt
'
\I ./ S J / / /
~as ecuaciones que se deducen en este capftulo son aplicables a los flui- dos reales. de manera que rigen tanto para flujo lami~ar COmo para flujo turbulento y tanto para flujo rotacional como irrotacional.
4.2 Ecuación de continuidad
4.2.1 Formulación general
-
t
-
f+ df
/--,
1
S I
I / /
mve t··· masa en el volumen de control en el momento t.
mVC(t+ dt) ... masa en el volumen de control en el momento t+dt dm (^) s ••• masa que ha salido del ve en el 1ntervalodt.
dm e
••• masa que ha entrado en el VC en el intervalo dt.
la masa en el sistema permanece invariable:
mVC t = mVC(t + dt) + dm (^) s - .dme
dividiendo entre dt y.ordenando:
dm e
- dm mVC(t + dt} ~ rnVC t s dt =^ dt^ ....^
(16)
es decir, lila rapidez. de variación dela masa en el vol umen de control es igual al caudal neto de masa entrante".
El primer miembro es igual a:
~ = .}t f P d...y-- = f 2f d V VC o VC 3 o
En el segundo miembro:
L.,.~v SC---<
-:rr-d~s^ =^ J p V cos ct d As ut As
dm ____ ¡dA e
se y
=- J p v COS a d Ae
at Ae
V El caudal neto de masa entrante es
dm .. dm e s
dt
Reemplazando en (16}:
fve ~>'T" d Vo = - f se p v • dA
J p
se
v • dA
.... OJl
que es la expresión más amplia de la ecuación de continuidad para'un vol~ men de con tro 1 •
Para movimiento permanente se anula el primer miembro de la (17}:
f P v. 'dA = O {lS} se
para un tubo de flujo, como el fluido no atraviesa las -paredes sólo quedan las' áreas extremas. VI
P2 v 2 dA 2 ~ PI VI dA I = O
es decir:
Si la velocidad medla en B es de 0.60 m/sg y en e es de 2.70 m/sg, ca1cu~
lar las velocidades medias en A y O Y el gasto en cada ramal.
A 8 ° 15m a 30m 2 O.60m/sg 1T 0B QB = AB VB = -4- x VB =
Q
VA = A! = 2.38 m/sg
QC = ACVC = 0.021 m
3 /Sg
QO = QB - QC = 0.021 m
3 /sg
Q V =-º- O AO
= (^) 10.70 m/s
4.3 Ecuación de la energía
4.3.1 Ecuación del movimiento a 10 largo de una l.c.
e o./om.
2.70m/sg
D (^) a05m
En la figura una partícula de fluido de forma prismática se está mo
viendo a 10 largo de una l.c. en la dirección +s y su masa es p • dA. ds
Para simplificar se supone liquido perfecto, es decir sin viscosidad, por 10 que no hay fuerzas de rozamiento. La fuerza de cuerpo es p9 • dA. ds Las fuerzas de superficie son:
p dA Y (p + *ds ) dA
ya que cualquier otra fuerza en la superficie del elemento es normal a s.
Pg dAdS
Segunda ley de Newton:· 1: Fs = dm. as
reemp 1azando:
p dA - (p + *ds J dA - p 9 dA ds cos e = p dA ds. as
dividiendo entre la masa de la partícula y simplificando:
1 p ~as +g, cos e + as = O
de la figura: cos e^
dz
=ds""
según la (7) :^ a^ =^
av + av s Vas^ at
reemplazando: .!.~+ p as g azas'^ +
av + av _ Vas at-
Para flujo permanente:
.!.~+ ~+v~=O p as g as as
ahora p, z y v son sólo funciones de s:
~ *+ ~ ~~ + v ~~ = O
Q2 + g dz + v dv = O
p
O
que es la ecuación de Euler del movimiento a lo largo de una l.c. para:
* líquido perfecto, sin viscosidad
* flujo permanente.
4.3.2 Ecuación de Bernoulli
te) :
Se obtiene integrando la (24) para fluido incompresible (p constan
gz + l +.E. = 2 p
constante
dividiendo entre g;
es decir,
? Z + .E. + ~ = constante y 29
(25)
que es la ecuaci6n de Bernoulli para una línea de corriente, en el flujo permanente del líquido perfecto e incompresible. Cada término tiene unida des de energía por unidad de peso, es decir kg-m/kg. Los tres términos se consideran como en.ergía utilizable.
z energía potencial del fluido por unidad de peso medida a partir de un nivel arbitrario llamado plano de referenci.a;
... y
energía cinética del fluido-por unidad de peso;
energía de presión del fluido por unidad de peso.
La representación gráfica es:
Por último, asf como se ha obtenido en 4,3.1 la ecuación del movimiento en la dirección tangencial s, se puede también obtener la ecuación del movi- miento en la dirección normal n, Cuando se hace esto se llega a la impor- tante conclusi6n de que no obstante estar el lfquido en movimiento, la pre sión en una vertical se distribuye de manera hidrostática, -
z + Ry = constante
z + h = constante
z
-------J<------ Plono de re'erencig
4.3.3 Formulación^ general
La ecuación de Bernou'lli 2 PI vI
zl + Y + 2g
es:
p v 2
= z +-1.+_^2 _
2 Y 29
váHda para una Le., en flujo permanente, de un fluido ideal incompresi- ble. Cada t~rmfno tiene unidades de energía por unidad de peso y los tres términos se refieren a energía util1zabl e.
De ~onsiderarse la viscosidad en el análisis de 4,3.1 y 4.3,2, aparecería un término adicional en función del esfuerzo de corte T que representaría la energ1a por unidad de peso empleada para vencer las fuerzas de fricción. Este término, por razones de orden práctico se puede expresar e interpre- tar del modo qüe sigue: 2 2 PI vI _ P2 v zl + 1r +~. - h Pl-2 - z2 + y + 2g ... , (26)
h Pl-2 .. , pérdida de energfa por unidad de peso (k~~m).
La (26} viene a resultar asi' la ecuactón de la energía para una l.c. Se lee "la energía total por unidad de peso en 1 menos la pérdida de energía es igual a la energía total por unidad de peso en 2/1.
Para una tuberfa se puede considerar:
* una 1.c. coincidente
con su eje;
* que los.valores de z,
p ~ y son representa- tivos de cada se<;:ción;
* que el valor de v en
esta 1.~. no es repr~ sentativo de las velo cidades en la' sección;
-"-
* que conviene utilizar como valor representativo de estas velocidades el
valor medio V (velocidad media), debie~jo en consecuencia reemplazarse:
v^2 v^2
29 por ex. 29
reemplazando en la (26):
2 P1 V 1 zl + Y + 0. 1 29 - (27)
que es la ecuación de la energía para una tuberia. en flujo permanente de un fluido real viscoso, incompresible. El factor a. se llama coeficiente - d~ Cori~is ~ su valor depende de la distribución de velocidades en la se~ ción. Cuando no aparece al lado de la altura de velocidad media es porque se supone igual a la unidad.
Es costumbre referirse a los términos de la (27) indistintamente cQmb altu ras, cargas o energías:
z carga o energía potencial
.P. ..^ de presión
y
carga o energla
V
2 a. 2g carga o^ energía.cinética 2 r hp (^) .. " pérdida de carga o energía 1
Es costumbre también referirs'e a la ecuación (27) como la ecuación de Ber- noull i. La represen"taci ón gráfi ca de 1 a ecuación (27) es:
2 ex (^) 1- vI 29 --
P,
l' - H,
--.________________~~---+_- Plano de referencia
La forma simplificada de la ecuación (27) 2
E hp = H
1 2
es:
H ... carga o energía total
al término z +.P. se llama altura piezométrica; la línea de puntos superior y. es la línea qe altura totales o línea de energía (LE) y la inferior la lí- nea de altura piezométrica o línea de gradiente hidrául ico (LGH); la dis- tancia entre ambas 1 íneas es la "al tura de velocidad. (estrictamente ni la LE ni la LGH "son rectas, pero es común suponerlas co- mo tales, sobre todo tratándose de conducciones largas y tendidas sin ond~ 1 aciones fuertes en su perfil longitud; na 1 )
La distancia vert'lcal del eje de la tubería a la LGH representa la altura
En una l. c. , L _ vh energía cinética por unidad de peso - ~
v 2 potencia que le corresponde =^ y d Q. ~h
v 2 h = y vh dA • 2g
potencia de toda la corriente = fA ~ vh
3 dA
En toda la corriente,
energía cinética por unidad de peso utilizando la velocidad media
potencia que le corresponde
= lA y 2g
potencia real = potencia corregida
Igualando las dos expresiones:
a lA y 1-
y 3 = (^29) v 2g h dA A
a = l¡ A A
v h
3
t-y} dA
el valor de a depende,. como se ve, de la distribución de velocidades en la sección. Cuando no se indica su valor, como ocurre en muchas situaciones prácticas (^) r es que se está suponiendo a ~ 1.
LE Y LGH confundidas.- En ocasiones, sobre todo en tuberías de gran exten sión o "tuberías largas", el valor de la carga de velocidad V^2 a2g" es muy pequeño al lado de las otras cargas.
En tal caso la carga -de velocidad puede ignorarse y r.esultan confundiéndo-
se la LE y l~ LGH.
Descarga entre dos depósitos.- En el esquem,a, H es el desnivel entre los depósitos; L y D.son datos de la tuberfa en la cual suponemos instaladas dos válvulas C y D. x x Escribiendo la ecuación de la energía desde A hasta B tendremos:
H
e
B
2 PA VA a^ Pa Va·^2
(lA +^ ~^ +^ CI.^ -)-^ E^ hp^ =^ lB + Y + Cl. B 2g
Y A^ 2g^ A
a lA + o + o - E^ hp^ lB + o + o A B lA lB^ ==^ ¿^ hp A
B H = E hp A
decir, el flujo se acomoda y se produce una descarga Q de tal magnitud
que ·la carga disponible H resulta igual a la suma de todas las pérdidas (entrada tanque-tubería, fricción, válvula e, válvula D y salida tuberia-
tanque). H es la carga que produce la descarg~ Q. El esquema detallado -
de la LE es:
A
..... (^) ..... ..... (^3) H
.... - (^) ...... 5
e
7 B
D
1 p~rdida tanque- tuberí a
3 pérdida válvula e
(^5) pérdida válvula D 7 pérdida tubería-tanque 2, 4, 6 pérdida por fricción
Instalación de bombeo.- El esquema es autoexplicativo.
por lo tanto: Pot = y Q Hes = potencia neta que redbe la turbina.
4.3.4 ptspositivos para medir velocidades y caudales.
Para medir velocidades:
Previlmente veremos quª es el tubo de pres15n total.
I .-*-.
Om
El tubo de presión total (sombreada) debe ser de pequeño diámetro a fin de que la perturbación de la corriente se~mínima. Se considera la parte de una l.c. de 1 a 2; la pªrdida de ener9fa es pequeña y puede despreciarse. La ecu~ción de Bernoulli resulta:
2 PI vI P Y-+2g=Y- el^2 se llama^ punto^ de^ estancamiento^ y^ en e..^1 v 2 '" O• 2 vI PI + P -2- = P2 Cm)
PI presión estática
v 2
P ~^ I •• , presión dinámica
P2 presión total
la presión total puede obtenerse por medio de un manómetro en U:
Tubop1tot s1mple.- Sirve para medir la velocidad local del líqui- do (vI) en un canal. La ecuación de Bernoul11 entre los puntos 1 y 2 (pun to de estancamiento):
2 PI vI (^) P -+-- = Y 29 y 2 v h + 1 (^) = t.h + h 29
vI -^
.¡ (^29) t.h
Tubo pitot tipo Prandtl.- Sirve para medir la velocidad local del fluido (vI) en una tubería:
3
x
ti
como la perturbación del flujo es pequeña,se puede suponer que las condi: cion~s en el !!punto ~ (VI, PI) se restablecen en el punto 3, despreciándose la perdida de energla.
En el manómetro diferencial:
P2 + y X^ +^ y h^ =^ P3 + y X^ +^ y^ m,
P2 - P3 =^ Ym h^ -^ y h
como P3 '" PI
P2 - PI = lY m - y) h •..•^ (n)
V
2 = p -2- según ecuación (m)
V 2 1 _ p (^) -2- - erm - y) h
V 2 (Y mp
-y] h vI
se puede escribir:
vI = V2 p/:,p i
VI velocidad del fluido en el punto 1.
h
~p presión total - presión estática; se obtiene Con el manóme- tro diferencial (ecuaciónn) p.,. densidad del fluido
Caso particular: cuando por la tubería escurre un gas (por ejemplo aire) y resulta bastante menor que Ym y se puede ignorar. Es decir:
VI = V 2 p/:,p i
con t>p = Ym. h
son hechos comprobados que la brida produce una contracción del chorro (3) y que se presentan zonas muertas en las que la presión estática es la mis- ma que la del líquido circundante.
La ecuación de Bernoulli entre l y 3 considerando distribuciones uniformes de velocidad y que no hay pérdidas es:
- 2 PI VI P 3 V 3 -+- = -+- Y 2g y 2g
PI P3 V 3
2 Vl
2
y y = Tg-Tg
pero AIV (^) I = A 3 V 3
A
VI = Al V 3
artificio: (^) VI
A3 A 2
A 2 , A^
V 3 l
PI P3 V 3
2 A3 A 2
es decir, --- = Tg - (r. A)
y y (^2) l
(^2) V 2 3 2g
PI - P 3
V 2 \
[ 1 -
3 A3^ A2 2 ]
y 2g^ CA'^ Al
2 l
llamando: u al (^) coeficiente de contracción
m a 1a relación de áreas
A 2 Al
PI -^ P^
V 2 [ l - 2 2] = 3 y 2g^ u^ m
29
PI - P
V = X^ = 3 2 2 l - u m
Para' encontrar el caudal escribimos:
Q =^ A 2 V 2
A 2 V 2 A 3 V 3
A V 2 =^ 2VA 2 3 V 2 = (^) u V 3
A A 2
Q :: A
2
u V 3
en vez de medir PI - P3 se prefiere medir ~p muy cerca de la brida por lo que habrá que introducir un coeficiente de corrección. Se estila:
2 PI - P3 = ~ • Ap
~ (^2) ~p • ~ 2 I 2 2 pO-u m}
~
Q = A 2 u • ~=======,
VI
2 2 1
cuando el valor ~ es relativamente grande se corrige esta ecuación con PI un factor e: llamado coeficiente de expanstón y que para los fluidos incom- presibles vale la unidad.
Q = < A' e V 2 hp I 2 Q p
e = Q (^2) 2' u m
tq)
- t •• , (r)^ coeficiente de fl uidez.
La fórmula tq} es válida para bridas, tubos y venturímetros, variando para cada caso tan sólo la expresión de CQ que para las bridas se ha encontrado es la (r}. ' ,
Por experiencias realizadas se sabe que CQ se mantiene constante 'a partir .de un cierto número de Reynolds (Re) llamado Reynolds lfmite para cada va- lor de m.
~m. ~m=O, etc
~--------------------Re
Para medidores venturi:
I
--
-,~..,-
se asume que no se produce contracción vertical, ni pérdida de energía, que la distribución de velocidades es uniforme y que dentro del chorro ac- túa la presión atmosférica.
Se deduce la expresión del caudal te6rico y luego de corrige con un coefi- ciente determinado experimentalmente.
Bernoulli entre 1 y 2:
v 2
H = (H _ y) + O + 2 2g
v 2 '" 1297
d Qt = v2. dA = 12g y • b dy
por semejanza de triángulos:
b (^) = ~
B H
b =^ ~H^ B
d Qt =~H^ B^ l29Y dy
= ¡^ 2g^ HB^ (H - y) iy^ dy
= 129 ~^ (H^ yl/2^ _^ y3/2)^ dy
~ _ y5/2 ~)H
- 5 O
4 129~ = é/^2
B 8
129 ~ H
5
= 15 /^2
(^8) ng tg ~ H
5 /
2
Q =^ I^8 na^ t^ i^ H^5 /
2
r c 15 9 9 2..
es un coeficiente de corrección por pérdidas y contracción vertjcal.
Q = e tg i H^5 /^2
2
se comprueba experimentalmente que el no es constante sino que varía con
H Naturalmente e .también varía con H.
4.3.5 Ejemplos de aplicación
Ejemplo 36.- Una tubería que transporta aceite de g;e. = 0.877 pa-
sa de 15 cm de diámetro en la sección 1 a 45 cm en la sección 2. La sección 1 está 3.60 m por debajo de la 2 y las. presiones respectivas son 0.930 kg/cm 2 y 0.615 kg/cm 2• Si el caudal es 146 lps, de- terminar la pérdida de carga y la dirección del flujo.
3 y ::;: 877 kg/m
Al = 0.018 m
2
A 2
= ~ .159 m
2
V 2
Vl = -º-=
Al
8.11 m/sg
1 _ ... 2g - 3.36 m
V
2 =^ -º-=^
0.92 m/sg A 2
V 2
2~ = 0.04 m
PI = 9i OO^ = 10.60 m
y 877
~ = 6150 = 7 y 877 ' .01 m
2 PI VI
HI = zl + l(+ ~ = O + 10.60 + 3.36 = 13.96 m
2 P2 v 2
H 2 = z2+'~ + ~ = 3.60 + 7.01 + 0.04 = 10.65 m
~H = Hi - H 2 = 3.31 m, y el flujo es de 1 a 2.
Ejemplo 37.- Está fluyendo un aceite (g.e. = 0.84) desde el depósito A a
, través de una tuberfa de 15 cm de diámetro y hasta el punto B. ¿Qué presión en kg/cm^2 tendrá "que actuar sobre A para--q.re circulen 13 lps de aceite; si por fricción se pierde u2a carga igual a 23.5 V^2 {2g y en la entrada a la tubería se pierde 0.5 ~g?
30.0 m!,
24,00 m! aire A
Ecuación de la energía entre A y B:
2 PA YA B p^ V^2 ZA + - + Ya - I: hp = y 9 A
Z +-ª-+-ª- B y 2g
A ,;. 0.018 m^2
,V = ~ = O.72m/s.g
V^2
2g = 0.03 m
PA V^2 24.,0 +-y+ O - (0.5 + 23.5) 29 = V
2 30.0 + O + 2g
