SOLUCIÓN DE SISTEMAS
DE 3X3 MÉTODO DE
GAUSS JORDÁN
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matrices 3*3 método de Gauss Yordan, Apuntes de Geometria Analitica
explicación de método de matrices de 3*3 por método de Gauss Yordan
Tipo: Apuntes
2021/2022
1 / 17
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SOLUCIÓN DE SISTEMAS
DE 3X3 MÉTODO DE
GAUSS JORDÁN
El método de Gauss consiste en
transformar un sistema de
ecuaciones en otro equivalente
de forma que este sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a
transformar el sistema en una matriz,
en la que pondremos
los coeficientes de las variables y los
términos independientes (separados
por una recta).
2 Si multiplicamos o dividimos
ambos miembros de las
ecuaciones de un sistema por un
número distinto de cero,
el sistema resultante
es equivalente.
Multiplicamos por 2 lados de las ecuaciones y
por el segundo criterio de equivalencia se
tiene que el sistema original es equivalente
con el nuevo sistema obtenido.
3 Si sumamos o restamos a una
ecuación de un sistema otra ecuación del
mismo
sistema, el sistema resultante
es equivalente al dado.
A la tercera ecuación le sumamos la
segunda ecuación, se obtiene un
sistema de ecuaciones que por el
criterio 3 es equivalente con el
sistema original.
5 Si en un sistema se cambia el
orden de las ecuaciones o el orden
de las incógnitas, resulta
otro sistema equivalente.
4 Si en un sistema se sustituye una ecuación
por otra que resulte de sumar las dos
ecuaciones del sistema previamente
multiplicadas o divididas por números no nulos,
resulta otro sistema equivalente al primero.
Sustituimos la segunda ecuación por la
suma de la primera ecuación con la
segunda ecuación multiplicada por tres.
Se obtiene un sistema de ecuaciones que
por el criterio 4 es equivalente con el
sistema.
Intercambiamos la segunda y
tercera ecuación. Se obtiene un
sistema de ecuaciones que por
el criterio 5 es equivalente con
el sistema original.
Matriz
(^) En el método de Gauss Jordán de lo que se trata es de dejar una matriz identidad. Generalmente se hace esta división como para decir que aquí estaba el igual. (^) Se agrupan los coeficientes de acuerdo en donde se localicen: Matriz de Aquí tenemos que dejar la matriz identidad
Matriz identidad de
(^) Es en la que la diagonal solamente son el numero y todos los demás elementos de la matriz son ceros.
Conversión a matriz identidad
- Generalmente lo primero que se tiene que hacer es convertir estos dos numero en ceros ( ) para eso utilizamos el numero que esta en la diagonal principal ( ) Pasos:
Ejecución / Ejemplo: Convertimos todos los números excepto los que conforman la diagonal en ceros.
Pasos:
- Color Azul Claro
- Color Azul Oscuro
- Color Verde
- Color Rojo
- Para el primer paso se va a utilizar el numero de la primera fila entonces esa fila queda igual. 1 − 13 13 Vamos a convertir el numero de la primera columna a cero. Para convertirlo en cero tenemos que restarle o sea tenemos que restarle el de la fila (F), entonces al numero que esta en la fila (F) le restamos el que esta en la fila , esto se escribe en la fila porque es en donde se va a hacer dicha transformación. Se realiza lo mismo con el numero de la fila. 1 − 13 13 F2 F
F2 F
F3 F
F3
2F
F2 F
0 2 − 2 − 2 FF F 2F
F
F
F
F3 F
0 4 − 7 − 19 Fila 2 menos Fila 1 (Fila 1 multiplicada por menos uno). Fila 3 menos dos veces la Fila 1 (la Fila 1 multiplicada por menos dos). 0 4 − 7 − 19
3. Tercer paso: convertir los dos primeros números de la columna tres en ceros.
- 0 0 − 3 − - F1 + F - F2 F
- F1 + F
- 1 − 1 0 − - F2 F - 0 0 − 3 −
- El ultimo paso que es convertir este numero ( ) para ya tener todos los ceros que necesitamos. 0 0 − 3 − 15 F1 + F
F1 + F
6 0 0 12 0 0 − 3 − 15
Sustitución 𝑥 − 𝑦 + 3 𝑧 = (^13) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11 2 𝑥 + 2 𝑦 − 𝑧 = 7 13 = 13 11 = 11 7 = 7 2 − 4 + 15 = 13 2 +^4 +^5 =^11 4 +^8 −^^5 =^7