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218 CAPÍTULO 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTA En general, si X y Y son dos variables aleatorias, la distribución de probabilidad que define el comportamiento simultáneo de éstas se conoce como distribución de probabili- dad conjunta. En este capítulo se investigan algunas propiedades importantes de estas distribuciones conjuntas. 5-1 DOS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 5-1.1 Distribuciones de probabilidad conjunta Por simplicidad, se comienza considerando experimentos aleatorios en los que sólo inter- vienen dos variables aleatorias. Hacia el final del capítulo se generaliza esta presentación a la distribución de probabilidad conjunta de más de dos variables aleatorias. e... EJEMPLO 5-1 caornocrooonrcnrronnnocrnaornncnr.e..o En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, dudoso o inaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida, con probabilidades 0.9, 0.08 y 0.02, respectivamente. Considérense los primeros cuatro bits transmitidos y sca X el número de bits acepta- bles, y F el número de bits dudosos. Supóngase que la clasificación de cada bit es indepen- diente. Entonces, la distribución de Y es binomial con n=4 y p = 0.9, y la de Y es binomial con 1=4 y p=0.08. Sin embargo, ya que sólo se clasifican cuatro bits, los valores posibles de X y Y están restringidos a los puntos que se muestran en la gráfica de la figura 5-1. Aunque los valores posibles de X'son 0, 1, 2,3 0 4, si y =3, entonces x=0 o 1. Al especi- ficar la probabilidad en cada uno de los puntos de la figura 5-1, lo que se hace es especificar la distribución de probabilidad conjunta de X y Y. De manera similar a lo que se hace con una variable aleatoria individual, el rango de las variables aleatorias (X, Y) se define como el conjunto de todos los puntos (x, y) en el espacio bidimensional para los que la probabili- dad de que X= x y Y = y es positiva. eco... nee... e.r.cr.o cocos econ cn nc...” seso 4 4.10 x 1075 Pa - fxy (y 4.10x10-5 ,1.84x10-3 xE | | l 3% | ye 154x 10-5 ,1.38x 10-3 ,3.11x10-2 42:56: 10-$ ,346x 10-* 1.56 x 1072 | 0.2333 eE 6x 107 ,288x1075 ¿194x103 ,5.83x 10-2 2 0.6561 0 1 2 A 2 4 a Figura 5-1 Distribución de probabilidad conjunta de X y Y en el ejemplo 5-1.