Desigualdades Lineales y Cuadráticas: Sistemas de Ecuaciones y Matrices, Apuntes de Matemáticas

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Desigualdades lineales y

cuadráticas. Sistemas de

ecuaciones. Matrices

14 de septiembre de 2020

En el álgebra, algunos problemas originan desigualdades en lugar de ecuaciones. Desigualdad. Es la relación de orden que existe entre dos cantidades o expresiones y se representa con los símbolos <, >, ≤ o ≥ −𝟕 < 𝟏 𝟏𝟔 > 𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟏𝟒 ≥ 𝒙 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 ≥ 𝟗

Considere la desigualdad

Donde 𝑥 es una variable. Cuando se sustituyen por 𝑥 ciertos números dan enunciados verdaderos y otros dan enunciados falsos.

Resolver una desigualdad consiste en determinar todos los valores de la variable que hacen que la desigualdad sea verdadera. Éstos se denominan soluciones de la misma. Al contrario que en una ecuación, una desigualdad por lo general tiene infinitas soluciones, las cuales forman un intervalo o una unión de intervalo en la recta de los números reales.

Ejemplo

Desigualdades que incluyen valor absoluto

Ejemplo

Desigualdades cuadráticas

Una desigualdad cuadrática con una incógnita puede escribirse de la siguiente forma: 𝒂𝒙

• 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎, empleando cualquiera de los cuatro signos de la desigualdad.

Para resolver desigualdades cuadráticas con una variable se aplica la factorización junto con el siguiente principio.

Ejemplo:

Método de sustitución

• Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema.
• Remplazar esta expresión en la ecuación restante, reduciendo el problema a una ecuación con una incógnita.
• Una vez resuelta esta ecuación, se remplaza su solución en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema original y se resuelve la ecuación obtenida para la incógnita restante.

Método de reducción

• Multiplicar cada ecuación por números, de modo que para una de las incógnitas se obtengan coeficientes que sean inversos aditivos.
• Sumar ambas ecuaciones, para obtener una ecuación en una sola incógnita.
• Una vez resuelta esta ecuación, se remplaza su solución en una de las ecuaciones del sistema original y se resuelve la ecuación para la incógnita restante.