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ejercicios de matematicas para ingenieria
Tipo: Ejercicios
1 / 16
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30.- f ( x , y , z )=xsen ( y −z )
∂ f
∂ x
=sen ( y−z )
∂ f
∂ y
=x ¿
∂ f
∂ z
=x ¿
31.- w=ln( x+ 2 y + 3 z)
∂ w
∂ x
x+ 2 y + 3 z
∂ w
∂ y
x+ 2 y + 3 z
∂ w
∂ z
x+ 2 y + 3 z
32.- w=z e
xyz
∂ w
∂ x
=z e
yz
∂ w
∂ y
=z e
xz
∂ w
∂ z
=z e
xy
− 1
( yz)
∂ u
∂ x
= y sen
− 1
( yz )
∂u
∂ y
=x cos
− 1
( yz ) ( 1 )=x cos
− 1
( yz)
∂u
∂ z
=xy cos
− 1
( yz ) ( 1 ) =xycos
− 1
( yz)
34.-
u=x
y
z
∂ u
∂ x
y
z
x
y
z − 1
∂u
∂ y
=x
y
z
lnx.
z
x
y
z
z
lnx
∂u
∂ z
=x
y
z
lnx.
z
2
yx
y
z
z
2
lnx
35.- f
x , y , z ,t
=xy z
2
tan
yt
∂ f
∂ x
= y z
2
tan ( yt)
∂ f
∂ y
=xy z
2
sec
2
( yt). t+ x z
2
tan ( yt )=xy z
2
sec
2
( yt ) + x z
2
tan ( yt )
∂ f
∂ z
= 2 yz tan ( yt )
∂ f
∂ t
=xy z
2
sec
2
( yt ). y =x y
2
z
2
sec ( yt )
36.- f
x , y , z ,t
x y
2
t+ 2 z
∂ f
∂ x
y
2
t+ 2 z
∂ f
∂ y
2 xy
t + 2 z
∂ f
∂ z
=x y
2
t+ 2 z
− 2
− 2 x y
2
( t+ 2 z )
2
∂ f
∂ t
=x y
2
t+ 2 z
− 2
−x y
2
( t + 2 z )
2
37.- u=
x
2
1 + x
2
2 +… … … .+ x
2
n
ux 1 =
x
2
1 + x
2
2 +… … … .+x
2
n
− 1
2
2 xi
xi
x
2
1 +x
2
2 +… … … .+ x
2
n
+x
2
+… … … …. n x
2
∂ f
∂ y
( x + y +z ) ( 1 ) − y ( 3 )
(x+ y +z )
2
x + 1 +z− 3
( x + y + z )
2
2
∂ f
∂ z
( x+ y+ z ) ( 1 )− y ( 3 )
(x+ y+ z)
x+ 1 − 2 y
(x + y + z )
2
2
x + sen
2
y+ sen
2
z ; fz( 0,0,
π
fz=¿ ¿
fz=
sen ( z ) cos( z )
√
sen
2
( x ) +sen
2
( y ) + sen
2
( z )
fz=( x , y , z )=¿
43-44.- A partir de la definición de las derivadas parciales como limites (4) para determinar
fx ( x , y ) ( x , y )
43.- f
x , y
=x y
2
−x
3
y
∂ f
∂ x
=fx ( 1 ) y
2
. ( 1 )− y 3 x= y
2
− 3 xy
∂ f
∂ y
=fy = 2 y+ 3 x
44.-
f ( x , y )=
x
x+ y
2
∂ f
∂ x
y
2
x+ y
4
2
∂ f
∂ y
2 xy
x
2
4
2
45-48.- Mediante la derivación implícita, determine;
∂ z
∂ x
y
∂ z
∂ y
45.- x
2
2
2
= 3 xyz
∂ x+ 2 =
∂ z
∂ y
= 3 yz+ 3 xy (
∂ z
∂ y
∂ z
∂ x
− 3 xy
∂ z
∂ x
= 3 yz− 2 x
∂ z
∂ x
( 2 z− 3 xy )= yz− 2 x
∂ z
∂ y
3 y
2
2 z
− 3 xy
∂ y + 2 z.
∂ z
∂ y
= 3 xz + 3 xy
∂ z
∂ x
2 z
∂ z
∂ y
− 3 xy
∂ z
∂ y
= 3 xz − 2 y
∂ z
∂ y
( 2 z − 3 xy )= 3 xz− 2 y
46.- yz=ln ( x + z )
y
∂ z
∂ x
x + z
(
∂ z
∂ x
)
∂ z
∂ x
x + z
y−
x+ z
xy+ yz− 1
∂ y
( yz )=
∂ y
ln ( x + z )
z=f
'
x + y
zy=f
'
( x + y )
50.-
a) z=f ( x ) g ( y )
zx=f ´ ( x) g ( y )
zy=f ´ ( x ) g ´ ( y )
b) z=f ( xy )
zx= yf ´ ( xy)
zy=xf ´ ( xy)
c)
z=f (
x
y
zx=f ´ (
x
y
y
zy=f
'
x y
− 1
x y
− 2
51-56.- determine todas las segundas derivadas parciales.
51.- f
x , y
=x
3
y
5
4
y
fx= 3 x
2
y
5
3
y , fy= 5 x
3
y
4
4
fxx= 6 x y
5
2
y fxy= 15 x
2
y
4
3
fyx= 15 x
2
y
4
3
fyy= 5 x
3
4 y
3
3
52.- f
x , y
=sen
3
(mx+ ny)
f
x
= 2 m. sen ( mx+ ny ). cos (mx+ ny)
f
y
= 2 n. sen ( mx+ny ). cos (mx+ny )
53.- w−√ u
2
2
w
u
u
2
2
w
v
v
2
2
w w
2
+v
2
u
2
u
2
+v
2
u
2
2
(u¿¿ 2 −v
2
)−u
2
(u
¿ 2 +v
2
3
2
v
2
(u
¿ 2 +v
2
3
2
54.-
u=
xy
x− y
vx=
y ( x− y ) −xy
( x− y)
2
− y
2
( x− y )
2
vy=
x
x− y
−xy
( x− y )
2
x
2
( x− y)
2
55.-
z=arctan
x+ y
1 −xy
fx=
(
x + y
1 −xy
)
2
∗( 1 −xy ) −(− y ) ( x+ y )
( 1 −xy )
2
fx=
(
x + y
1 −xy
)
2
∗ 1 −xy +xy + y
2
( 1 −xy )
2
1 + y
2
∂ u
∂ x
x
( x
2
2
∂ u
∂ y ∂ x
− 2 xy
( x
2
2
2
∂u
∂ y
x
( x
2
2
∂ u
∂ x ∂ y
− 2 xy
( x
2
2
2
60.- U =xy e
y
Ux= y e
y
=¿ Uxy=e
y
y
Uy=x e
y
y
=¿ Uyx=e
y
y
Uxy=Uyx
61-68. encuentre la derivada parcial indicada.
f ( x , y )= 3 x y
4
3
y
2
, fxxy , fyy
f ( x , y )= 3 x y
4
2
y
2
, f ( x , y )= 3 x y
4
2
y
2
fx= 3 y
4
2
y
2
, fx= 12 x y
3
3
y ,
fxx= 6 x y
2
, fyy= 36 x y
2
3
fxxy=¿ 12 xy fxyy=¿ 72 xy , ¿ ¿
62.- f ( x , t) =x
2
e
−ct
, fttt , ftxx
ft ( xt )=x
2
−ct
2
−ct
2
fttt ( xt )=x
2
−ct
3
−ct
ftxx
xt
= 2 x
e
−ct
−c
63.- f ( x , y , z )=cos ( 4 x + 3 y + 2 z ) ; fxyz , fyzz
para fxyz ; para fyzz ;
fx=− 4 sen( 4 x+ 3 y+ 2 z ) fy=− 3 sen( 4 x + 3 y + 2 z )
fxy=−4.3 cos ( 4 x + 3 y + 2 z ) fyz=−3.2 cos( 4 x + 3 y+ 2 z )
fxyz=4.3 .2 sen( 4 x + 3 y+ 2 z ) fyzz=3.2.2 sen ( 4 x+ 3 y + 2 z)
fxyz=24. sen( 4 x+ 3 y+ 2 z ) f ( yzz)( x , y , z)= 12 sen ( 4 x+ 3 y + 2 z)
64.- f ( r , s , t) =r ln ¿ ¿
para frss ; para frst ;
fr=ln ¿
65.-U =e
rθ
senθ=
3
u
∂ r
2
∂θ
U =e
rθ
senθ
2
u
∂ r
2
∂ θ
Ur=e
rθ
senθ. θ
Urr=e
rθ
senθ. θ
2
Urrθ=θ
2
e
rθ
cosθ
θ
2
e
rθ
.r + 20 e
rθ
senθ
U =θ
2
e
rθ
cosθ
θ
2
e
rθ
.rsenθ + 20 e
rθ
senθ
¿ e
rθ
2
2
senθ + 20 senθ
¿ θ e
rθ
θcosθ
66.- z=u √
u−w ;
3
w
∂ z ∂ y ∂ x
3
w
∂ x
2
∂ y
zw=
u
2 ( v−w )
1
2
zwv=no hay derivada respecto 2 w
( a ) lim
h → 0
f
( a+h+b)−f (a , b)
h
=lim
h → 0
f ( a+h , b) − 6
h
( b ) lim
h→ 0
f
( a+b+b)−f (a ,b)
h
=lim
h → 0
f ( a , b , h)− 6
h
( c ) es positivo ( d ) fxy< 0 ( e ) es positivo.
−a
2
k
2
1 senkx
es la solución de la ecuación de la conducción
del valor
u
1
= ∝ Uxx .
U =e
−a
2
k
2
1 sen (kx )
Ux=ke
− ∝
2
k
2
t
cos (kx )
Uxx=−k
2
e
− ∝
2
k
2
t
sen(kx)
Ut=¿ ¿
2
Uxx= ∝
2
k
2
e
− ∝
2
k
2
t
sen ( kx )
Ut=¿ ¿
72.- determine si cada una de las funciones siguientes es una de la solución de la ecuación de la
placa Uxx+Uyy= 0
a
U =x
2
2
b
U =x
2
− y
2
c
U=x
3
2
d
U=ln √ x
2
2
( e ) U =senx cos hy +cosx sen h y
f
−U =e
−x
cosy−e
− y
cosx
a
U =x
2
2
Ux= 2 x Uxy= 2
Uy= 2 y Uyy= 2
Uxy=Uyy= 2 + 2 ≠ 0
b
U =x
2
− y
2
Ux= 2 x Uxx= 2
Uy= 2 y Uyy=− 2
Uxx+Uyy= 2 − 2 = 0
c
U=x
3
2
Ux= 3 x
2
2
Uxx= 6 x
Uy= 6 xy
❑
Uyy= 6 x
Uxx+Uyy= 6 x + 6 x ≠ 0
( d ) U=ln
x
2
2
ln ( x
2
y
2
U x=
x
2
2
.2 x=
x
x
2
2
U y=
x
2
2
.2 y=
y
x
2
2
( e ) U =senx cos hy +cosx sen h y
Ux=cosxcosh y −sen xsenh y=¿ Uxx=−senxcosh y−cosxsenhy
U y=senxsenhy+ cosxcoshy=¿Uyy=senxcoshy+ cosxsenhy
Ux x+ Uyy=(−senxcoshy−cosxsenh) +( senxcoshy+cosxsenhy )= 0
f
−U =e
−x
cosy−e
− y
cosx
U x=−e
− x
cosy + e
− y
sen x Uy=−e
− x
sen y +e
− y
cosx
