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Cómo los sentidos de la audición y la visión perciben un universo logarítmico, donde la intensidad de la iluminación o el sonido no es proporcional a la distancia. Se presentan dos métodos para obtener los valores de la intensidad: gráfico y analítico. Además, se discuten los conceptos de puntos interpolados, extrapolados y centroide.
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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murales descubiertas más recientemente están las de Cacaxtla, en Tlaxcala, con su impresionante descripción de las jerarquías divinas, sacerdotales y guerreras. Aunque las primeras pinturas murales se encontraron en Mesoamérica, también se han descubierto en el área intermedia diseños geométricos en tumbas subterráneas en Tierradentro, Colombia, y murales con representaciones mitológicas en Panamarca, Perú. Las pirámides de Giza son localizadas en el sur de El Cairo actual contienen abundantes grafismos. Las tres pirámides fueron construidas durante la 4th dinastía de Egipto. Estas pirámides son Khufu (Cheops), Khafre (Chephren), y Menkure (Mycerinus). Fueron construidos hace más de 4,500 años y nos muestran el poder y la profusión del faraón en el reino viejo. Cada una tenía un templo de la morgue y calzada elevada. Sus paredes exhiben diversos dibujos con motivos religiosos fundamentalmente.
La ciencia y la tecnología también se fueron desarrollando paralelamente y necesitó al igual que el arte, una excelente herramienta gráfica para mostrar sus alcances, solo que rigen otras pautas que son muy claras y precisas y que a nivel de este curso las iremos develando.
Capitulo 2. Repaso matematico de conceptos 1.
Ecuaciones de rectas Una ecuación lineal en dos variables representa una recta. Si se tiene la ecuación, se puede encontrar las coordenadas de los puntos de la recta con las intersecciones x y y , además de la pendiente de la recta. Estudiemos ahora la manera de encontrar la ecuación de la recta, contando con parte de la información sobre ella.
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados Si disponemos de la ecuación de una recta y de un sistema de coordenadas cartesianas, es posible encontrar las coordenadas de dos de sus puntos para luego hallar la recta. Dado que dos puntos distintos determinan una recta única, entonces se puede encontrar la ecuación de una recta dados dos puntos de ella. Supongamos que los dos puntos dados son P 1 ( x 1 , y 1 ) y P 2 ( x 2 , y 2 ), Sea P( x , y ) un punto genérico de la recta, diferente de los puntos P 1 y P 2 , como se muestra en la figura #1.
Figura # 1. Recta que pasa por los puntos.
La pendiente de la recta calculada con respecto a los puntos P 1 ( x 1 , y 1 ) y P( x , y ) es
La pendiente de la recta calculada en relación con los puntos P 1 ( x 1 , y 1 ) y P 2 ( x 2 , y 2 ) es
Puesto que la pendiente de una recta es la misma para todos sus puntos, tenemos
que es la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. Podemos representarla mejor de esta manera:
Consideraciones
Capitulo 4. Colección de puntos, tablas, criterios.
Parte del trabajo experimental de las ciencias es experimental y cuantitativa. Se generan una cantidad de valores (medidas, cálculos o resultados), de la cual debemos ser muy cuidadosos en el manejo de dichas cantidades, para minimizar riesgos de equivocación y para ser presentados de forma ordenada. Para tal fin debemos cumplir con ciertos criterios que detallaremos en este capítulo.
Tablas. Es necesario ordenar los valores y se ha escogido un arreglo en forma de columnas llamada “Tablas“. Toda tabla debe poseer un número o nombre para ser identificada. Se deben ordenar los valores. Las tablas deben contener las magnitudes con sus respectivas unidades. Nos encontraremos con tres tipos de tablas,
Para ilustrar lo dicho anteriormente, se presentan dos tablas modelo, ver tabla # 4.1 y 4.2.
Tabla # 4.
Tabla 4.2.
Capitulo 5. Trazado de gráficas, lineales y sin dispersión.
En el siguiente capítulo vamos a concentrar nuestra atención en obtener una buena gráfica a partir de una tabla de datos. Se obviará el tratamiento de los errores ya que serán tratados en los capítulos precedentes. Establezcamos entonces, algunas normas de trabajo en gráficas que nos permitirán alcanzar un nivel de elegancia satisfactorio. Antes que nada, “toda gráfica debe tener un título o número“ del cual se hace referencia en el texto de nuestro trabajo o informe. Respecto a los ejes de coordenadas se puede acordar lo siguiente:
A manera de ilustración de los tópicos mostrados anteriormente, tomemos los dos ejemplos. En el ejemplo # 5.1, en la gráfica # 5.1.a, se observa que el origen de el papel se ha seleccionado sin tener en cuenta la relación entre el número de divisiones en función a los valores de la tabla. Eso trae como consecuencia que no se utilice la hoja de papel con la máxima eficiencia posible, entendiéndose como “eficiencia“ la mayor expansión de los puntos sorbe el papel. Los cuadros obscuros indican la cantidad de papel inutilizado. Para la gráfica # 5.1.b, le eficiencia es superior.
Veamos ahora el ejemplo # 5.2.
Tabla # 5.
Grafica # 5.2.a. Escala poco útil.
Grafica # 5.2.b. Escala útil.
Comentarios: Para la grafica # 5.2.a, como puede observarse en la tabla # 5.2, la variación de los datos, tanto de distancia como de tiempo, son muy pequeños respecto al origen, eso hace que éste esté muy alejado de los puntos de la gráfica, o que los puntos de la gráfica, se vean muy juntos y la escala sea poco útil. Para la gráfica # 5.2.b, se ha suprimido el origen, para poder expandir la gráfica y apreciarla con mayor detalle: es decir, la escala ahora es más eficiente.
Retomemos ahora nuestra gráfica # 5.1.b con el propósito de trazar nuestra recta. Como se trata del caso más sencillo (sin dispersión) solo debemos unir todos los puntos con una regla, trazado justo desde el centro de cada punto, ya que todos ellas están alineados. Los puntos que están ubicados en la recta (punteada) antes del primer punto o después del último, los hemos diferenciado con el símbolo “ “ se le llama puntos extrapolados. Los puntos contenidos entre los puntos tabulados, se han diferenciado con el símbolo “X“ y se les llama puntos interpolados, (ver gráfico # 5.3). Aclaratoria, la escogencia de la simbología “ o X “ es empleada en este ejemplo solo para diferenciar los puntos tabulado de otros, en la realidad, no se acostumbra a cambiar la nomenclatura entre los puntos tabulados, interpolados y extrapolados.
Grafico # 5.3.
nalicemos en detalle el gráfico # 5.3. ionaba anteriormente, se ha trazado una perfecta recta (ya que no hay ispersión) desde el primer punto hasta el último tabulado. Los puntos por fuera de estos lo el punto “A“ y los valores entre los tabulados,
co“. Consiste en proyectar los valores del punto de interés sobre sus ejes coordenados, en este caso eje “d“ y eje “t“ y
Tal como se menc d valores, son los extrapolados, por ejemp son los “interpolados“ como por ejemplo, el punto “B“. Ahora nos vamos a la tarea de conocer las coordenadas de ambos puntos, ya que no están tabulados. Como primera opción, emplearemos el “método gráfi
Capitulo # 6. razado de gráficas, lineales y con dispersión.
ual que en el capitulo anterior, se seguirá aplicando las pautas establecidas y obviará el los errores ya que serán comentados en el capitulo # 8. do grafiquemos los puntos y éstos no se ncuentren alineados, esto evidentemente dificultará el trazado de la recta.
errores casuales de medición, la mejor recta pasará por el
Ig tratamiento de Ahora bien, una gráfica presenta dispersión cuan e La idea de este capítulo es establecer pautas para tener un criterio que nos servirá de ayuda en la labor de trazado. Lo primero que debemos calcular son las coordenadas de un punto promedio llamado “centroide” Los métodos estadísticos demuestran que, siempre que la dispersión de los puntos experimentales se deba a los centroide de los puntos experimentales, que es el punto con las coordenadas ( X , Y ), en
donde X es el valor medio de las coordenadas X de todos los puntos y Y es el promedio de todas las Y.
n
n
i
n
n
i
=
El centroide se define como,
debemos dif ciarlo de l símbolo diferente y cuado tracemos la grafica. La recta ebe pasar justo por el centro del centroide. s que trat
iento vs tiem casos, con ciertas variaciones. I C Ana e 6.1.
de datos. el centroide, verifique que el valor para este grafico sea de ndo la expresión # 6.1.
lguno de los valores conocidos. Par a as transparente posible, para que nos per través de ella. Ubicamos la regla justo por el centro del cen de manera que la recta toque la mayor can viados del resto (puntos a, b, c y
Al graficar el centroide, eren os otros puntos de la grafica, por lo que nos convendrá seleccionar un d Podemos encontrarnos con tres caso aremos en detalle a continuación.
d), generalmente son pocos y debemos intentar que toque a todos al menos de un lado, por encima y por debajo, para intentar de conseguir “igual peso”. Note que los puntos “a” y “c”, están por arriba de la recta y los puntos “b” y “d”, por debajo.
Grafica # 6.1.
= 1,0 m. -Hay que ser muy estrictos al calcular la pendiente, de ello depende el éxito en la obtención de la ecuación de la recta y por ende, en los cálculos de los puntos de interés.
lo son
enadas,
”, de
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
1
2
3
4
5
6 t(s) d(m) 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5,
10 20 30 40 50 60 70 80
d
c
b
a
Corte = 1 m.
C = (45,0 ; 3,7)
Distancia (m)
Tiempo (t)
-Si proyectamos la recta, mas allá del primer punto, justo donde toca el eje de la distancia, cuando t=0, obtenemos el valor del corte. Verifique que sea do
Recuerde que la pendiente que vamos a calcular, es la pendiente de la recta que hemos dibujado y que toca muy bien la mayoría de los puntos, pero otros puntos so tocados de un lado, por lo que nos obliga a “no usar la tabla de valores para calcular la pendiente de la recta”. Debemos usar valores estrictamente obtenidos de la recta. Para calcular la pendiente, solo se necesitan dos puntos (que estén contenidos en la recta), entonces, ¿Qué puntos mas representativos, que están contenidos en la recta y que ya usted ha calculado?, ¡Sin duda alguna que esos puntos son, el centroide y el corte !. Veamos entonces lo siguiente. Tenemos como punto final, el centroide, de coord C=(45,5 ; 3,7) y el punto inicial es el corte con coordenadas b=(0 ; 1). Ahora restemos el punto final menos el inicial y obtendremos que la pendiente es m=0,059. Teniendo en cuenta que la pendiente es Δd/Δt eso nos indica que la pendiente es “la velocidad manera que V=0,059 m/s, además observamos que es lineal, es decir “constante” por lo que no hay aceleración, siendo consistente con nuestra experiencia de M.A.S. -Ya estamos listos para escribir la ecuación que rige el fenómeno. d(t) = 0,059 t + 1.
Como podemos apreciar, solo dos puntos y el centroide son tocados por la recta xactamente en el centro, cuatro puntos son tocados por el extremo y dos puntos no son
espondientes.
ecuentes, debemos poner nuestro mejor cuidado en el trazado e la recta. Como se puede observar en el gráfico # 6.3, la recta trazada no toca ninguno
as probable que no coincida con alguno de los valores tabulados y es lógico,
e tocados; pero se ha tenido muy en cuenta “el peso”, obsérvese con detenimiento como la misma cantidad de puntos que se encuentran por encima de la recta corresponde con los que se encuentran por debajo y con la misma separación. Respecto al corte, pendiente y ecuación son las mismas que en el caso anterior y que en el siguiente, de manera que no se efectuaran los cálculos corr
III Caso, alta dispersión.
Estos casos, aunque poco fr d de los puntos tabulados, en este caso, debe al menos, tocar el centroide y cuidar nuestro ya conocido “peso”. Queda como tarea verificar los valores ya conocidos de centroide, corte y la ecuación de la recta. Recuerde, si usted está interesado en estimar algún valor empleando la ecuación de la recta, lo m debido a que la ecuación solo nos dará los puntos contenidos en la recta trazada.
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
1
2
3
4
5
6 t(s) d(m) 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5,
10 20 30 40 50 60 70 80
Corte = 1 m.
C = (45,0 ; 3,7)
Distancia (m)
Tiempo (t)
Grafico # 6.3.
Capitulo 7. epaso matemático de conceptos 2. Funciones exponenciales y potenciales.
unción exponencial. na función de la forma y = f(x) = w x^ , donde a función exponencial y
cial de la manera siguiente:
Grafico # 7.1. Funciones exponenciales típicas.
w 〉 0 y w ≠ 1, es un “w” es la base. De forma mas amplia, podemos expresar la función exponen y = k a bx. 7. Donde k, a y b, son constantes. En los gráficos # 7-1 se mostrarán algunos casos típicos.
Logaritmos. istóricamente, los logaritmos se desarrollaron para simplificar los cálculos numéricos lejos, sin embargo, la función logarítmica, en virtud de las propiedades
as siguientes propiedades suponen que b, u, v son positivos (b ≠ 1)
itmo del denominador.
largos y comp logarítmicas que se mostrarán a continuación, conservan un papel importante en las matemáticas. Para nuestro propósito, trabajaremos solo con los logaritmos naturales o de base diez.
Propiedades de los logaritmos. L
Linea ación de una la forma lineal. curso, al graficar una función lineal podemos conseguir stimar cualquier valor que
xpresemos la función exponencial de la manera siguiente: ra k, a y b, son constantes.
log y + log k + bx log a
x + log k
ote la similit d con = m x + c. Podemos hacer cambios de ariables de manera de manera que:
m = b log a
liz función. Es el proceso de pasar una función no lineal a Como se vio al principio de este la ecuación de la recta que rige el fenómeno. Luego se puede e nos interese, pero si la función es no lineal (exponencial, potencial, etc), ¿Cómo calculamos la función de la recta, pendiente, corte, etc, si no tenemos una recta?. Veamos en detalle el tratamiento matemático que le daremos a las funciones exponenciales y potenciales.
Función exponencial. E y = k a bx. Pa Aplicando las propiedades de los logaritmos, tendremos:
log y = log k + log a bx
Reordenando los miembros, se tiene:
log y = (b log a)
N u la ecuación de la recta, y v
u = log y.
c = log k
Entonces, mi nueva re anera:
Si graficásemos la ecuación # 7.1, obtendríamos la gráfica # 7.3.a para las variables y vs en papel milimetrado, la gráfica 7.3.b para las variables log y vs x ( u vs x) en papel
cta estará dada de la siguiente m
u = m x + c
x milimetrado y 7.3.c para las variables y vs x, directamente en un papel semi-logarítmico ya que la variable “y” está afectada por el logaritmo y la variable “x” no.
Figura # 7.3. Grafica de función exponencial en diferentes escalas.
ra evitar cálculos innecesarios, emplearemos el papel semi-logarítmico pero debemos ner presente que,
log y 2 – log y 1 ) / x 2 – x.
Pa te
unción potencial. xpresemos la función potencial de la manera siguiente: e k, a y b, son constantes.
log y + log b + a log x
log b
ote la imilit d con , y = m x + c. Podemos hacer cambios de ariables de manera de manera que:
n
y = b x a. dond Aplicando las propiedades de los logaritmos, tendremos:
log y = log b + log x a
Reordenando los miembros, se tiene:
log y = a log x +
N s u la ecuación de la recta v
