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Universidad de Buenos Aires. Facultad de Filosofía y Letras.
Didáctica de Nivel Primario Profesora Titular: Delia Lerner Profesora Adjunta: Beatriz Aisenberg
Interpretación de números y exploración de regularidades
en la serie numérica.
Propuesta didáctica para primer grado: “La lotería”.
Claudia Broitman y Cinthia Kuperman
Año 2004
“Material Publicado por OPF y L. Oficina de Publicaciones de la Facultad de Filosofía y Letras de la UBA. Autorizada su difusión para la DGEP de la Pcia. De Bs. AS.”
Introducción
La secuencia didáctica que aquí se presenta tiene como finalidad promover avances en la interpretación de números por parte de los niños, así como un análisis de las relaciones entre la serie oral y la serie escrita. Es una reelaboración de la producida originalmente en el contexto de las investigaciones UBACYT dirigidas por Delia Lerner^1 a partir del estudio minucioso de la puesta en marcha de la primera versión de la secuencia realizada en varias escuelas. El análisis de las diferentes interpretaciones a partir de las intervenciones didácticas propuestas, el seguimiento de la evolución de los conocimientos de la clase en general y de algunos niños en particular, y de la secuenciación de los problemas propuestos a los alumnos, nos han permitido rediseñar la secuencia en vistas a una mejor comunicación de las intenciones didácticas originales y de los avances encontrados. El proyecto mencionado se inscribió inicialmente en dos líneas de investigación. Por una parte, estudios psicogenéticos sobre las conceptualizaciones infantiles acerca del sistema de numeración y, por otra parte, investigaciones didácticas que estudian el funcionamiento de secuencias de enseñanza. Los estudios psicológicos ponen de manifiesto la elaboración temprana por parte de los niños de conceptualizaciones originales acerca de las escrituras numéricas. A partir de los trabajos pioneros sobre la representación gráfica de cantidades menores que diez (Sastre y Moreno, 1976; Huges, 1986; Sinclair et al, 1983), diversos estudios se centran en la diferenciación entre notaciones numéricas y alfabéticas (Pontecorvo, 1985) o bien apuntan a procedimientos notacionales en general (Tolchinsky y Karmiloff- Smith, 1993). Es en los últimos quince años cuando se emprenden estudios sobre la reconstrucción de las reglas del sistema posicional en situaciones de producción, interpretación o comparación de notaciones de números de varios dígitos (Nunes, T., 1989; Higino da Silva, 1990; Seron et al., 1991 y 1995; Sinclair y Scheuer, 1993; Lerner, Sadovsky y Wolman, 1994; Sinclair et al, 1994). Algunos trabajos ponen en evidencia que los niños avanzan en su conocimiento del sistema de numeración al enfrentar conflictos entre las diferentes ideas que construyen (Terigi, 1992; Lerner, Sadovsky, Wolman, 1994).
En los últimos años continúan desarrollándose investigaciones destinadas a estudiar producciones numéricas en niños pequeños (Alvarado, M. y Ferreiro, E., 2000; Brizuela, B., 1997 y 2004). La primera analiza las razones que conducen a los niños de 4 y 5 años a emplear variantes gráficas originales al escribir números de dos cifras. El trabajo de B. Brizuela, centrado en la evolución de las ideas de niños muy pequeños acerca de la numeración escrita –y consistente sobre todo en estudios longitudinales del desempeño de algunos sujetos- cuenta entre sus hallazgos el de haber mostrado que, cuando los numerales se refieren a las decenas (y no a las unidades), los niños consideran que deben escribirse “con mayúscula” (“capital numbers”).
En cuanto a las investigaciones sobre la enseñanza del sistema de numeración, es posible citar las siguientes: DeBlois (1996), Bednarz (1982 y 1991) y Lerner, Sadovsky y Wolman (1994)^2. Esta última está basada en la hipótesis de que los niños
(^1) Investigaciones desarrolladas en el Instituto de Investigaciones en Ciencias de la Educación de la
Facultad de Filosofía y Letras, Proyecto AF 16 (1998 - 1999) : “El Aprendizaje del Sistema de Numeración. Situaciones Didácticas y Conceptualizaciones infantiles” y el proyecto AF 41 (1999 – 2000) “El Aprendizaje del sistema de numeración y la intervención docente en diferentes contextos didácticos”. (^2) Esta investigación es un antecedente directo de la investigación citada en Nota 1.
Acerca de la secuencia
La secuencia consta de varias etapas de trabajo alrededor de un juego de lotería convencional con los números del 1 al 90. La duración prevista es aproximadamente de doce clases sugeridas para el primer período de primer grado cuando los niños no tienen aún dominio de este campo numérico. Esta misma secuencia planteada luego de un trabajo sistemático con los números del 1 al 100 no constituiría una situación de enseñanza.
En una primera etapa se proponen una o dos clases en las que se favorece la circulación de estrategias para localizar y controlar en los cartones los números cantados. Estas estrategias en términos de los alumnos son llamadas “pistas”. En esta parte el juego es colectivo y los alumnos, organizados por parejas, marcan en su cartón los números cantados.
En una segunda etapa los niños - también en parejas - deberán rotativamente “cantar” los números. El objetivo es propiciar la circulación de estrategias para la interpretación, en términos de los alumnos: “dar pistas para saber cómo se llama un número”. Entre las estrategias que se harán circular se priorizan las ligadas a la utilización de los nudos (números “redondos”). Los niños, apoyándose en las relaciones entre la serie oral y la escritura de los números, podrán, a partir de información dada por el docente y por sus pares, reconstruir los nombres de los números.
En la tercera etapa se generan condiciones especialmente propicias para hacer circular los conocimientos sobre interpretación y localización de números entre aquellos niños que están menos avanzados. Una de las condiciones que lo favorecen es el trabajo en grupos reducidos^3. Se propiciará el análisis y la circulación de “pistas”para saber cómo ubicar el número cantado en el cartón (primera etapa) y de “pistas” para saber cómo cantar un número (segunda etapa). El trabajo en grupos reducidos y entre niños de niveles próximos favorecerá el intercambio y la apropiación de estrategias nuevas. Posteriormente, se propone a los niños actividades similares a las realizadas en la etapa anterior^4 , con la finalidad de que estos niños tengan oportunidad de utilizar, en la clase colectiva, aquello que han podido aprender en las clases de grupos reducidos.
Posteriormente, en la cuarta etapa , se propone la construcción de grillas para controlar qué números ya han sido cantados. El objetivo es que los niños puedan producir y hacer circular estrategias para localizar en las grillas los números a partir de analizar regularidades entre los mismos. Se propone inicialmente que escriban algunos números del 1 al 90 en una grilla rectangular. Esta actividad tendrá diferentes fases. La primera será una instancia grupal en la cual se explicitarán diferentes estrategias y relaciones que se pueden utilizar para saber en qué casillero escribirlos. En la segunda y tercera fase se reutilizan las estrategias para completar la grilla.
(^3) Mientras estos niños desarrollan las actividades específicamente previstas para la tercera etapa, el resto
de la clase continúa realizando las correspondientes a las dos etapas anteriores o bien realizan otra actividad-. (^4) En el mismo período en el que se desarrolla esta secuencia, se resuelven también en la clase situaciones
en torno a la producción de números, así como algunos problemas de adición y sustracción.
En la quinta etapa se organizan nuevas instancias de juegos de lotería, pero esta vez en grupos pequeños. La intención es que los niños reutilicen lo aprendido en las primeras etapas y usen las grillas para control de los números.
En una sexta etapa - nuevamente en grupos reducidos– se abordan los problemas de interpretación y ubicación con los niños menos avanzados. Es similar a la tercera etapa, pero sobre los conocimientos de la cuarta y la quinta.
Finalmente, la séptima etapa es un espacio de sistematización de los nuevos conocimientos que se han producido.
El lector se encontrará en varias oportunidades con el apartado “ Intervenciones posibles ” que presenta para cada problema posibles formas de intervenir del maestro frente a los aciertos o a los errores de los niños. Las mismas tienen la intencionalidad de promover discusiones a propósito de los conocimientos involucrados. Es conveniente que progresivamente se instalen como modalidad de trabajo.
PRIMERA ETAPA: pistas para saber cómo localizar un número.
De cómo favorecer la circulación de estrategias para localizar y controlar en los cartones los números cantados.
En esta etapa se organizarán las clases en torno al juego de la lotería de manera colectiva: cada pareja tendrá un cartón. Se sugiere que los niños que integren las parejas tengan conocimientos numéricos próximos para favorecer el intercambio de los mismos^5. En primera instancia es el maestro quien canta de a uno por vez algunos números que saca. No muestra las bolillas. La intención de no mostrar el número apunta a enfrentar a los niños al problema de interpretar (identificar) a partir del número “escuchado” a cuál número escrito corresponde dicho nombre. Es conveniente que el maestro muestre la bolilla y escriba el número en el pizarrón luego del intercambio que se genera.
Se dice a los niños que busquen por parejas en sus cartones los números
cantados. Este problema pone en juego las relaciones entre la serie oral y la serie
escrita de números en donde a partir de lo oral – el nombre del número - deben
identificar la escritura. Para muy pocos niños ésta será una relación transparente.
(^5) Como momento inicial es conveniente que los alumnos se familiaricen con el juego de la lotería. Para ello será necesario presentar las reglas y los materiales (cartones, bolillas y porotos o similar). Entre las reglas se aclarará cómo se forma una línea y cuándo se hace “bingo”. Entre los materiales, es importante incluir gran variedad de portadores numéricos que deberían constituirse progresivamente en fuente de consulta. (Se designa con el nombre de portador a cualquier objeto cultural que presente números escritos o impresos en forma ordenada para fines sociales determinados, que pueda funcionar en el ámbito del aula como fuente de información sobre aspectos específicos de los números y del sistema de numeración. Ejemplos de portadores son el almanaque, la cinta métrica, las grillas numéricas de los juegos, la numeración de las páginas de libros, guías telefónicas, etc.)
M: ¿Y cómo? Si decís dieciocho. ¿Dónde está el diez? Jazmín: Anto dice que es así el 18 (Escribe 108) Anto: ¿De 3 cifras? ¡No! M: Y claro, porque acá dice dieciocho, miren, miren diez y ocho ¿Qué les parece? (Señalando el 108 que había escrito Jazmín) Anto: ¿Dieciocho? Jazmín: Así es 18 (señalando el 18) M: ¿Por qué, dónde está el 10 cuándo digo 18? Jazmín: 18, el uno tiene dieces.
Poner en duda la interpretación de un número mostrando su “inverso^8 ”.
Poner en duda algún número marcado correctamente mostrando su inverso sin nombrarlo o nombrando ambos sin decir cuál es cuál.
En este ejemplo había salido el número cincuenta dos: M: A ver, si salió el cincuenta y dos. ¿Yo puedo marcar éste? Miren (Escribe 25 en el pizarrón). Alumnos: ¡No! Porque ese es el veinticinco. Violeta: Ese es el veinticinco. M: ¿Y cómo se dan cuanta de cuál es el cincuenta y dos y cuál es el veinticinco?
Este tipo de intervenciones apunta a provocar la explicitación por parte de los alumnos de ciertas relaciones entre la serie oral y la serie escrita, ya que la circulación de las mismas es uno de los objetivos esenciales de esta propuesta. Por otra parte, no dar indicios -por un momento- respecto de la validez de las opinión de un alumno apunta al sostenimiento de la incertidumbre necesaria para el proceso de devolución. Evidentemente, la validez será revelada en un momento posterior (Brousseau, 1994).
Hacer público un “error” para generar discusión acerca de él. Hacer público un error producido en un momento de trabajo individual, o en un intercambio con el docente.
Maestra: “¿ Puedo decirles algo que pasó en esa mesa? Ella al ver este número (53) me dijo “este es el treinta y cinco” ponemos un poroto. Yo le pregunté ¿cómo sabés que es el treinta y cinco? Porque tiene un cinco y un tres me dijo. ¿Es así?”
Tanto para este ejemplo como para el anterior, someter a debate ciertos errores también promueve la explicitación de relaciones. Lo que se intenta instalar,
(^8) Nos permitimos aquí llamar “inverso” al número que se escribe con las mismas cifras que el nombrado
pero “al revés” (25 / 52 ó 34 / 43).
manteniendo por un momento la duda, es un clima de debate que permita poner en el centro la justificación por medio de las relaciones numéricas. Para fomentar el debate en torno al error, es posible despersonalizarlo y plantearlo como “un nene marcó este número y otro éste, ¿qué piensan” o “algunos chicos pensaron que...” Este tipo de intervenciones suelen ser difíciles de instalar en la clase ya que “rompen” con la práctica habitual de corregir inmediatamente frente a un error o de hacer una pregunta dando indicios a los alumnos de la respuesta esperada.
Sostener la incertidumbre frente al error permite que el maestro se corra provisoriamente del lugar del saber permitiendo la discusión colectiva a propósito del conocimiento matemático. Será necesario, después de ayudar a la circulación de las explicaciones elaboradas por los alumnos, que la incertidumbre deje lugar a una nueva conclusión.
Remitir a los números ya escritos en el pizarrón o a los portadores.
Tanto cuando los alumnos dicen no saber cuál es el número que se ha cantado como cuando aparecen dudas respecto de las cifras que lo componen, una intervención posible es sugerir a los alumnos que consulten aquellos portadores que estén a disposición en la clase. Los niños pueden utilizar el conocimiento que poseen acerca de la serie oral contando a partir de uno o de otro número para averiguar cómo se escribe el número que se cantó.
Maestra: “Si un chico no sabe cuál es el treinta y dos, ¿cómo puede usar la cinta métrica para encontrarlo?”. “¿Podrá encontrarlo también en el calendario?”.
Se sugiere anotar separadamente en el pizarrón los números que han salido de aquellos que se ofrecen como pistas, ya sea dividendo el pizarrón en dos partes o confeccionando dos afiches, uno que indique “Pistas” y otro “Números que ya salieron”. El maestro favorecerá su utilización como fuente de consulta para futuras bolillas. Las anotaciones podrán ser completadas o reformuladas a medida que avance la secuencia.
SEGUNDA ETAPA: pistas para saber cómo se llama un número.
De cómo se propicia la circulación de estrategias para la interpretación.
En este conjunto de clases se apunta a que los niños tengan la oportunidad de interpretar los números que salen en las bolillas, además de que también pueden seguir ubicándolos en el cartón – como en las clases anteriores-. Se propondrá la lectura de las bolillas por turno. Al igual que ha sido propuesto en la primera etapa, se sugiere que las parejas se compongan por niños de niveles próximos ya que permite poner en consideración saberes diferentes y exige a la vez ponerse de acuerdo, establecer criterios para poder interpretar el número.
Un alumno saca el veintisiete y lo lee como ochenta y siete. Maestra: ¿Te sirve saber cuál es éste? (Escribe 20) Éste es el veinte, es el veinte, ¿te sirve saber que éste es el veinte para decir que número es éste. (señala el 27 de la hoja)? Alumno: Sí, es el veintisiete.
En este caso el problema devuelto al alumno consiste en establecer relaciones entre el número que se desea interpretar y el nudo inmediatamente anterior, el resto de la información es ofrecida por el docente.
El docente ofrece el nudo en el contexto de la serie.
Este modo de intervenir se plantea cuando el docente no nombra directamente el nudo sino que recurre a la serie escrita para que los niños puedan identificarlo. Implica que se le devuelve al niño un problema mayor. En el siguiente ejemplo, un alumno hace una inversión al interpretar el número y es la maestra quien le ofrece el nudo:
Un alumno saca una bolilla (64) y dice en voz baja: Cuarenta y seis. La maestra escribe el 60: ¿Saben cómo se llama? Dos alumnos dicen que no. Maestra: (escribe en le pizarrón 10, 20, 30, 40, 50, 60): ¿Los conocen?
Es interesante cómo la docente escribe toda la serie de nudos hasta el sesenta y luego los lee, esto permite interpretar cada nudo en contexto de la serie completa.
En esta situación, el docente puede escribir la serie y luego recitarla deteniéndose en el nudo correspondiente. Aquí también es el docente quien nombra el nudo, sin embargo, no lo hace aisladamente, sino que lo hace mostrando una estrategia que permite reconstruir la denominación oral de todos los nudos. En este caso escribe toda la serie y los va nombrando en orden; en otros casos, la serie se encuentra ya escrita como memoria de clases anteriores y el docente recurre a ella para nombrarla o pedirle a los niños que los lean.
Estas estrategias inicialmente propuestas por el docente podrán progresivamente hacerse circular ayudando a que los niños puedan tomarlas como propias a la hora de interpretar un número.
El docente recurre a la serie de nudos, el niño decide en cuál detenerse.
En esta modalidad el docente no se detiene frente al nudo correspondiente e invita a los alumnos a hacerlo, o bien, una vez leída toda la serie, pregunta cuál es el nudo que les sirve. Esta última modalidad asigna a los niños una nueva responsabilidad: identificar cuál es el nudo que servirá para interpretar el número.
En el extracto de clase que citamos a continuación, dos alumnas piden alguna pista para cantar el número que han sacado (63), la maestra señala la serie de nudos que ya estaba escrita en el pizarrón y hacen un conteo entre todos.
Alumnos: Diez, veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta... Alumno: ochenta, noventa, cien. Maestra: ¿Las ayuda? Alumnos: Sí. Maestra: ¿Cuál les sirve? Los alumnos señalan el 60. M: ¿Cuál es ese? Alumnos: Sesenta. M: ¿Y cuál es éste? Alumnos: El sesenta y tres.
En el fragmento de clase el docente sólo ofrece la serie de nudos completa, sin informar cuál es el nudo que serviría para interpretar el número en cuestión y sin recitar la serie. Es el niño quien debe identificar el nudo que le sirve, recurrir a alguna estrategia que le permita interpretarlo y reconocer qué le servirá para poder construir la denominación del número a interpretar.
Estas diferentes formas de devolver la responsabilidad al alumno muestran la tensión entre la información que brinda el docente y los conocimientos que los alumnos deberían poner en juego para resolver el problema. En todas las modalidades de intervenciones con los nudos ya mencionadas el docente remite a la escritura del nudo, sin embargo los conocimientos relativos al sistema de numeración que se ponen en juego en cada una de las situaciones son diferentes ya que varía la magnitud del problema devuelto a los niños.
En la medida en que coexistan diversas intervenciones, éstas podrán ayudar a que se movilicen diferentes conocimientos en la clase. En este sentido sería interesante poner en juego las intervenciones comenzando por aquellas más “abiertas” para ir ofreciendo otras más “cerradas”. Algunas resultarán fértiles para ciertos niños mientras que otras intervenciones lo serán para otros. Incluso a un mismo niño una intervención puede no ayudarlo en determinado momento, mientras que en otro puede permitirle realizar un avance.
Remitir a los portadores a disposición para buscar “ayuda” para saber cómo se llama el número.
Una discusión interesante para instalar con los niños podrá estar centrada en qué portadores es posible consultar para encontrar un número y distinguir que no todos los portadores tienen todos los números de la lotería (calendario por ejemplo). Una vez elegido el portador, las intervenciones podrán estar dirigidas a que los niños expliciten qué estrategias usar para localizar el número. Las primeras clases la mayoría de los niños seguramente contará desde el uno hasta el número que ha salido.
Progresivamente se podrá generar una comparación de estrategias para poner en juego la economía de unas por sobre otras, por ejemplo contar desde un número mayor.
Escribir el número para toda la clase
Escribir en el pizarrón el número que salió, sin nombrarlo, para que toda la clase sepa cuál es. Es importante que el maestro solicite a los alumnos mirar el número sin decir su nombre en voz alta. Podrá dar alguna “pista” acerca de su nombre solicitando otras que ayuden a saber de qué número se trata.
Remitir a números que ya salieron
Remitir a números que ya salieron y a las discusiones que se formularon a propósito de los mismos. Por ejemplo: (si salió el 34) “¿Se acuerdan de que hace un ratito salió este número (39)?, ¿cómo se llamaba? ¿Se acuerdan de qué números nos sirvieron de pistas para averiguarlo?”.
Recurrir al anterior y posterior
El docente podrá presentar el número anterior y posterior y decir sus nombres o invitar a otros alumnos a que lo hagan. Se le preguntará a la pareja que canta si les sirve saber esos números.
Convocar a otra pareja
Convocar a otra pareja –de nivel de conocimientos próximos- que den su punto de vista acerca del número en cuestión e intenten ponerse los cuatro de acuerdo.
Poner en duda las interpretaciones erróneas
Si una pareja de niños cantara el número invertido (por ejemplo, “veinticuatro” para 42) o sustituyera decenas (por ejemplo, “setenta y dos” para 42) se agregan además otras intervenciones posibles:
- el docente escribe ambos números: el que salió y el que los niños nombraron.
- el docente nombra cada uno y pregunta cuál es cuál. Por ejemplo, podrá escribir 24 y 42, diciéndoles “Uno es el veinticuatro y otro, el cuarenta y dos, ¿cuál es cuál?”
- el docente escribe los nudos en el pizarrón y pide a los niños que los lean; si no los conocen, dice el nombre de esos nudos y pregunta cuál es cuál y si le sirve saber esos nombres.
Poner en duda algunos números leídos correctamente.
Frente a algunos números leídos convencionalmente, el maestro podrá contra-argumentar, por ejemplo si una pareja interpretó convencionalmente el 36: “Un nene de otro grado dijo que ese es el sesenta y tres. ¿Qué opinan?”. La intención de esta intervención es que los niños comiencen a justificar y validar sus interpretaciones progresivamente. Como ya ha sido señalado para la primera etapa, frente a la contra- argumentación del docente, aquellos niños que no tienen dudas en su interpretación convencional se verán exigidos a explicitar ciertas relaciones entre la serie oral y La serie escrita. La explicitación de relaciones que utilizan implícitamente para hacer la lectura convencional será fértil para favorecer una mayor profundización en sus conocimientos numéricos y permitirá hacer circular nuevas relaciones a los otros niños.
Han sido presentadas una variedad de intervenciones posibles frente a los aciertos y errores de los alumnos. En otras oportunidades será conveniente decir directamente de qué número se trata, ya que esto agilizará el juego.
TERCERA ETAPA: trabajo en grupos reducidos en torno a los
problemas de las dos primeras etapas.
De cómo se intenta generar condiciones más propicias para hacer circular
los conocimientos sobre interpretación y localización en aquellos niños
menos avanzados^10.
Durante las dos etapas anteriores el docente habrá podido detectar qué niños requieren de una nueva instancia con condiciones más ajustadas a sus necesidades para que puedan tener más oportunidades de aprender aquellos conocimientos que han circulado en las clases.
Mientras la mayor parte del grupo continúa entre la primera y segunda etapa, grupos reducidos de hasta cinco niños irán realizando el trabajo que se propone en la tercera etapa dentro del aula o –eventualmente- fuera de ella.
Como ya se ha señalado, la finalidad de esta etapa será ofrecer a los niños menos avanzados en la interpretación de números la oportunidad de encontrar mejores estrategias para poder hacerlo. Otro espacio de trabajo más reducido y mejores condiciones didácticas podrán ayudarlos a producir nuevos avances. Para estas clases los grupos serán rotativos según las necesidades. Será importante que el maestro comunique a los alumnos la finalidad por la cual hacen este trabajo: aprender a “cantar” con mayor facilidad.
Se necesitarán las bolillas y las pistas que se hayan confeccionado en clase hasta el momento a modo de referencia, también portadores que se han utilizando habitualmente. Si algún portador no hubiera sido utilizado mucho hasta ese momento, el maestro puede llevarlo y proponer su uso.
(^10) Es esperable que en todos los grupos, al inicio de primer grado, haya una heterogeneidad de
conocimientos –también- en relación a los conocimientos relativos a la numeración.
Maestra: A ver, Roger te quiere decir algo. Decíselo. Roger: Que no llega hasta ahí porque no queda mucho lugar. Maestra: Dice que ahí no vas a encontrar el número. Micaela: En el calendario lo puede encontrar. Maestra: Micky dice en el calendario ¿lo podrá encontrar en el calendario? (A los que fueron a ver el calendario) Vengan acá y vamos a ver. ¿Lo encontraron en el calendario? Varios: ¡¡No!! Shirly: Acá tampoco llega. (Los chicos cambian de calendarios buscando el número. Bárbara y Florencia buscan el número siguiendo en líneas horizontales sin notar que pasan de mes en mes y empieza nuevamente) Micaela: Sí. Acá está. (Trae el número 65 de un cartel con números pegados) Maestra: Ella dice que lo encontró y trajo este número. Bárbara: Es cinco y seis. Maestra: ¿Y esto no es lo mismo? (refiriéndose al 56 y 65) Alumno: No. Maestra: Bueno, tratemos de ver cómo se llama. A ver, las dos pistas que dimos eran: que está cerca del cincuenta y cinco, y que este es el cincuenta. ¿Alguna de las dos te ayuda? O veamos si alguien tiene otra pista. Este (señala 50 en el cartel de pistas) es el cincuenta ¿te ayuda? A ver, ella empezó a contar, mirá Barbi lo que hace. Hacelo Flor. (Flor cuenta desde el 50 en el metro) Florencia y Bárbara: Este es cincuenta, cincuenta y uno, cincuenta y dos, cincuenta y tres, cincuenta y cuatro, cincuenta y cinco, cincuenta y seis. Maestra: ¿Se acuerdan de que Roger dio una pista?, dijo que estaba cerca del cincuenta y cinco ¿Era verdad? ¿Por qué? ¿Cuál es el cincuenta y cinco? Alumno: Este. Maestra: Bueno, es verdad, es el cincuenta y seis. Sacamos otro, no miren. Damos tiempo para pensar.
Los niños que han trabajado en esta etapa podrán reutilizar lo aprendido en nuevas clases de la segunda etapa. El maestro podrá evaluar la fertilidad de generar también instancias de trabajo en pequeños grupos con los niños más avanzados.
Otra cuestión interesante a abordar será una “preparación” para las clases siguientes, de tal modo que estos niños con anterioridad al resto de la clase, conozcan por ejemplo la grilla de control o discutan algunas regularidades de la misma^11. Conocer antes que el resto del grupo el trabajo en torno a las grillas podrá ubicarlos en posiciones diferentes respecto del conocimiento nuevo frente a sus compañeros y permitirá generar mejores condiciones para los nuevos aprendizajes de las siguientes etapas.
(^11) Se sugiere que haya proximidad entre esta etapa y la siguiente para que los niños puedan verdaderamente reutilizar lo aprendido en la cuarta etapa.
CUARTA ETAPA : Construcción de grillas de control.
De cómo producir y hacer circular estrategias para localizar en las grillas
los números a partir de analizar regularidades entre los mismos^12.
En esta etapa los niños no jugarán a la lotería sino que elaborarán una grilla como la que se utiliza habitualmente para control en los juegos convencionales. El problema apunta a que los alumnos avancen en el estudio de las regularidades de los números del 1 al 90 apoyándose en las características de la grilla. La organización rectangular de la misma y la ubicación de los nudos a la izquierda en la primera columna favorece el análisis de dicho campo numérico en términos de las semejanzas en las escrituras numéricas de los nudos y de los números de una fila que corresponden a la misma decena. Otra regularidad que se ve favorecida por la disposición de los números en columnas es que ayuda a hacer más observable la semejanza en las escrituras de los diferentes números que tienen las mismas unidades.
X 1
Esta etapa se organiza en tres fases:
- una instancia grupal en la cual se explicitarán diferentes estrategias y relaciones que se pueden utilizar para saber dónde localizar algunos números,
- una instancia en parejas en la que los niños reutilizarán las estrategias que han circulado en la primera fase para ubicar nuevos números,
- una instancia individual en la que completarán la grilla con los números faltantes.
Para esta etapa se requiere que haya una grilla vacía (grande) colgada en el pizarrón y grillas pequeñas, todas de diez cuadrados por diez. Los alumnos deberán estar organizados por parejas.
Primera fase : trabajo con grilla colectiva^13.
(^12) En el caso en que en el aula se haya utilizado como portador una grilla de números, a partir de esta etapa no debería estar presente. (^13) En esta fase será necesario disponer de una grilla rectangular realizada en cartulina o papel afiche con cien casilleros. Es importante que el primer casillero esté vacío o tapado con una cruz de tal manera que queden los nudos a partir de la segunda fila, en la primera columna. Cuando el maestro ubica el noventa, tacha los siguientes reiterando que es el mayor posible.
Promover la búsqueda de nuevas estrategias que no hayan utilizado los niños, por ejemplo: “¿Hay otra manera para ubicar el 21 que no sea contando desde el uno?”
Someter a discusión una estrategia propuesta: ”¿Podemos usar alguno de los números que ya están anotados en la grilla para ubicar el 21? ”
Proponer un análisis en torno a la economía de unas estrategias por sobre otras, por ejemplo: “ Estuvimos de acuerdo en que para ubicar el 42 podemos contar desde uno o desde el 15, que ya había salido. ¿Habrá alguna otra manera de saber dónde ubicar el número, que sea más rápida? ”
Plantear estrategias de control, por ejemplo: “ ¿cómo podemos hacer para darnos cuenta de si un número está mal ubicado?”
Poner en duda la validez de una ubicación –sea correcta o incorrecta- con el fin de promover justificaciones apoyadas en relaciones entre los números, por ejemplo: “ un chico nos dijo que el 45 va aquí porque tiene un 5 (ubicándolo en la fila de los cincuentas). ¿Qué les parece ?”
A continuación se presentan extractos de clase que ilustran algunas de estas intervenciones.
Primer caso: M: Yo les voy a hacer una pregunta y piensen bien ahora, ¿Hay alguna otra manera de ubicar, por ejemplo, el número veinte, sin empezar a contar desde el uno? Benjamín: Sí, contando de diez en diez como dije yo. M: Contando de diez en diez como dijiste vos y, ¿cómo sabés cuál es la columna del diez en diez? Alumno 1: Para abajo, diez, veinte, treinta, cuarenta, cincuenta sesenta, setenta, ochenta y noventa. M: Entonces, ¿Cómo haces? ¿Vos sabías imaginariamente que acá estaba el diez (10)? (Benjamín: asiente con la cabeza) M: ¿Y abajo entonces? Benjamín:: El veinte (20). M: El veinte, muy bien. Y ahora, para ubicar el diecisiete, ¿hay alguna otra manera también sin contar desde el uno? Varios a la vez: No M: ¿No? ¿No hay ninguna manera? Micaela: Hay muchas pero no las sabemos. ... Nico: Me parece que yo sé una. M: A ver, bueno, a ver... Floreal: Como empezar por el diez, once, doce, trece, catorce, quince, dieciséis y diecisiete.
Segundo caso: M: (saca otro número) Ochenta (80) A: Yo sé.
M: ¿Qué marcás vos, Kevin? Kevin marcó acá (señala el lugar correcto) (Nicolás marca el 80 en el casillero que corresponde al ochenta y uno) M: Miremos acá (el 80 de Kevin) y acá (el 80 en el lugar que le correspondería al 81) que señaló Nico. M: Nico, ¿No tenés ganas de contarles a todos lo que vos pensaste de eso? Nico: Acá va el 80 (señala el lugar de 81) M: Escuchen lo que dijo Nico. M: Vos Nico ¿Por qué pensás que va acá el ochenta? .... Nico vuelve a señalar el lugar del 81. M: Bueno para Nico va acá (el lugar del 81) ¿Quién dijo que el 80 va acá (el lugar correcto)? Benjamín (tratando de justificar el lugar asignado por Kevin): diez, veinte, treinta, cuarenta, cincuenta sesenta, setenta, ochenta y noventa (señalando los casilleros de la columna de la derecha) M: ¿Y qué quiere decir eso? Benjamín:: Porque se están contando de diez en diez M: Y entonces acá, con estos dos ochenta ¿Qué hacemos?.
Segunda Fase: trabajo con las grillas pequeñas (una por niño).
En esta fase las grillas son individuales pero se sugiere a los alumnos que trabajen en parejas ayudándose y discutiendo estrategias y ubicaciones. En primer lugar será necesario evocar conjuntamente las estrategias utilizadas en clases anteriores para ubicar los números en la grilla grande. Luego, se completará una grilla individual y pequeña en las que ya están escritos los números 1 y 90. Se les propondrá a los alumnos copiar a sus grillas pequeñas y vacías los números ya escritos en la grilla colectiva. Esta actividad de copiado es para los niños un verdadero problema ya que deben seleccionar una parte del texto-modelo (la grilla grande) y luego escribir el número en el mismo recuadro de la grilla pequeña y repetirlo con cada número. Ello implica no escribir el mismo número dos veces en lugares diferentes, hacerlo en el casillero que corresponda y además que sus cifras estén escritas adecuadamente. Pero los niños no tienen por qué conocer todo de antemano. “¿Dónde pongo el treinta y dos?” implica interpretar dicho número y reflexionar acerca de un aspecto de la organización del espacio gráfico. Los alumnos deberán controlar que se trata de la misma posición en ambas grillas. Posteriormente se discutirá acerca de cómo darse cuenta de “si los números están bien copiados” permitiendo la aparición y reutilización de ciertas relaciones entre los números tales como el rol de los nudos, el números con cual empiezan, el número con el que terminan, etc. Cuando la actividad de copiado se da por realizada, el docente anunciará que va a cantar tres nuevos números que no han sido ubicados aún y los va a escribir en el pizarrón. Cada pareja decidirá donde lo tiene que poner. Finalmente se tratará de organizar un espacio colectivo de debate y circulación de estrategias de localización priorizando aquellas que permiten ir progresivamente abandonando el conteo desde uno e incorporando relaciones entre los números. El maestro “canta” los tres primeros números y luego se discute entre todos dónde los ubicaron para poder anotarlos además en la grilla grande. Luego, vuelve a cantar otros tres números y se procede de la misma manera. Mientras los chicos buscan dónde ubicar el número el maestro puede recorrer las mesas observando lo que sucede.
