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3.7 Stripline 141
y (^) Suelo avión
r W^ segundo
X mi z Plano terrestre^ H (un) (segundo)
FIGURA 3.22 Línea de transmisión stripline. (a) Geometría. (b) Líneas de campo eléctricas y magnéticas.
3,7 STRIPLINE
Stripline es un tipo plano de línea de transmisión que se presta bien a circuitos integrados de microondas, miniaturización y fabricación fotolitográfica. La geometría de la línea de banda se muestra en la Figura 3.22a. Una tira conductora delgada de
anchoW está centrado entre dos planos de separación de tierra conductores anchossegundo, y la región entre los planos de
tierra se rellena con un material dieléctrico. En la práctica, la línea de banda se construye generalmente grabando el conductor
central en un sustrato dieléctrico conectado a tierra de espesorsegundo/ 2 y luego cubriendo con otro sustrato conectado a tierra.
Las variaciones de la geometría básica de la Figura 3.22a incluyen una línea de bandas con diferentes espesores de sustrato
dieléctrico (línea de banda asimétrica) o diferentes constantes dieléctricas (línea de banda no homogénea). A veces se usa
dieléctrico de aire cuando es necesario minimizar las pérdidas. En la Figura 3.23 se muestra un ejemplo de un circuito de línea de banda.
Debido a que la línea de banda tiene dos conductores y un dieléctrico homogéneo, admite una onda TEM, y este es el modo de funcionamiento habitual. Sin embargo, al igual que la guía de placa paralela y la línea coaxial, la línea de banda también puede admitir modos de guía de ondas de orden superior. Por lo general, estos pueden evitarse en la práctica restringiendo tanto el espacio del plano del suelo como el ancho de la pared lateral. a menos deλ d / 2. Las vías de cortocircuito entre los planos de tierra se utilizan a menudo para hacer cumplir esta condición en relación con el ancho de la pared lateral. También se deben utilizar vías de cortocircuito para eliminar modos de orden superior que se pueden generar cuando se introduce una asimetría entre los planos de tierra (por ejemplo, cuando se utiliza una transición coaxial montada en superficie). Intuitivamente, uno puede pensar en la línea de banda como una especie de cable coaxial “aplanado”: ambos tienen un conductor central completamente encerrado por un conductor externo y están uniformemente llenos de un medio dieléctrico. En la figura 3.22b se muestra un bosquejo de las líneas de campo para la línea de franjas. La geometría de la línea de banda no se presta a los análisis simples que se utilizaron para las líneas de transmisión y guías de ondas previamente tratadas. Debido a que nos ocuparemos principalmente del modo TEM de la línea de banda, un análisis electrostático es suficiente para dar la constante de propagación y la impedancia característica. Una solución exacta de la ecuación de Laplace es posible mediante un enfoque de mapeo conforme [6], pero el procedimiento y los resultados son engorrosos. En su lugar, presentaremos expresiones de forma cerrada que dan buenas aproximaciones a los resultados exactos y luego discutiremos una técnica numérica aproximada para resolver la ecuación de Laplace para una geometría similar a la línea de bandas.
Fórmulas para constante de propagación, impedancia característica y atenuación
De la sección 3.1 sabemos que la velocidad de fase de un modo TEM viene dada por
v p = √
1 /μ 0 ε 0 ε r = C/ ε r, ( 3.176)
142 Capítulo 3: Líneas de transmisión y guías de ondas
FIGURA 3.23 Fotografía de un conjunto de circuito de línea de banda (sin tapa), que muestra cuatro híbridos en cuadratura, terminales de sintonización de circuito abierto y transiciones coaxiales.
y así la constante de propagación de la línea de banda es
β = ω = √
ω μ 0 ε 0 ε r = ε r k 0. ( 3.177) v pags
En (3.176),c = 3 × 10 8 m / seg es la velocidad de la luz en el espacio libre. El uso de (2.13) y (2.16) nos permite escribir la
impedancia característica de una línea de transmisión como
Z 0 =
L = LC = 1 C C
, ( 3.178) v pags C
dóndeL yC son la inductancia y capacitancia por unidad de longitud de la línea. Así, nosotros
puedo encontrarZ 0 si sabemosC. Como se mencionó anteriormente, la ecuación de Laplace se puede resolver mediante un mapeo conforme para encontrar la capacitancia por unidad de longitud de la línea de banda, pero el resultado
La solución implica complicadas funciones especiales [6], por lo que para cálculos prácticos se han desarrollado
fórmulas simples ajustando la curva a la solución exacta [6, 7]. La fórmula resultante para la impedancia característica
es
Z 0 = 3 √ 0π
ε r W e + 0.441segundo
segundo , ( 3.179a)
144 Capítulo 3: Líneas de transmisión y guías de ondas
A 10 GHz, el número de onda es
k = 2π F ε r = 310,6 metros - 1. C
De (3.30) la atenuación dieléctrica es
α d = k broncearseδ = ( 310,6) (0,001) = 0,155 Np / m. 2
La resistencia superficial del cobre a 10 GHz esR s = 0.026. Entonces de (3.181) la atenuación del
conductor es
α c = 2,7 × 10 - 3 R s ε r Z 0 A = 0,122 Np / m, 30π ( segundo -t)
ya queA = 4.74. La constante de atenuación total es
α = α d + α c = 0,277 Np / m.
En dB,
α ( dB) = 20 logmi α = 2,41 dB / m.
A 10 GHz, la longitud de onda en la línea de banda es
λ = √C = 2,02 cm,
ε r F entonces, en términos de longitud de onda, la atenuación es
α ( dB) = (2,41) (0,0202) = 0,049 dB /λ. ■
Una solución electrostática aproximada
Muchos problemas prácticos de la ingeniería de microondas son muy complicados y no se prestan a soluciones
analíticas sencillas, sino que requieren algún tipo de enfoque numérico. Por tanto, es útil que el alumno se dé
cuenta de estas técnicas; Introduciremos estos métodos cuando sea apropiado a lo largo de este libro,
comenzando con una solución numérica para la impedancia característica de la línea de banda.
Sabemos que los campos del modo TEM en la línea de banda deben satisfacer la ecuación de Laplace, (3.11), en la región entre las dos placas paralelas. La geometría idealizada de la línea de bandas de la Figura 3.22a se extiende a ± ∞, lo que dificulta el análisis. Como sospechamos, a partir del dibujo de la línea de campo de la figura 3.22b, que las líneas de campo no se extienden muy lejos del conductor central, podemos simplificar la geometría truncando las placas más allá de
cierta distancia, digamos |x | > a / 2, y colocando paredes metálicas en los laterales. Así, la geometría que analizaremos se
muestra en la Figura 3.24, dondeun
segundo, para que los campos alrededor del centro
y
segundo ε^ rr W
-^ un 2
0 un 2
X
FIGURA 3.24 Geometría de la línea de banda cerrada.
3.7 Stripline 145
conductor no son perturbados por las paredes laterales. Entonces tenemos una región finita cerrada en la que el potencial (x, y) satisface la ecuación de Laplace,
t ( x, y) = 0 para |x | ≤un/ 2, 0 ≤y ≤segundo,
con las condiciones de contorno
( x, y) = 0, ( x, y) = 0,
ax = ±un/ 2,
ay = 0,segundo.
Se puede resolver por el método de separación de variables. Porque
densidad de rango, el potencial (x, y)
es discontinuo eny = b / 2.
(3.183a)
(3.183b)
Ecuación de Laplace c =segundo/ 2 contendrá un s̄u =
rfa -ce cha
tendrá una discontinuidad de pendiente allí porquere ∇
Por lo tanto, soluciones separadas para (x, y) debe encontrarse para 0 <y <b / 2 ysegundo/ 2 <y <b. ciones para (x, y) en estas dos regiones se puede escribir como norte π X norte π y un un
el conductor central eny
ε 0 ε rt
La solución general •
UN norte porque pecado por 0 ≤y ≤segundo/ 2
( x, y) = •
( 3.184) norte π X un
norte π un
segundo norte porquepecado ( segundo -y) parasegundo/ 2 ≤y ≤segundo.
Solo los extrañosnorte se necesitan términos en (3.184) porque la solución es una función par deX.
El lector puede verificar por sustitución que (3.184) satisface la ecuación de Laplace en las dos regiones y satisface las
condiciones de contorno de (3.183).
El potencial debe ser continuo eny = b / 2, que de (3.184) conduce a
UN n = segundo norte. ( 3.185)
El conjunto restante de coeficientes desconocidos = ent -s,UN norte, se puede encontrar resolviendo la carga
densidad en • el centro s (viaje. B
norte π) porquemi y
∂ / ∂ y, tenemos norte π X norte π y UN norte porque aporrear un un un
por 0 ≤y ≤segundo/ 2
mi y = • o (norte π) ( 3.186)
norte π X un
norte π un
UN norte porque aporrear ( segundo -y) parasegundo/ 2 ≤y ≤segundo. un impar
La densidad de carga superficial en la tira ay = b / 2 es
ρ s = re y ( x, y = b / 2+) -re y ( x, y = b / 2 -)
=ε 0 ε r [ mi y ( x, y =
(segundo/ 2+) - norte π norte π Xmi y ( x, y = b / 2norte π segundo -)] porque aporrear un un 2 un
∑∞^ )
= 2ε 0 ε r UN norte , (3.187)
n = 1 impar
wh = ich se ve como una serie de Fourier enX para la densidad de carga superficial,ρ s, en la franja en y segundo/ 2. Si conocemos la densidad de carga de la superficie, podríamos encontrar fácilmente la con-
stants,UN norte, y luego la capacitancia. No conocemos la densidad de carga superficial exacta, pero
podemos hacer una buena suposición aproximando {imitando como una constante sobre el ancho de la tira,
para |x | <W / 2
( 3.188)
0 para |x | > W / 2.
ρ s ( X) = 1
3.8 Línea de microcinta 147
Vemos que los resultados concuerdan razonablemente con las ecuaciones de forma cerrada de (3.179) y los resultados de un paquete CAD comercial, particularmente para tiras más anchas donde la densidad de carga es más cercana a la uniforme. Se podrían obtener mejores resultados si se utilizaran estimaciones más sofisticadas
para la densidad de carga. ■
3.8 LÍNEA MICROSTRIP
La línea de microcinta es uno de los tipos más populares de líneas de transmisión planas principalmente porque puede fabricarse mediante procesos fotolitográficos y se miniaturiza e integra fácilmente con dispositivos de microondas pasivos y
activos. La geometría de una línea de microcinta se muestra en la Figura 3.25a. Un conductor de anchoW está impreso en
un delgado, conectado a tierra
sustrato dieléctrico de espesorre y permitividad relativaε r; En la figura 3.25b se muestra un esquema de las líneas de campo.
Si el sustrato dieléctrico no estuviera presente (ε r = 1), tendríamos una línea de dos hilos
que consiste en un conductor de tira plana sobre un plano de tierra, incrustado en un homogéneo
medio (aire). Esto constituiría una línea de transmisión TEM simple con velocidad de fase.
ityv p = C y constante de propagaciónβ = k 0.
La presencia del dieléctrico, particularmente el hecho de que el dieléctrico no llena el
región por encima de la tiray> d), complica el comportamiento y el análisis de la línea de microcinta. A diferencia de la línea de banda, donde todos los campos están contenidos dentro de una región dieléctrica homogénea, la microbanda tiene algunas (generalmente la mayoría) de sus líneas de campo en la región dieléctrica entre el conductor de banda y el plano de tierra y alguna fracción en la región de aire sobre el sustrato. por
esta razón, la línea microstrip no puede admitir ap √ onda TEM ya que la velocidad de fase de
Los campos TEM en la región dieléctrica seríanC/ ε r, mientras que la velocidad de fase de los campos TEM en la región del aire seríaC, por lo que una condición de coincidencia de fase en la interfaz dieléctrico-aire
sería imposible de hacer cumplir.
En realidad, los campos exactos de una línea de microcinta constituyen una onda híbrida TM-TE y requieren técnicas de análisis más avanzadas de las que estamos preparados para tratar aquí. En la mayoría de las aplicaciones prácticas, sin embargo, el sustrato dieléctrico es eléctricamente muy delgado (re por lo que los campos son cuasi-TEM. En otras palabras, los campos son esencialmente los mismos que los del caso estático (DC). Por lo tanto, se pueden obtener buenas aproximaciones para la velocidad de fase, la constante de propagación y la impedancia característica a partir de estática ocuasi-estático, soluciones. Entonces, la velocidad de fase y la constante de propagación se pueden expresar como
λ),
v p = √C
ε mi
β = k 0 ε mi, (3.194)
y
W
r re
X mi z Plano terrestre H (un) (segundo) FIGURA 3.25 Línea de transmisión microstrip. (a) Geometría. (b) Líneas de campo eléctricas y magnéticas.
148 Capítulo 3: Líneas de transmisión y guías de ondas
dóndeε mi es elconstante dieléctrica efectiva de la línea de microcinta. Debido a que algunas de las líneas de campo están
en la región dieléctrica y otras en el aire, la constante dieléctrica efectiva
satisface la relación
1 <ε e < ε r
y depende de la constante dieléctrica del sustrato, el espesor del sustrato, el ancho del conductor y la
frecuencia.
Presentaremos fórmulas de diseño aproximadas para la constante dieléctrica efectiva, impedancia característica y atenuación de la línea de microcinta; estos resultados son aproximaciones de ajuste de curvas a soluciones cuasiestáticas rigurosas [8, 9]. Luego, discutiremos aspectos adicionales de las líneas de microcinta, incluidos los efectos dependientes de la frecuencia, los modos de orden superior y los efectos parásitos.
Fórmulas para una constante dieléctrica eficaz, impedancia característica y
atenuación
La constante dieléctrica efectiva de una línea de microcinta viene dada aproximadamente por
1 + 12d / W
ε e = ε r + 1 +ε r - 1 √. (. 9)
La constante dieléctrica efectiva se puede interpretar como la constante dieléctrica de un medio homogéneo que reemplaza de manera equivalente el aire y las regiones dieléctricas de la línea de microcinta, como se muestra en la Figura 3.26. La velocidad de fase y la constante de propagación vienen dadas por (3.193) y (3.194).
Dadas las dimensiones de la línea de microbanda, la impedancia característica se puede calcular
culado un •s
8 d + W
W 4 re
en paraW / d ≤ 1
Z 0 = • ε mi ( 3.196)
ε e [ W / d + 1,393 + 0,667 ln (W / d + 1.444)]
Para una impedancia característica dadaZ 0 y constante dieléctricaε r, laW / d se puede encontrar la proporción • como
paraW / d ≥ 1.
W =
re •^
[ }]
paraW / d < 2
ε r - 1
segundo - 1 - en (2segundo - 1) + ensegundo- 1) + 0,39 - 0,61 paraW / d> 2,
( 3.197)
π 2 ε r ε r
W W
mi r re re
(un) (segundo) FIGURA 3.26 Geometría equivalente de una línea de microcinta cuasi-TEM. (a) Geometría original. (b) Geometría equivalente, donde el sustrato dieléctrico de permitividad relativaε r se reemplaza con un medio homogéneo de permitividad relativa efectivaε mi.
150 Capítulo 3: Líneas de transmisión y guías de ondas
La atenuación debida a la pérdida dieléctrica se encuentra en (3.198) comoα d = 0,255 Np / m =
0,022 dB / cm. La resistividad superficial del cobre a 10 GHz es 0.026 y la
atenuación debida a la pérdida del conductor es, de (3.199),α c = 0,0108 Np / cm = 0,094 dB / cm. La pérdida total en la línea es entonces de 0,101 dB.
Un paquete CAD de microondas comercial da los siguientes resultados:W =
0,478 mm,ε e = 6,83 = 8,61 mm,α d = 0,022 dB / cm yα c = 0,054 dB / cm. Las fórmulas aproximadas dan
resultados que están dentro de un pequeño porcentaje del CAD.
datos para ancho de línea, constante dieléctrica efectiva, longitud de línea y atenuación dieléctrica. La mayor discrepancia se produce para la constante de atenuación de la pérdida del conductor.
Efectos dependientes de la frecuencia y modos de orden superior
Los resultados para los parámetros de la línea de microbanda presentados en la sección anterior se basaron en la aproximación cuasi-estática y son estrictamente válidos solo en CC (o frecuencias muy bajas). A frecuencias más altas pueden ocurrir una serie de efectos que conducen a variaciones de los resultados cuasiestáticos para la constante dieléctrica efectiva, la impedancia característica y la atenuación de la línea de microbanda. Además, pueden surgir nuevos efectos, como modos de orden superior y reactancias parasitarias.
Debido a que la línea de microcinta no es una línea TEM verdadera, su constante de propagación no es una función
lineal de la frecuencia, lo que significa que la constante dieléctrica efectiva varía con la frecuencia. El campo
electromagnético que existe en la línea de microcinta implica un acoplamiento híbrido de los modos TM y TE, complicado
por la condición de frontera impuesta por la interfaz de aire y sustrato dieléctrico. Además, la corriente en la tira de
conductores no es uniforme a lo ancho de la tira y esta distribución varía con la frecuencia. El grosor de la tira conductora
también influye en la distribución de la corriente y, por tanto, afecta los parámetros de la línea (especialmente la pérdida del
conductor).
La variación con la frecuencia de los parámetros de una línea de transmisión es importante por varias razones. Primero, si la variación es significativa, es importante conocer y utilizar los parámetros en la frecuencia particular de interés para evitar errores en el diseño o análisis. Normalmente, para la línea de microcinta, la variación de frecuencia de la constante dieléctrica efectiva es más significativa que la variación de la impedancia característica, tanto en términos de cambio relativo como del efecto relativo sobre el rendimiento. Un cambio en la constante dieléctrica efectiva puede tener un efecto sustancial en el retardo de fase a través de una sección larga de línea, mientras que un pequeño cambio en la impedancia característica tiene el efecto principal de introducir un pequeño desajuste de impedancia. Segundo, una variación en los parámetros de línea con la frecuencia significa que los diferentes componentes de frecuencia de una señal de banda ancha se propagarán de manera diferente. Una variación en la velocidad de fase, por ejemplo, significa que diferentes componentes de frecuencia llegarán a la salida de la línea en diferentes momentos, lo que lleva adispersión de señal y distorsión de la señal de entrada. En tercer lugar, debido a la complejidad de modelar estos efectos, las fórmulas aproximadas generalmente son útiles solo para un rango limitado de parámetros de línea y frecuencia, y los modelos numéricos por computadora suelen ser más precisos y útiles.
Hay una serie de fórmulas aproximadas, desarrolladas a partir de soluciones informáticas numéricas y / o datos
experimentales, que se han sugerido para predecir la variación de frecuencia de los parámetros de la línea de microbanda
[8, 9]. Un modelo popular dependiente de la frecuencia para la constante dieléctrica efectiva tiene una forma similar a la
siguiente fórmula [8]:
ε mi( f) = ε r - ε r - ε mi( 0) , ( 3.200)
1 +G (f)
dóndeε mi( f) representa la constante dieléctrica efectiva dependiente de la frecuencia,ε r es la permitividad relativa del
sustrato, yε mi( 0) es la constante dieléctrica efectiva de la línea en
3.8 Línea de microcinta 151
DC, dado por (3.195). La funciónG (f) puede tomar varias formas, pero una sugerida en
la referencia [8] es queG (f) = gf / f 2 pags , cong = 0,6 + 0,009Z 0 yF p = Z 0 / 8 π d (Z 0 es
en ohmios,F está en GHz, yre está en cm). Se puede ver en la forma de (3.200) queε mi( f)
se reduce al valor DCε mi( 0) cuandof = 0 y aumenta haciaε r a medida que aumenta la frecuencia.
Las fórmulas aproximadas como las anteriores se desarrollaron principalmente en los años anteriores. Las herramientas de diseño asistido por computadora para la ingeniería de RF y microondas se hicieron comúnmente disponibles (vea el Punto de interés sobre el diseño asistido por computadora en el Capítulo 4). Estas herramientas suelen ofrecer resultados precisos para una amplia gama de parámetros de línea y, en la actualidad, suelen preferirse a las aproximaciones de forma cerrada.
Otra dificultad potencial con la línea de microcinta es que puede admitir varios tipos de modos de orden superior, particularmente en frecuencias más altas. Algunos de estos están directamente relacionados con los modos de ondas superficiales TM y TE que se discutieron en la Sección 3.6, mientras que otros están relacionados con los modos de tipo guía de ondas en la sección transversal de la línea. La TM 0 El modo de onda de superficie para un sustrato dieléctrico conectado a tierra tiene una frecuencia de corte cero, como sabemos por (3.167). Debido a que algunas de las líneas de campo de este modo son alineado con las líneas de campo del modo cuasi-TEM de una línea de microbanda, es posible que se produzca el acoplamiento desde el modo de microbanda deseado a una onda de superficie, lo que conduce a una pérdida de potencia excesiva y posiblemente un acoplamiento no deseado a elementos de microbanda adyacentes. Porque el campos de la MT 0 onda superficial son cero en DC, hay poco acoplamiento al modo de microbanda cuasi-TEM hasta que se alcanza una frecuencia crítica. Los estudios han demostrado que este umbral
la frecuencia es mayor que cero y menor que la frecuencia de corte del TM 1 onda de superficie
modo. Una aproximación comúnmente utilizada es √ [ 8]
C
2 π re ε r - 1
F T 1
broncearse^ -^ ε.^ r 1 (. 0)3 2 1
porε r que van de 1 a 10, (3.201) da una frecuencia que es del 35% al 66% deF C 1, el corte
frecuencia de la MT 1 modo de onda de superficie. Cuando un circuito de microcinta tiene discontinuidades transversales (como curvas, uniones o incluso cambios escalonados en el ancho), las corrientes transversales en los conductores que se generan pueden permitir el acoplamiento a los modos de onda de superficie TE. La mayoría de los circuitos de microbanda prácticos implican tales discontinuidades, por lo que este tipo de acoplamiento suele ser importante. El umbral mínimo La frecuencia en la que dicho acoplamiento se vuelve importante viene dada por el corte del TE 1 onda superficial, de (3.174):
F T 2 √C. ( 3. 0)
4 re ε r - 1
Para líneas anchas de microcinta, es posible excitar una resonancia transversal a lo largo delX eje de la línea de microcinta debajo de la tira en la región dieléctrica porque los lados debajo de la tira conductora aparecen aproximadamente como paredes magnéticas. Esta condición ocurre cuando el ancho es de aproximadamenteλ / 2 en el dieléctrico, pero debido a las franjas de campo, el ancho efectivo de la tira es algo mayor que el ancho físico. Una aproximación aproximada del ancho efectivo esW + d / 2, por lo que la frecuencia umbral aproximada para la resonancia transversal es
C
ε r ( 2 W + d)
Es raro que una línea de microcinta sea lo suficientemente ancha para acercarse a este límite en la práctica. Por último, un modo de guía de ondas tipo placa paralela puede propagarse cuando se acerca el espacio vertical entre el conductor de banda y el plano de tierra.λ / 2 en el dieléctrico. Por lo tanto, un
F T 3 √. ( 3.203)
3.9 La técnica de resonancia transversal 153
Usando una constante dieléctrica efectiva deε mi( 0) = 7
retraso a través de una longitud de 1.093 cm de línea para serφ 0 = √. 53, encontramos la fase ε mi( 0)k 0 = 360 ◦. los
La constante dieléctrica efectiva a 10 GHz es 8.120 (CAD), con una
retardo de fase deφ 10 = √ ε mi( 10 GHz)k 0 = 374 ◦ —Un error de aproximadamente 14 ◦. ■
3.9 LA TÉCNICA DE RESONANCIA TRANSVERSA
De acuerdo con las soluciones generales de las ecuaciones de Maxwell para ondas TE o TM dadas en la Sección 3.1, una estructura de guía de ondas uniforme siempre tiene una constante de propagación de la forma
β = k 2 - k 2 c = k 2 - k 2 X - k 2 y, ( 3.205)
dóndek c = k 2
función fija de la geometría de la sección transversal de la guía. Por lo tanto, si sabemosk C podemos
Determine la constante de propagación de la guía. En secciones anteriores determinamosk C
resolviendo la ecuación de onda en la guía, sujeto a las condiciones de contorno adecuadas.
Aunque esta técnica es muy poderosa y general, puede resultar complicada para guías de ondas complejas, especialmente si están presentes capas dieléctricas. Además, la solución de la ecuación de onda proporciona una descripción completa del campo dentro de la guía de ondas, que a menudo es más información de la que realmente necesitamos si solo estamos interesados en
la constante de propagación de la guía. lostécnica de resonancia transversal emplea un modelo de línea de transmisión de la
sección transversal de la guía de ondas y ofrece una solución mucho más simple y directa para la frecuencia de corte. Este es otro ejemplo en el que la teoría de circuitos y líneas de transmisión ofrece una alternativa simplificada a una solución de teoría de campo.
El procedimiento de resonancia transversal se basa en el hecho de que en una guía de ondas en el punto de corte, los campos forman ondas estacionarias en el plano transversal de la guía, como se puede inferir de la interpretación de la “onda plana de rebote” de los modos de guía de ondas discutida en la Sección 3.2. Esta situación puede modelarse con un circuito de línea de transmisión equivalente funcionando en resonancia. Una de las condiciones de una línea tan resonante es el hecho de que, en cualquier punto de la línea, la suma de las impedancias de entrada vistas mirando hacia ambos lados debe ser cero. Es decir,
x + k 2 y es el número de onda de corte de la guía y, para un modo dado, es un
Z ren( x) + Z en( x) = 0 para todosX, ( 3.206)
dóndeZ r en( X) yZ en( X) son las impedancias de entrada vistas mirando hacia la derecha y hacia la izquierda,
respectivamente, en cualquier puntoX en la línea resonante.
La técnica de resonancia transversal solo da resultados para la frecuencia de corte de la guía. Si se necesitan
campos o atenuación debido a la pérdida del conductor, se requerirá la solución completa de la teoría de campos. El
procedimiento se ilustrará ahora con un ejemplo.
TE 0 norte Modos de una guía de ondas rectangular parcialmente cargada La técnica de resonancia transversal es particularmente útil cuando la guía contiene capas dieléctricas porque las condiciones de contorno en las interfaces dieléctricas, que requieren la solución de ecuaciones algebraicas simultáneas en el enfoque de la teoría de campo, pueden manejarse fácilmente como uniones de diferentes líneas de transmisión. Como ejemplo, considere una guía de ondas rectangular parcialmente llena de dieléctrico, como se muestra en la figura 3.28. Para encontrar el corte frecuencias para el TE 0 norte modos, se puede utilizar el circuito de resonancia transversal equivalente que se muestra en la
figura. La línea para 0 <y <t representa la parte llena de dieléctrico de la guía
154 Capítulo 3: Líneas de transmisión y guías de ondas
y y
segundo segundo (Aire) t (Dieléctrico) 0
0 k^ ya^ Z^ un t 0
r 0^ k^ yarda,^ Z^ re un X
FIGURA 3.28 Una guía de ondas rectangular parcialmente llena de dieléctrico y el circuito equivalente de resonancia transversal.
y tiene una constante de propagación transversalk yarda y una impedancia característica para los modos TE dada por
Z d = k η = k 0 η 0 , ( 3.207a) k yarda k yarda
dóndek 0 = √ ω μ 0 ε 0 yη 0 = μ 0 / ε 0. port <y <b, la guía está llena de aire y tiene un
constante de propagación transversalk ya y una impedancia característica equivalente dada por
Z a = k 0 η 0 k ya
. ( 3.207b)
Al aplicar la condición (3.206) se obtiene
k ya broncearsek yarda t + k yarda broncearsek ya segundo -t) = 0.
Esta ecuación contiene dos incógnitas,k ya yk yd. Se obtiene una ecuación adicional del hecho de que la constante de
propagación longitudinal,β, debe ser el mismo en ambas regiones para
interfaz ctric. Así, conk x = 0,
( 3.208)
coincidencia de fase de la tangencial √ campos en el diele √
β = ε r k 2 0 - k 2 yd = k 0 - k 22 ya
o
ε r k 20 - k 2 yd = k 2 0 - k 2 ya. ( 3.209)
Las ecuaciones (3.208) y (3.209) se pueden resolver (numérica o gráficamente) para obtenerk yarda
yk ya. Habrá un número infinito de soluciones, correspondientes a lanorte dependencia (número de variaciones eny)
del TE 0 norte modo.
3.10 VELOCIDADES DE ONDA Y DISPERSIÓN
Hasta ahora hemos encontrado dos tipos de velocidades relacionadas con la propagación de ondas electromagnéticas:
La velocidad de la luz en un medio (1 /με)
La velocidad de fase (v p = ω / β)
La velocidad de la luz en un medio es la velocidad a la que se propagaría una onda plana en ese medio, mientras que la velocidad de fase es la velocidad a la que viaja un punto de fase constante. Para una onda plana TEM, estas dos velocidades son idénticas, pero para otros tipos de propagación de ondas guiadas, la velocidad de fase puede ser mayor o menor que la velocidad de la luz.
156 Capítulo 3: Líneas de transmisión y guías de ondas
Si |Z ( ω) | = UN es una constante y la faseψ deZ ( ω) es una función lineal deω, decirψ = un ω,
la salida se puede expresar como ∫ ∞
f (t)
o^ = 1^ AF ( ω) mi^ j ω ( t -un)^ re ω = A f (t -un),
( 3.214)
que se considera una réplica def (t), ea función de transferencia de la formaZ ( ω) = Ae j ω un no distorsiona la señal de entrada. Una onda TEM sin pérdidas tiene una constante de propagaciónβ = ω / C, que es de esta forma, por lo que una línea TEM es
sin dispersión y no produce distorsión de la señal. Sin embargo, si la línea TEM tiene pérdidas, la atenuación puede ser una función de la frecuencia, lo que podría provocar una distorsión de la señal.
xcepto - para un factor de amplitudUN y cambio de tiempoa. Así,
Ahora considere una señal de entrada de banda estrecha de la {forma
s (t) = f (t) porqueω t = Ref (t) e j ω o t,
0 ( 3.215)
que representa una onda portadora de frecuencia modulada en amplitudω o. Suponga que el
componente de frecuencia más alta def (t) esω metro, dóndeω metro ω o. La transformada de Fourier,S ( ω), deS t), es
S ( ω) = f (t) e - j ω o t mi j ω t dt = F ( ω -ω o), −∞
( 3.216)
donde hemos utilizado la forma compleja de la señal de entrada como se expresa en (3.215). Necesitaremos tomar la parte real de la transformada inversa de salida para obtener la señal de salida en el dominio del tiempo. Los espectros deF( ω) yS ( ω) se muestran en la Figura 3.30. El espectro de la señal de salida es
S ( ω) = AF ( ω - o ω) mi - j β z,o ( 3.217)
y en el dominio del tiempo,
s o ( t) = 1
Re ∫ −∞
Re
S o ( ω) mi j ω t^ re ω
ω o + ω metro^ ( 3.218) AF ( ω -ω) mi j ( ω t -β z) re ω.
En general, la constante de propagaciónβ puede ser una función complicada deω. Sin embargo, SiF( ω) es de banda estrechaω metro ω o), luegoβ a menudo se puede linealizar utilizando una serie de Taylor
expansión sobreω o:
o ω o - ω metro
re β ∣∣∣
1 re 2 β ∣∣∣
β (ω) = β (ω o) + (ω -ω o) + (ω -ω) 2 + · · ·. ( 3.219)
re ω ω = ω o 2 re ω ω = ω^2 o o
F () S ()
metro - o 0 (segundo)
o
FIGURA 3.30 Espectros de Fourier de las señales (a)f (t) y B)S t).
3.11 Resumen de líneas de transmisión y guías de ondas 157
La retención de los dos primeros términos da
β (ω) β o + β ′ o ( ω -ω o), ( 3.220)
dónde
β o = β (ω ∣ o),
β ′ o = re β ∣∣∣. re ω ω = ω o
Después de un cambio de variables ay = { ω -ω o, la ∫ expresión paras o ( t) se convierte en
F
s o ( t) = A ( S.M j (t -β ′
=UN Ref (t -β ′
=A f (t -β ′ o z) porqueω o t -β o z),
que es una réplica desplazada en el tiempo de la envolvente de modulación original,f (t), de (3,215). los
ω metro^ }
Remi j ( ω o t -β o z)^ o^ z) y^ dy
o z) e j ( ω o t -β o z)
La velocidad de esta envolvente es la velocidad del grupo ( ityv gramo):
re ω
v g = 1 =re β
- 1 ∣∣∣∣ . ( 3.222) β ′ o ω = ω o
EJEMPLO 3.9 VELOCIDADES DE ONDA DE GUÍA DE ONDA
Calcule la velocidad de grupo para un modo de guía de ondas que se propaga en una guía llena de aire. Compare esta velocidad con la velocidad de fase y la velocidad de la luz.
Solución
La constante de propagación para √ un modo en un √ la guía de ondas llena de aire es
β = k 2 0 - k 2 c = ( ω / C) 2 - k 2 C.
Tomando la derivada con respecto a la frecuencia da
re β = √ω / C 2
(ω / C) 2 - k 2
=k o
re ω
,
C^ C β
entonces de (3.234) la velocidad del grupo ( es
) - 1 = C β
v g = re β. re ω
La velocidad de fase esv p = ω / β = ck 0 / β. Ya queβ < k 0, tenemos esov g <
c < v pags, lo que indica que la velocidad de fase de un modo de guía de ondas puede ser mayor que la
velocidad de la luz, pero la velocidad del grupo (la velocidad de un
señal de banda) será menor que la velocidad de la luz.
k 0
3.11 RESUMEN DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN Y GUÍAS DE ONDAS
Hemos discutido una variedad de líneas de transmisión y guías de ondas en este capítulo, y aquí resumiremos
algunas de las propiedades básicas de estos medios de transmisión y sus ventajas relativas en un contexto más
amplio.
3.11 Resumen de líneas de transmisión y guías de ondas 159
r 2 r 1
FIGURA 3.32 Geometría de guía de ondas dieléctrica.
la cresta puede afilarse a lo largo de la guía. Sin embargo, la presencia de la cresta reduce la capacidad de manejo
de potencia de la guía de ondas.
Guía de ondas dieléctricas: Como hemos visto en nuestro estudio de ondas superficiales, los conductores metálicos no son necesarios para confinar y soportar un campo electromagnético en propagación. los La guía de ondas dieléctrica que se muestra en la Figura 3.32 es otro ejemplo de dicha guía, dondeε r 2,
la constante dieléctrica de la cresta, suele ser mayor queε r 1, la constante dieléctrica del sustrato. Por lo tanto, los
campos se limitan principalmente a la cresta y el área circundante.
Este tipo de guía admite los modos TM y TE, y es conveniente para la miniaturización y la integración con dispositivos activos. Su pequeño tamaño lo hace útil para ondas milimétricas a frecuencias ópticas, aunque puede tener muchas pérdidas en las curvas o uniones en la línea de la cresta. Son posibles muchas variaciones en esta geometría básica.
Slotline: Slotline es otro de los muchos tipos posibles de líneas de transmisión planas. La geometría de una línea de ranura se
muestra en la Figura 3.33. Consiste en una ranura delgada en el plano de tierra en un lado de un sustrato dieléctrico. Así, al igual que la línea de microbanda, los dos conductores de la línea de ranura conducen a un tipo de modo cuasi-TEM. El ancho de la ranura controla la impedancia característica de la línea.
Guía de ondas coplanar: La guía de ondas coplanar, que se muestra en la Figura 3.34, es similar a la línea de ranura y
puede verse como una línea de ranura con un tercer conductor centrado en la región de la ranura. Debido a la presencia de este conductor adicional, este tipo de línea puede soportar modos cuasi-TEM pares o impares, dependiendo de si los campos eléctricos en las dos ranuras están en la dirección opuesta o en la misma dirección. Las guías de ondas coplanarias son particularmente útiles para fabricar circuitos activos debido a la presencia del conductor central y la proximidad cercana de los planos de tierra.
Microcinta cubierta: Son posibles muchas variaciones de la geometría básica de la línea de microcinta, pero una de las más comunes es la microcinta cubierta, que se muestra en la Figura 3.35. La placa de cubierta metálica se usa a menudo para blindaje eléctrico y protección física de los circuitos de microbanda y generalmente se encuentra a varios espesores de sustrato lejos del circuito. Sin embargo, su presencia puede perturbar el funcionamiento del circuito lo suficiente como para que su efecto deba tenerse en cuenta durante el diseño.
r
FIGURA 3.33 Geometría de una ranura impresa.
160 Capítulo 3: Líneas de transmisión y guías de ondas
r FIGURA 3.34 Geometría de guía de ondas coplanar.
PUNTO DE INTERÉS: Capacidad de potencia de las líneas de transmisión La capacidad de manejo de potencia de una línea de transmisión o guía de ondas llena de aire suele ser limitada. por ruptura de voltaje, que ocurre a una fuerza de campo de aproximadamentemi d = 3 × 10 6 V / m para aire a temperatura ambiente a presión al nivel del mar. Los efectos térmicos también pueden servir para limitar la capacidad de potencia de algunos tipos de líneas. En una línea coaxial llena de aire el campo eléctrico varía comomi ρ = V o / ( ρ enlicenciado en Letras), que tiene un máximo enρ = un ( en el conductor interno). Por lo tanto, el voltaje máximo antes de la ruptura es
segundo un V max = mi re un en (pico a pico),
y la capacidad de potencia máxima es entonces
PAGS max = V 2 max =^ π un^2 mi^2 η 0
re ln. un
segundo 2 Z 0 Como era de esperar, este resultado muestra que la capacidad de potencia se puede aumentar utilizando un cable coaxial más grande (mayora, b con fijolicenciado en Letras para la misma impedancia característica). Sin embargo, la propagación de modos de orden superior limita la frecuencia operativa máxima para un tamaño de cable determinado. Por lo tanto, existe un límite superior en la capacidad de potencia de una línea coaxial para un máximo dado frecuencia de operación,F max, que se puede demostrar que está dado por ( ) (^) 2 = 5.8 × 10 12 ) (^2) cE re
PAGS max = 0, mi re . η 0 F max F max
Por ejemplo, a 10 GHz, la capacidad máxima de potencia pico de cualquier línea coaxial sin modos de orden superior es de aproximadamente 520 kW. En una guía de ondas rectangular llena de aire, el campo eléctrico varía comomi y = mi o pecado(π x / a), cual
tiene un valor máximo demi o ax = a / 2 (la mitad de la guía). Por tanto, la capacidad de potencia máxima antes de la avería
es
PAGS max = abE 2 4 Z w lo que muestra que la capacidad de potencia aumenta con el tamaño de la guía. Para la mayoría de las guías de ondas estándar, segundo 2 a. Para evitar la propagación del TE 20 modo que debemos tenera <c / f max, dóndeF max es el
o = abE 2 4 Z w
d,
r
FIGURA 3.35 Línea de microcinta cubierta.
