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METAS DE
APRENDIZAJE
Al estudiar este capítulo, usted aprenderá:
- Qué significa que una fuerza efectúe trabajo sobre un cuerpo, y cómo calcular la cantidad de trabajo realizada.
- La definición de energía cinética (energía de movimiento) de un cuerpo, y lo que significa físicamente.
- Cómo el trabajo total efectuado sobre un cuerpo cambia la energía cinética del cuerpo, y cómo utilizar este principio para resolver problemas de mecánica.
- Cómo usar la relación entre trabajo total y cambio de energía cinética, cuando las fuerzas no son constantes y el cuerpo sigue una trayectoria curva, o ambas situaciones.
- Cómo resolver problemas que implican potencia (tasa para efectuar trabajo).
TRABAJO Y ENERGÍA
CINÉTICA
?Cuando una arma
de fuego se dispara,
los gases que se
expanden en el cañón
empujan el proyectil
hacia afuera, de acuerdo
con la tercera ley de
Newton, el proyectil
ejerce tanta fuerza
sobre los gases, como
éstos ejercen sobre
aquél. ¿Sería correcto
decir que el proyectil
efectúa trabajo sobre
los gases?
S
uponga que trata de calcular la rapidez de una flecha disparada con un arco.
Aplica las leyes de Newton y todas las técnicas de resolución de problemas
que hemos aprendido, pero se encuentra un obstáculo importante: después de
que el arquero suelta la flecha, la cuerda del arco ejerce una fuerza variable que
depende de la posición de la flecha. Por ello, los métodos sencillos que aprendimos
no bastan para calcular la rapidez. No debe temer; nos falta mucho para acabar con
la mecánica, y hay otros métodos para manejar esta clase de problemas.
El nuevo método que vamos a presentar usa las ideas de trabajo y energía. La im-
portancia del concepto de energía surge del principio de conservación de la energía :
la energía es una cantidad que se puede convertir de una forma a otra, pero no pue-
de crearse ni destruirse. En un motor de automóvil, la energía química almacenada
en el combustible se convierte parcialmente en la energía del movimiento del auto, y
parcialmente en energía térmica. En un horno de microondas, la energía electromag-
nética obtenida de la compañía de electricidad se convierte en energía térmica en
el alimento cocido. En éstos y todos los demás procesos, la energía total —es la su-
ma de toda la energía presente en diferentes formas— no cambia. Todavía no se ha
hallado ninguna excepción.
Usaremos el concepto de energía en el resto del libro para estudiar una amplísima
gama de fenómenos físicos. La energía nos ayudará a entender por qué un abrigo nos
mantiene calientes, cómo el flash de una cámara produce un destello de luz, y el sig-
nificado de la famosa ecuación de Einstein E 5 mc^2.
En este capítulo, no obstante, nos concentraremos en la mecánica. Conoceremos
una importante forma de energía, la energía cinética o la energía de movimiento, y su
relación con el concepto de trabajo. También consideraremos la potencia , que es la
rapidez con que se realiza trabajo. En el capítulo 7 ampliaremos las ideas de trabajo
y energía cinética, para comprender más a fondo los conceptos de energía y conser-
vación de la energía.
182 C APÍT U LO 6 Trabajo y energía cinética
6.1 Estos hombres realizan trabajo con-
forme empujan sobre el vehículo averiado,
porque ejercen una fuerza sobre el auto al
moverlo.
F
x s
Si un cuerpo se mueve con un desplazamiento s mientras una fuerza constante F actúa sobre él en la misma dirección ...
... el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo es W 5 Fs.
S
S
S
S
6.2 El trabajo realizado por una fuerza
constante que actúa en la misma dirección
que el desplazamiento.
6.1 Trabajo
Seguramente usted estará de acuerdo en que cuesta trabajo mover un sofá pesado, le-
vantar una pila de libros del piso hasta colocarla en un estante alto, o empujar un au-
tomóvil averiado para retirarlo de la carretera. Todos estos ejemplos concuerdan con
el significado cotidiano de trabajo : cualquier actividad que requiere esfuerzo muscu-
lar o mental.
En física el trabajo tiene una definición mucho más precisa. Al utilizar esa defini-
ción, descubriremos que, en cualquier movimiento, por complicado que sea, el traba-
jo total realizado sobre una partícula por todas las fuerzas que actúan sobre ella es
igual al cambio en su energía cinética : una cantidad relacionada con la rapidez de la
partícula. Esta relación se cumple aún cuando dichas fuerzas no sean constantes, que
es una situación que puede ser difícil o imposible de manejar con las técnicas que es-
tudiamos en los capítulos 4 y 5. Los conceptos de trabajo y energía cinética nos per-
mitirán resolver problemas de mecánica que no podríamos haber abordado antes.
En esta sección aprenderemos cómo se define el trabajo y cómo se calcula en diver-
sas situaciones que implican fuerzas constantes. Aunque ya sabemos cómo resolver
problemas donde las fuerzas son constantes, el concepto de trabajo nos resultará útil.
Más adelante en este capítulo deduciremos la relación entre trabajo y energía cinética,
y la aplicaremos después en problemas donde las fuerzas no son constantes.
Los tres ejemplos de trabajo antes mencionados —mover un sofá, levantar una pi-
la libros y empujar un automóvil— tienen algo en común. En ellos realizamos trabajo
ejerciendo una fuerza sobre un cuerpo mientras éste se mueve de un lugar a otro, es
decir, sufre un desplazamiento (figura 6.1). Efectuamos más trabajo si la fuerza
es mayor (empujamos más fuerte el auto) o si el desplazamiento es mayor (lo empu-
jamos una mayor distancia).
El físico define el trabajo con base en estas observaciones. Considere un cuerpo que
sufre un desplazamiento de magnitud s en línea recta. (Por ahora, supondremos que to-
do cuerpo puede tratarse como partícula y despreciaremos cualquier rotación o cambio
en la forma del cuerpo.) Mientras el cuerpo se mueve, una fuerza constante actúa
sobre él en la dirección del desplazamiento (figura 6.2). Definimos el trabajo W rea-
lizado por esta fuerza constante en dichas condiciones como el producto de la magni-
tud F de la fuerza y la magnitud s del desplazamiento:
(fuerza constante en dirección del desplazamiento rectilíneo) (6.1)
El trabajo efectuado sobre el cuerpo es mayor si la fuerza F o el desplazamiento s son
mayores, lo que coincide con nuestras observaciones anteriores.
CU I DADO (^) Trabajo 5 W , peso 5 w No confunda W (trabajo) con w (peso). Si bien los símbolos son casi iguales, se trata de cantidades distintas. ❚
La unidad de trabajo en el SI es el joule (que se abrevia J y se pronuncia “yul”,
nombrada así en honor del físico inglés del siglo XIX James Prescott Joule). Por la
ecuación (6.1), vemos que, en cualquier sistema de unidades, la unidad de trabajo es
la unidad de fuerza multiplicada por la unidad de distancia. En el SI la unidad de fuer-
za es el newton y la unidad de distancia es el metro, así que 1 joule equivale a un new-
ton-metro
En el sistema británico, la unidad de fuerza es la libra (Ib), la unidad de distancia es el
pie (ft), y la unidad de trabajo es el pie-libra Estas conversiones son útiles:
Como ilustración de la ecuación (6.1), pensemos en una persona que empuja un
automóvil averiado. Si lo empuja a lo largo de un desplazamiento con una fuerza
constante en la dirección del movimiento, la cantidad de trabajo que efectúa sobre
el auto está dada por la ecuación (6.1): W 5 Fs. Sin embargo, ¿y si la persona hubie-
ra empujado con un ángulo f con respecto al desplazamiento del auto (figura 6.3)?
Entonces tiene una componente en la dirección del desplazamiento y
una componente que actúa perpendicular al desplazamiento. (Otras
fuerzas deben actuar sobre el automóvil para que se mueva en la dirección de s no
S
F ' 5 F sen f
F F i 5 F cos f
S
F
S
S s
1 J 5 0.7376 ft #^ lb 1 ft #^ lb 5 1.356 J
1 ft #^ lb 2.
1 joule 5 1 1 newton 2 1 1 metro 2 o bien 1 J 5 1 N #^ m
(^1) N #^ m 2 :
W 5 Fs
s
S
F
S
184 C APÍT U LO 6 Trabajo y energía cinética
F
S
... pero como la barra está estacionaria (su desplazamiento es cero), no realiza trabajo sobre ella.
El halterófilo ejerce una fuerza hacia arriba sobre la barra ...
6.5 Un halterófilo no realiza trabajo sobre
una barra si la mantiene estacionaria.
Si la fuerza tiene una componente en la misma dirección que el desplazamiento (f entre
0 y 90 8 ), cos f en la ecuación (6.2) es positivo y el trabajo W es positivo (figura 6.4a).
Si la fuerza tiene una componente opuesta al desplazamiento (f entre 90 y 180 8 ), cos f
es negativo y el trabajo es negativo (figura 6.4b). Si la fuerza es perpendicular al des-
plazamiento, f 5 908 y el trabajo realizado por la fuerza es cero (figura 6.4c). Los casos
de trabajo cero y negativo ameritan mayor estudio; veamos algunos ejemplos.
Hay muchas situaciones donde actúan fuerzas pero no realizan trabajo. Quizás us-
ted piense que “cuesta trabajo” sostener una barra de halterofilia inmóvil en el aire
durante cinco minutos (figura 6.5); pero en realidad no se está realizando trabajo so-
bre la barra porque no hay desplazamiento. Nos cansamos porque las componentes de
las fibras musculares de los brazos realizan trabajo al contraerse y relajarse continua-
mente. Sin embargo, se trata de trabajo efectuado por una parte del brazo que ejerce
fuerza sobre otra, no sobre la barra. (En la sección 6.2 hablaremos más del trabajo
realizado por una parte de un cuerpo sobre otra.) Aun si usted camina con velocidad
constante por un piso horizontal llevando un libro, no realiza trabajo sobre éste. El
libro tiene un desplazamiento, pero la fuerza de soporte (vertical) que usted ejerce
sobre el libro no tiene componente en la dirección (horizontal) del movimiento:
f 5 908 en la ecuación (6.2) y cos f 5 0. Si un cuerpo se desliza por una superficie,
el trabajo realizado sobre él por la fuerza normal es cero; y cuando una pelota atada
a un cordón se pone en movimiento circular uniforme, el trabajo realizado sobre
ella por la tensión en el cordón es cero. En ambos casos, el trabajo es cero porque
la fuerza no tiene componente en la dirección del movimiento.
¿Qué significa realmente realizar trabajo negativo? La respuesta está en la tercera
ley de Newton del movimiento. Cuando un halterófilo (levantador de pesas) baja
una barra como en la figura 6.6a, sus manos y la barra se mueven juntas con el
mismo desplazamiento La barra ejerce una fuerza barra sobre manos sobre sus ma-
nos en la misma dirección que el desplazamiento de éstas, así que el trabajo realizado
por la barra sobre sus manos es positivo (figura 6.6b). Sin embargo, por la tercera ley
de Newton, las manos del halterófilo ejerce una fuerza igual y opuesta manos sobre barra
5 2 barra sobre manos sobre la barra (figura 6.6c). Esta fuerza, que evita que la barra se
estrelle contra el piso, actúa opuesta al desplazamiento de la barra. Por lo tanto, el tra-
bajo realizado por sus manos sobre la barra es negativo. Puesto que las manos del
halterófilo y la barra tienen el mismo desplazamiento, el trabajo realizado por sus ma-
nos sobre la barra es justo el negativo del realizado por la barra sobre sus manos. En
general, cuando un cuerpo realiza trabajo negativo sobre otro cuerpo, éste realiza una
cantidad igual de trabajo positivo sobre el primero.
CU I DADO Tenga presente quién hace el trabajo Siempre hablamos de trabajo realiza- do sobre un cuerpo específico por una fuerza determinada. Nunca olvide especificar exactamen-
F
S F
S
F
S
s
S
F
F
s
c)
f 5 908
La fuerza es perpendicular a la dirección del desplazamiento:
- La fuerza no realiza trabajo sobre el objeto.
- De forma más general, cuando una fuerza que actúa sobre un objeto tiene una componente F ' perpendicular al desplazamiento del objeto, dicha componente no efectúa trabajo sobre el objeto.
S S
S
F F
s
a)
f f
F '
F i 5 F cos f
La fuerza tiene una componente en la dirección del desplazamiento:
- El trabajo sobre el objeto es positivo.
- W 5 F i s 5 1 F cos f 2 s
S S
S
F^ F
s
b)
f
f
F '
F i 5 F cos f
La fuerza tiene una componente opuesta a la dirección del desplazamiento:
- El trabajo sobre el objeto es negativo.
- W 5 F i s 5 1 F cos f 2 s
- Matemáticamente, W , 0 porque F cos f es negativo para 90 8 , f , 2708.
S^ S
S
6.4 Una fuerza constante puede efectuar trabajo positivo, negativo o cero, dependiendo del ángulo entre y el desplazamiento s
S
F.
S
F
S
?
6.1 Trabajo 185
b) La barra efectúa trabajo positivo sobre las manos del halterófilo.
La fuerza de la barra sobre las manos del halterófilo tiene la misma dirección que el desplazamiento de las manos.
F barra sobre manos
S s^ S
c) Las manos del halterófilo realizan trabajo negativo sobre la barra.
La fuerza de las manos del halterófilo sobre la barra es opuesta al desplazamiento de la barra.
F manos sobre barra
S
s^ S
a) Un halterófilo baja una barra al piso.
s^ S
6.6 Las manos de este halterófilo efectúan trabajo negativo sobre la barra, mientras que la barra realiza trabajo positivo sobre sus manos.
te qué fuerza realiza el trabajo en cuestión. Si levantamos un libro, ejercemos una fuerza hacia arriba sobre el libro y el desplazamiento de éste es hacia arriba, así que el trabajo realizado por la fuerza de levantamiento sobre el libro es positivo. En cambio, el trabajo realizado por la fuer- za gravitacional (peso) sobre el libro que se levanta es negativo , porque tal fuerza es opuesta al desplazamiento hacia arriba. ❚
Trabajo total
¿Cómo calculamos el trabajo cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo? Pode-
mos usar las ecuaciones (6.2) o (6.3) para calcular el trabajo realizado por cada fuerza
individual. Puesto que el trabajo es una cantidad escalar, el trabajo total W tot realiza-
do por todas las fuerzas sobre el cuerpo es la suma algebraica de los trabajos reali-
zados por las fuerzas individuales. Otra forma de calcular W tot es calcular la suma
vectorial de las fuerzas (es decir, la fuerza neta) y usarla en vez de en la ecuación
(6.2) o en la (6.3). El siguiente ejemplo ilustra ambas técnicas.
F
S
Ejemplo 6.2 (^) Trabajo realizado por varias fuerzas
Un granjero engancha su tractor a un trineo cargado con leña y lo arrastra 20 m sobre el suelo horizontal (figura 6.7a). El peso total del trineo y la carga es de 14,700 N. El tractor ejerce una fuerza constante de 5000 N a 36.9 8 sobre la horizontal, como se indica en la figura 6.7b. Una fuerza de fricción de 3500 N se opone al movimiento del trineo. Calcule el trabajo realizado por cada fuerza que actúa sobre el trineo y el trabajo total de todas las fuerzas.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Todas las fuerzas son constantes y el desplazamiento es rectilíneo, de manera que podemos calcular el trabajo empleando los conceptos usados en esta sección. Obtendremos el trabajo total de dos maneras: 1. sumando los trabajos efectuados por cada fuerza sobre el trineo, y 2. calculando el trabajo efectuado por la fuerza neta que ac- túa sobre el trineo.
PLANTEAR: Puesto que estamos trabajando con fuerzas, los primeros pasos son dibujar un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre el trineo, y elegir un sistema de coordenadas (figura 6.7b). Conocemos el ángulo entre el desplazamiento (en la di- rección 1 x ) y cada una de las cuatro fuerzas: peso, fuerza normal, fuerza del tractor y fuerza de fricción. Por lo tanto, con la ecuación (6.2) calculamos el trabajo realizado por cada fuerza. Como vimos en el capítulo 5, para obtener la fuerza neta sumamos las componentes de las cuatro fuerzas. La segunda ley de Newton nos dice que, como el movimiento del trineo es exclusivamente horizontal, la fuerza neta sólo tiene una componente horizontal.
EJECUTAR: El trabajo W (^) w realizado por el peso es cero, porque su dirección es perpendicular al desplazamiento. (compare esto con la figura 6.4c) Lo mismo sucede con la fuerza normal, el trabajo W (^) n
a)
b) Diagrama de cuerpo libre para el trineo
f
6.7 Cálculo del trabajo realizado sobre un trineo de leña que es
arrastrado por un tractor.
continúa
6.2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía 187
Fuerza neta F
S
S
Rapidez v 1
x 1 x 2
Rapidez v 2 m m
s
x
6.9 Una fuerza neta constante efectúa
trabajo sobre un cuerpo en movimiento.
F
S
muestra tres ejemplos de un bloque que se desliza sobre una mesa sin fricción. Las
fuerzas que actúan sobre el bloque son su peso 1a fuerza normal y la fuerza
ejercida por la mano.
En la figura 6.8a, la fuerza neta sobre el bloque es en la dirección de su movi-
miento. Por la segunda ley de Newton, ello significa que el bloque se acelera; la
ecuación (6.1) nos indica también que el trabajo total W tot efectuado sobre el bloque
es positivo. El trabajo total es negativo en la figura 6.8b porque la fuerza neta se
opone al desplazamiento; aquí el bloque se frena. La fuerza neta es cero en la figura
6.8c, así que la rapidez del bloque no cambia y el trabajo total efectuado sobre él
es cero. Podemos concluir que, si una partícula se desplaza, se acelera si W tot. 0,
se frena si W tot , 0 y mantiene su rapidez si W tot 5 0.
Hagamos más cuantitativas tales observaciones. Considere una partícula con ma-
sa m que se mueve en el eje x bajo la acción de una fuerza neta constante de magni-
tud F dirigida hacia el eje 1 x (figura 6.9). La aceleración de la partícula es constante
y está dada por la segunda ley de Newton, F 5 ma x. Suponga que la rapidez cambia
de v 1 a v 2 mientras la partícula sufre un desplazamiento s 5 x 2 2 x 1 del punto x 1 al x 2.
Usando una ecuación de aceleración constante, ecuación (2.13), y sustituyendo v 0 x
por v 1 , vx por v 2 y ( x 2 x 0 ) por s , tenemos
Al multiplicar esta ecuación por m y sustituir ma x por la fuerza neta F , obtenemos
y
El producto Fs es el trabajo efectuado por la fuerza neta F y, por lo tanto, es igual al
trabajo total W tot efectuado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Llama-
mos a la cantidad la energía cinética K de la partícula (definición de energía
cinética):
(definición de energía cinética) (6.5)
Igual que el trabajo, la energía cinética de una partícula es una cantidad escalar;
sólo depende de la masa y la rapidez de la partícula, no de su dirección de movimien-
to. Un automóvil (visto como partícula) tiene la misma energía cinética yendo al
norte a 10 m/s que yendo al este a 10 m/s. La energía cinética nunca puede ser nega-
tiva, y es cero sólo si la partícula está en reposo.
Ahora podemos interpretar la ecuación (6.4) en términos de trabajo y energía ciné-
tica. El primer término del miembro derecho de la ecuación (6.4) es la
energía cinética final de la partícula (es decir, después del desplazamiento). El segun-
do término es la energía cinética inicial, y la diferencia entre estos tér-
minos es el cambio de energía cinética. Así, la ecuación (6.4) dice:
El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de energía cinética de la partícula:
(teorema trabajo-energía) (6.6)
Éste es el resultado del teorema trabajo-energía.
W tot 5 K 2 2 K 1 5 D K
K 1 5 12 mv 12 ,
K 2 5 12 mv 22 ,
K 5
mv^2
1
2 mv
2
Fs 5
mv 22 2
mv 12
F 5 max 5 m
v 22 2 v 12
2 s
ax 5
v 22 2 v 12
2 s
v 22 5 v 12 1 2 ax s
F
S
w^ S, n^ S
m
m
v^ S v^ S
La misma masa, la misma rapidez, direcciones de movimiento diferentes: la misma energía cinética. m 2 m v^ S^ v^ S
El doble de masa, la misma rapidez: el doble de energía cinética. m m v^ S^2 v^ S
La misma masa, el doble de rapidez: el cuádruple de energía cinética.
6.10 Comparación entre la energía cinéti-
ca K 5 12 mv^2 de cuerpos distintos.
188 C APÍT U LO 6 Trabajo y energía cinética
El teorema trabajo-energía concuerda con nuestras observaciones acerca del blo-
que de la figura 6.8. Si W tot es positivo , la energía cinética aumenta (la energía cinéti-
ca final K 2 es mayor que la energía cinética inicial K 1 ) y la partícula tiene mayor
rapidez al final del desplazamiento que al principio. Si W tot es negativa , la energía ci-
nética disminuye ( K 2 es menor que K 1 ) y la rapidez es menor después del desplaza-
miento. Si W tot 5 0, la energía cinética permanece igual ( K 1 5 K 2 ) y la rapidez no
cambia. Observe que el teorema trabajo-energía sólo indica cambios en la rapidez ,
no en la velocidad, pues la energía cinética no depende de la dirección del movimiento.
Por la ecuación (6.4) o la (6.6), la energía cinética y el trabajo deben tener las mis-
mas unidades. Por lo tanto, el joule es la unidad del SI tanto del trabajo como de la
energía cinética (y, como veremos, de todos los tipos de energía). Para verificarlo, ob-
serve que la cantidad tiene unidades de o recorda-
mos que así que
En el sistema británico, la unidad de energía cinética y trabajo es
Puesto que usamos las leyes de Newton para deducir el teorema trabajo-energía,
sólo podemos usarlo en un marco de referencia inercial. Además, observe que el
teorema es válido en cualquier marco inercial; sin embargo, los valores de W tot y
K 2 2 K 1 podrían diferir de un marco inercial a otro (porque el desplazamiento y la
rapidez de un cuerpo pueden ser diferentes en diferentes marcos).
Dedujimos el teorema trabajo-energía para el caso especial de movimiento rec-
tilíneo con fuerzas constantes, y en los siguientes ejemplos sólo lo aplicaremos a
ese caso especial. En la siguiente sección veremos que el teorema es válido en ge-
neral, aun si las fuerzas no son constantes y la trayectoria de la partícula es curva.
1 ft #^ lb 5 1 ft #^ slug #^ ft/s^2 5 1 slug #^ ft^2 /s^2
1 J 5 1 N #^ m 5 1 1 kg #^ m/s^2 2 #^ m 5 1 kg #^ m^2 /s^2
1 N 5 1 kg #^ m/s^2 ,
K 5 12 mv^2 kg #^1 m/s 2 2 kg #^ m^2 /s^2 ;
Estrategia para resolver problemas 6.1 (^) Trabajo y energía cinética
IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: El teorema trabajo-energía es extremadamente útil en situaciones donde se desea relacionar la rapidez v 1 de un cuerpo en un punto de su movimiento, con su rapidez v 2 en otro punto. (El enfoque es menos útil en problemas donde in- terviene el tiempo , como determinar cuánto tarda un cuerpo en ir del punto 1 al punto 2. Ello se debe a que en el teorema trabajo-energía no interviene el tiempo. Si es preciso calcular tiempos, suele ser me- jor utilizar las relaciones entre tiempo, posición, velocidad y acelera- ción que describimos en los capítulos 2 y 3.)
PLANTEAR el problema con los pasos siguientes:
- Elija las posiciones inicial y final del cuerpo, y dibuje un diagrama de cuerpo libre con todas las fuerzas que actúan sobre él.
- Elija un sistema de coordenadas. (Si el movimiento es rectilíneo, lo más fácil suele ser que las posiciones tanto inicial como final estén sobre el eje x .)
- Elabore una lista de las cantidades conocidas y desconocidas, y de- cida cuáles son las incógnitas. En algunos casos, la incógnita será la rapidez inicial o final del cuerpo; en otros, será la magnitud de una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, o sobre el desplaza- miento de éste.
EJECUTAR la solución: Calcule el trabajo W efectuado por cada fuerza. Si la fuerza es constante y el desplazamiento es en línea recta, se puede usar la ecuación (6.2) o la (6.3). (Más adelante en este capí-
tulo veremos cómo manejar fuerzas variables y trayectorias curvas.) Revise el signo del trabajo; W debe ser positivo si la fuerza tiene una componente en la dirección del desplazamiento, negativo si la fuerza tiene una componente opuesta al desplazamiento, y cero si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares. Sume los trabajos realizados por cada fuerza para obtener el tra- bajo total W tot. A veces es más fácil obtener primero la suma vectorial de las fuerzas (la fuerza neta) y luego calcular el trabajo efectuado por la fuerza neta; este valor también es W tot. Escriba expresiones para la energía cinética inicial y final ( K 1 y K 2 ). Tenga presente que en la energía cinética interviene la masa , no el peso ; si le dan el peso del cuerpo, tendrá que usar la relación w 5 mg para calcular la masa. Por último, use W tot 5 K 2 2 K 1 para despejar la incógnita. Re- cuerde que el miembro derecho de esta ecuación es la energía cinética final menos la energía cinética inicial , nunca al revés.
EVALUAR la respuesta: Compruebe que su respuesta sea lógica física- mente. Recuerde sobre todo que la energía cinética nunca puede ser negativa. Si obtiene una K negativa, quizás intercambió las energías inicial y final en W tot 5 K 2 2 K 1 o tuvo un error de signo en uno de los cálculos de trabajo.
K 5 12 mv^2
190 C APÍT U LO 6 Trabajo y energía cinética
6.12 a) Un martinete clava una viga-I en el suelo. b) Diagramas de cuerpo libre. Las longitudes de los vectores no están a escala.
a)
3.00 m
Punto 1
Punto 2
Punto 3
7.4 cm
b) Diagrama de cuerpo libre del martillo que cae
c) Diagrama de cuerpo libre del martillo al clavar la viga-I
y
x v
f 5 60 N
w 5 mg
y
x
w 5 mg
n
f 5 60 N
consideraremos n constante. Así n representa el valor medio de esta fuerza hacia arriba durante el movimiento. La incógnita en esta parte del movimiento es la fuerza que el martillo ejerce sobre la viga-I; es la fuerza de reacción a la fuerza normal ejercida por la viga-I, así que por la tercera ley de Newton su magnitud también es n.
EJECUTAR: a ) Del punto 1 al punto 2, las fuerzas verticales son el pe- so hacia abajo w 5 mg 5 (200 kg) (9.8 m/s 2 ) 5 1960 N hacia abajo, y la fuerza de fricción f 5 60 N hacia arriba. La fuerza neta es entonces w 2 f 5 1900 N. El desplazamiento del martillo del punto 1 al punto 2 es de s l2 5 3.00 m hacia abajo. El trabajo total sobre el martillo al bajar del punto 1 al 2 es, entonces,
En el punto 1, el martillo está en reposo, así que su energía cinética K 1 es cero. De manera que la energía cinética K 2 en el punto 2 es igual al trabajo total realizado sobre el martillo entre los puntos 1 y 2:
Ésta es la rapidez del martillo en el punto 2, justo antes de golpear la viga-I. b ) Mientras el martillo se mueve hacia abajo entre los puntos 2 y 3, la fuerza neta hacia abajo que actúa sobre él es w 2 f 2 n (véase la
v 2 5
Å
2 W tot
m
Å
2 1 5700 J 2
200 kg
5 7.55 m/s
W tot 5 K 2 2 K 1 5 K 2 2 0 5
mv 22 2 0
W tot 5 1 w 2 f 2 s 12 5 1 1900 N 2 1 3.00 m 2 5 5700 J
figura 6.12c). El trabajo total realizado sobre el martillo durante el desplazamiento es
La energía cinética inicial en esta parte del movimiento es K 2 que, del inciso a ), es igual a 5700 J. La energía cinética final es K 3 5 0, porque el martillo se detiene. Entonces, por el teorema trabajo-energía,
La fuerza hacia abajo que el martillo ejerce sobre la viga-I tiene esta misma magnitud, 79,000 N (unas 9 toneladas): más de 40 veces el pe- so del martillo. EVALUAR: El cambio neto en la energía cinética del martillo del punto 1 al punto 3 es cero; una fuerza neta relativamente pequeña efectúa tra- bajo positivo durante una distancia grande, y luego una fuerza neta mucho mayor realiza trabajo negativo en una distancia mucho más corta. Lo mismo sucede si usted acelera un automóvil gradualmente y choca contra una pared. La fuerza tan grande necesaria para reducir la energía cinética a cero en una distancia corta es lo que daña el auto (y quizás a usted).
5 79,000 N
5 1960 N 2 60 N 2
0 J 2 5700 J
0.074 m
n 5 w 2 f 2
K 3 2 K 2
s 23
W tot 5 1 w 2 f 2 n 2 s 23 5 K 3 2 K 2
W tot 5 1 w 2 f 2 n 2 s 23
Significado de la energía cinética
El ejemplo 6.4 ilustra el significado físico de la energía cinética. El martillo se deja
caer del reposo y, al golpear la viga-I, su energía cinética es igual al trabajo total rea-
lizado hasta ese punto por la fuerza neta. Esto se cumple en general: para acelerar
una partícula de masa m desde el reposo (cero energía cinética) hasta una rapidez v ,
6.2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía 191
el trabajo total efectuado sobre ella debe ser igual al cambio de energía cinética des-
de 0 hasta
Así, la energía cinética de una partícula es igual al trabajo total que se efectuó para
acelerarla desde el reposo hasta su rapidez actual (figura 6.13). La definición
no se eligió al azar: es la única definición que concuerda con esta inter-
pretación de la energía cinética.
En la segunda parte del ejemplo 6.4, se usó la energía cinética del martillo para
efectuar trabajo sobre la viga-I y clavarla en el suelo. Esto nos brinda otra interpreta-
ción: la energía cinética de una partícula es igual al trabajo que puede efectuar una
partícula mientras se detiene. Por ello, hacemos hacia atrás la mano y el brazo cuan-
do atrapamos una pelota. Al detenerse la pelota, realiza una cantidad de trabajo (fuer-
za por distancia) sobre la mano igual a la energía cinética inicial de la pelota. Al hacer
la mano hacia atrás, aumentamos la distancia donde actúa la fuerza y así reducimos la
fuerza ejercida sobre nuestra mano.
K 5 12 mv^2 ,
W tot 5 K 2 0 5 K
K 5 12 mv^2 :
6.13 Cuando un jugador de billar golpea
una bola blanca en reposo, la energía
cinética de la bola después de ser golpeada
es igual al trabajo que el taco efectuó sobre
ella. Cuanto mayor sea la fuerza ejercida
por el taco y mayor sea la distancia que la
bola se mueve mientras está en contacto
con el taco, mayor será la energía cinética
de la bola.
2 m
m
F
Salida s Meta
F
6.14 Carrera entre veleros en el hielo.
Ejemplo conceptual 6.5 (^) Comparación de energías cinéticas
Dos veleros para hielo como el del ejemplo 5.6 (sección 5.2) compiten en un lago horizontal sin fricción (figura 6.14). Los veleros tienen ma- sas m y 2 m , respectivamente; pero sus velas son idénticas, así que el viento ejerce la misma fuerza constante sobre cada velero. Los 2 ve- leros parten del reposo y la meta está a una distancia s. ¿Cuál velero cruza la meta con mayor energía cinética?
SOLUCIÓN
Si usamos la definición matemática de energía cinética, [ecuación (6.5)] la respuesta a este problema no es tan evidente. El velero con masa 2 m tiene mayor masa, y podríamos suponer que alcanza mayor energía cinética en la línea de meta; no obstante, el velero más pequeño de masa m cruza la meta con mayor rapidez, y podríamos suponer que este velero tiene mayor energía cinética. ¿Cómo decidimos? La forma correcta de enfocar el problema es recordar que la energía cinética de una partícula es igual al trabajo total realizado para ace- lerarla desde el reposo. Ambos veleros recorren la misma distancia s , y sólo la fuerza F en la dirección del movimiento realiza trabajo so- bre ellos. Por lo tanto, el trabajo total efectuado entre la salida y la meta es el mismo para los dos veleros, W tot 5 Fs. En la meta, cada velero tie- ne una energía cinética igual al trabajo W tot efectuado sobre él, ya que cada velero partió del reposo. Así, ¡ambos veleros tienen la misma energía cinética en la meta!
K 5 12 mv^2 ,
F
S
Quizás el lector piense que se trata de una pregunta “capciosa”, pero no es así. Si usted entiende realmente el significado físico de cantidades como la energía cinética, será capaz de resolver problemas de física con mayor rapidez y comprensión. Observe que no necesitamos mencionar el tiempo que cada velero tardó en llegar a la meta. La razón es que el teorema trabajo-energía no hace referencia directa al tiempo, sólo al desplazamiento. De hecho, el velero de masa m tarda menos tiempo en llegar a la meta, que el velero más grande de masa 2 m , porque aquél tiene mayor aceleración.
Trabajo y energía cinética en sistemas compuestos
En esta sección nos hemos cuidado de aplicar el teorema trabajo-energía sólo a cuer-
pos que podemos representar como partículas , esto es, como masas puntuales en mo-
vimiento. En los sistemas complejos que deben representarse en términos de muchas
partículas con diferentes movimientos, surgen aspectos más sutiles que no podemos
ver con detalle en este capítulo. Sólo veremos un ejemplo.
6.3 Trabajo y energía con fuerza variable 193
F (^) x
O
x x 1 s 5 x 2 x 1
F
x 2
El área rectangular bajo la línea representa el trabajo efectuado por la fuerza constante de magnitud F durante el desplazamiento s : W 5 Fs
6.17 El trabajo realizado por una fuerza
constante F en la dirección x conforme
una partícula se mueve de x 1 a x 2.
x 2 Fx Fx 5 kx
6.18 La fuerza necesaria para estirar un
resorte ideal es proporcional a su alarga-
miento: Fx 5 kx.
El área triangular bajo la línea representa el trabajo realizado sobre el resorte cuando éste se estira de x 5 0 a un valor máximo X : W 5 12 k X^2 Fx
O
x
k X
X
Fx 5 k x
6.19 Cálculo del trabajo efectuado para
estirar un resorte una longitud X.
En el límite donde el número de segmentos se hace muy grande y su anchura muy pe-
queña, la suma se convierte en la integral de F x de x 1 a x 2 :
Observe que F ax D xa es el área de la primera franja vertical de la figura 6.16c y que la
integral de la ecuación (6.7) representa el área bajo la curva de la figura 6.16b entre x 1
y x 2. En una gráfica de fuerza en función de posición, el trabajo total realizado por la
fuerza está representado por el área bajo la curva entre las posiciones inicial y final.
Otra interpretación de la ecuación (6.7) es que el trabajo W es igual a la fuerza media
que actúa en todo el desplazamiento, multiplicada por el desplazamiento.
Si F x , la componente x de la fuerza, es constante puede sacarse de la integral de la
ecuación (6.7):
(fuerza constante)
Pero x 2 2 x 1 5 s , el desplazamiento total de la partícula. Así, en el caso de una fuerza
constante F , la ecuación (6.7) indica que W 5 Fs , lo cual coincide con la ecuación
(6.1). La interpretación del trabajo como el área bajo la curva de F x en función de x
también es válida para una fuerza constante; W 5 Fs es el área de un rectángulo de
altura F y anchura s (figura 6.17).
Apliquemos ahora lo aprendido al resorte estirado. Para mantener un resorte esti-
rado una distancia x más allá de su longitud sin estiramiento, debemos aplicar una
fuerza de igual magnitud en cada extremo (figura 6.18). Si el alargamiento x no es
excesivo, vemos que la fuerza aplicada al extremo derecho tiene una componente x
directamente proporcional a x :
(fuerza requerida para estirar un resorte) (6.8)
donde k es una constante llamada constante de fuerza (o constante de resorte) del re-
sorte. Las unidades de k son fuerza dividida entre distancia, N>m en el SI y lb>ft en
unidades británicas. Un resorte blando de juguete (como Slinky™) tiene una constan-
te de fuerza de cerca de 1 N>m; para los resortes mucho más rígidos de la suspensión
de un automóvil, k es del orden de 10 5 N>m. La observación de que el alargamiento
(no excesivo) es proporcional a la fuerza fue hecha por Robert Hooke en 1678 y se
conoce como ley de Hooke ; sin embargo, no debería llamarse “ley”, pues es una afir-
mación acerca de un dispositivo específico y no una ley fundamental de la naturaleza.
Los resortes reales no siempre obedecen la ecuación (6.8) con precisión, aunque se
trata de un modelo idealizado útil. Veremos esta ley más a fondo en el capítulo 11.
Para estirar un resorte, debemos efectuar trabajo. Aplicamos fuerzas iguales y
opuestas a los extremos del resorte y las aumentamos gradualmente. Mantenemos fijo
el extremo izquierdo, así que la fuerza aplicada en este punto no efectúa trabajo. La
fuerza en el extremo móvil sí efectúa trabajo. La figura 6.19 es una gráfica de Fx con-
tra x , el alargamiento del resorte. El trabajo realizado por F x cuando el alargamiento
va de cero a un valor máximo X es
También podemos obtener este resultado gráficamente. El área del triángulo sombrea-
do de la figura 6.19, que representa el trabajo total realizado por la fuerza, es igual a
la mitad del producto de la base y la altura:
W 5
1 X 2 1 kX 2
kX^2
W 5
X
0
Fx dx 5
X
0
kx dx 5
kX^2
Fx 5 kx
W 5
x 2
x 1
Fx dx 5 Fx 3
x 2
x 1
dx 5 Fx 1 x 2 2 x 1 2
(componente x de fuerza variable,
desplazamiento rectilíneo)
W 5
x 2
x 1
Fx dx
194 C APÍT U LO 6 Trabajo y energía cinética
6.20 Cálculo del trabajo efectuado para
estirar un resorte desde cierta extensión
hasta una extensión mayor.
El área trapezoidal bajo la línea representa el trabajo efectuado sobre el resorte para estirarlo de x 5 x 1 a x 5 x 2 : W 5 12 kx 22 2 12 kx 12
x
x
x 5 0 x 5 x 1 x 5 x 2
x 5 0 x 5 x 1 x 5 x 2
kx 1
kx 2
a) Estiramiento de un resorte de un alargamiento x 1 a un alargamiento x 2
b) Gráfica de fuerza contra distancia
Fx
Esta ecuación también indica que el trabajo es la fuerza media kx >2 multiplicada por
el desplazamiento total X. Vemos que el trabajo total es proporcional al cuadrado del
alargamiento final X. Para estirar un resorte ideal 2 cm, necesitamos efectuar cuatro
veces más trabajo que para estirarlo 1 cm.
La ecuación (6.9) supone que el resorte no estaba estirado originalmente. Si el re-
sorte ya está estirado una distancia x 1 , el trabajo necesario para estirarlo a una distan-
cia mayor x 2 (figura 6.20) es
El lector debería utilizar lo que sabe de geometría para convencerse de que el área
trapezoidal bajo la línea en la figura 6.20b está dada por la expresión de la ecuación
Si el resorte tiene espacios entre las espiras cuando no está estirado, también pue-
de comprimirse. La ley de Hooke se cumple también para la compresión. En este ca-
so, la fuerza y el desplazamiento tienen direcciones opuestas a las de la figura 6.18,
así que Fx y x en la ecuación (6.8) son ambas negativas. Puesto que tanto F x como x se
invierten, de nuevo la fuerza tiene la dirección del desplazamiento y el trabajo reali-
zado por F x otra vez es positivo. El trabajo total sigue siendo el dado por la ecuación
(6.9) o por la (6.10), aun si X es negativo o x 1 o x 2 , o ambos, son negativos.
CU I DADO (^) Trabajo efectuado sobre un resorte contra trabajo efectuado por un resorte Observe que el trabajo dado por la ecuación (6.10) es el que usted debe efectuar sobre un re- sorte para alterar su longitud. Por ejemplo, si estira un resorte que originalmente está relajado, x 1 5 0, x 2. 0 y W. 0. Ello se debe a que la fuerza aplicada por usted a un extremo del resorte tiene la misma dirección que el desplazamiento y a que el trabajo efectuado es positivo. En con- traste, el trabajo que el resorte efectúa sobre el objeto al que se une está dado por el negativo de la ecuación (6.10). Por lo tanto, cuando estiramos un resorte, éste efectúa trabajo negativo sobre nosotros. ¡Fíjese bien en el signo del trabajo para evitar confusiones más adelante! ❚
W 5
x 2
x 1
Fx dx 5
x 2
x 1
kx dx 5
kx 22 2
kx 12
Ejemplo 6.6 (^) Trabajo sobre una balanza de resorte
Una mujer que pesa 600 N se sube a una báscula que contiene un re- sorte rígido (figura 6.21). En equilibrio, el resorte se comprime 1.0 cm bajo su peso. Calcule la constante de fuerza del resorte y el trabajo to- tal efectuado sobre él durante la compresión.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: En equilibrio, la fuerza hacia arriba ejercida por el re- sorte equilibra la fuerza hacia abajo del peso de la mujer. Usaremos es- te principio y la ecuación (6.8) para determinar la constante de fuerza k ,
y emplearemos la ecuación (6.10) para calcular el trabajo W que la mujer efectúa sobre el resorte para comprimirlo.
PLANTEAR: Hacemos que los valores positivos de x correspondan al alargamiento (hacia arriba en la figura 6.21), de modo que tanto el des- plazamiento del resorte ( x ) como la componente x de la fuerza que la mujer ejerce sobre él ( Fx ) son negativos.
EJECUTAR: La parte superior del resorte se desplaza x 5 21.0 cm 5 2 0.010 m y la fuerza que la mujer aplica al resorte es F (^) x 5 2600 N. Por la ecuación (6.8), la constante de fuerza es
Entonces, usando x 1 5 0 y x 2 5 20.010 m en la ecuación (6.10),
EVALUAR: La fuerza aplicada y el desplazamiento del extremo del re- sorte tuvieron la misma dirección, así que el trabajo efectuado debe haber sido positivo, tal como lo calculamos. Nuestra selección arbitra- ria de la dirección positiva no afecta el valor de W obtenido. (Com- pruébelo haciendo que la dirección 1 x corresponda a una compresión (hacia abajo). Obtendrá los mismos valores de k y W .)
1 6.0 3 104 N/m 2 1 2 0.010 m 2 2 2 0 5 3.0 J
W 5
kx 22 2
kx 12
k 5
Fx x
2 600 N
2 0.010 m
5 6.0 3 104 N/m
Por nuestra elección del eje, tanto la componente de fuerza como el desplaza- miento son negativos. El trabajo realizado sobre el resorte es positivo.
2 1.0 cm
1 x Fx , 0
6.21 Compresión de un resorte en una báscula de baño.
196 C APÍT U LO 6 Trabajo y energía cinética
Teorema trabajo-energía para movimientos en una curva
Podemos generalizar nuestra definición de trabajo para incluir una fuerza que varía
en dirección, no sólo en magnitud, con un desplazamiento curvo. Suponga que una
partícula se mueve de P 1 a P 2 siguiendo una curva, como se muestra en la figura
6.23a. Dividimos la curva entre esos puntos en muchos desplazamientos vectoria-
les infinitesimales, siendo uno representativo. Cada es tangente a la trayec-
toria en su posición. Sea la fuerza en un punto representativo de la trayectoria,
y sea f el ángulo entre y en ese punto. De manera que el elemento pequeño
de trabajo dW realizado sobre la partícula durante el desplazamiento puede
escribirse como
dW 5 F cos f dl 5 F i dl 5 F
S (^) #
d l
S
d l
d l S
S
F
S F
S d^ l
S
d l
S
a)
k
m v 1
b) Diagrama de cuerpo libre para el deslizador sin fricción
c) Diagrama de cuerpo libre para el deslizador con fricción cinética
resorteresorte
resorteresorte
6.22 a) Deslizador sujeto a un riel de aire con un resorte. b) y c)
Diagrama de cuerpo libre.
d 5
2 1 0.461 N 2 6 " 1 0.461 N 2 2 2 4 1 10.0 N/m 2 1 2 0.113 N #^ m 2
2 1 10.0 N/m 2
Usamos d para representar un desplazamiento positivo, así que sólo tiene sentido el valor positivo de d. Así, con fricción, el deslizador se mueve una distancia
EVALUAR: Con fricción, son menores el desplazamiento del desliza- dor y el estiramiento del resorte, como esperábamos. Una vez más, el deslizador se detiene momentáneamente y de nuevo el resorte tira de él hacia la izquierda; que se mueva o no dependerá de la magnitud de la fuerza de fricción estática. ¿Qué valor debería tener el coeficien- te de fricción estática ms para evitar que el deslizador regrese a la izquierda?
d 5 0.086 m 5 8.6 cm
5 0.086 m o 2 0.132 m
efectuado por el resorte sobre el deslizador, es decir, el negativo de la ecuación (6.10).
EJECUTAR: a ) Al moverse de x 1 5 0 a x 2 5 d , el deslizador efectúa sobre el resorte un trabajo dado por la ecuación (6.10): W 5 El resorte efectúa sobre el deslizador un tra- bajo igual pero negativo: El resorte se estira hasta que el desli- zador se detiene momentáneamente, así que la energía cinética final del deslizador es K 2 5 0. Su energía cinética inicial es donde v 1 5 1.50 m>s es la rapidez inicial del deslizador. Usando el teorema trabajo-energía, tenemos
Despejamos la distancia d que recorre el deslizador:
5 0.106 m 5 10.6 cm
d 5 v 1 Å
m k
5 1 1.50 m/s 2
Å
0.100 kg 20.0 N/m
kd^2 5 0
mv 12
1 2 mv 1
2 12 kd^2.
1 2 kd
2 k^^1 0
2 kd
Después, el resorte estirado tira del deslizador hacia la izquierda, así que éste sólo está en reposo momentáneamente. b ) Si se apaga el aire, debemos incluir el trabajo efectuado por la fuerza de fricción cinética constante. La fuerza normal n es igual en magnitud al peso del deslizador, ya que el riel es horizontal y no hay otras fuerzas verticales. La magnitud de la fuerza de fricción cinética es, entonces, dirigida opuesta al desplazamiento, y el trabajo que efectúa es
El trabajo total es la suma de W fric y el trabajo realizado por el resorte, kd^2. Por lo tanto, el teorema trabajo energía indica que
Ésta es una ecuación cuadrática en d. Las soluciones son
1 10.0 N/m 2 d^2 1 1 0.461 N 2 d 2 1 0.113 N #^ m 2 5 0
1 0.100 kg 2 1 1.50 m/s 2 2
2 1 0.47 2 1 0.100 kg 2 1 9.8 m/s^2 2 d 2
1 20.0 N/m 2 d^2
2mk mgd 2
kd^2 5 0
mv 12
W fric 5 f k d cos 180° 5 2 f k d 5 2mk mgd
f k 5 mk n 5 mk mg
6.3 Trabajo y energía con fuerza variable 197
donde es la componente de en la dirección paralela a (figura
6.23b). El trabajo total realizado por sobre la partícula al moverse de P 1 a P 2 es,
entonces,
Ahora podemos demostrar que el teorema trabajo-energía, ecuación (6.6), cum-
ple aún con fuerzas variables y desplazamiento en una trayectoria curva. La fuerza
es prácticamente constante en cualquier segmento infinitesimal de la trayectoria,
así que podemos aplicar el teorema trabajo-energía para movimiento rectilíneo a ese
segmento. Entonces, el cambio de energía cinética de la partícula en ese segmento,
K , es igual al trabajo realizado sobre la partícula. La suma de
estos trabajos infinitesimales de todos los segmentos de la trayectoria nos da el tra-
bajo total realizado, ecuación (6.14), que es igual al cambio total de energía cinética
en toda la trayectoria. Por lo tanto, W tot 5 D K 5 K 2 2 K 1 se cumple en general , sea
cual fuere la trayectoria y el carácter de las fuerzas. Esto puede demostrarse con ma-
yor rigor usando pasos como los de las ecuaciones (6.11) a (6.13) (véase el problema
de desafío 6.104).
Observe que sólo la componente de la fuerza neta paralela a la trayectoria,
realiza trabajo sobre la partícula, así que sólo dicha componente puede cambiar la
rapidez y la energía cinética de la partícula. La componente perpendicular a la tra-
yectoria, F ' 5 F sen f, no afecta la rapidez de la partícula; sólo cambia su dirección.
La integral de la ecuación (6.14) es una integral de línea. Para evaluar la integral
en un problema específico, necesitamos una descripción detallada de la trayectoria y
de cómo varía a lo largo de ésta. Normalmente expresamos la integral de línea en
términos de alguna variable escalar, como en el ejemplo que sigue.
F
S
F i ,
dW 5 F i dl 5 F
S (^) #
d l
S
d l
S F
S
(trabajo en una
W 5 3 trayectoria curva)
P 2
P 1
F cos f dl 5
P 2
P 1
F i dl 5
P 2
P 1
F
S (^) #
d l
S
F
S
d l
S
F
S
F i 5 F cos f 6.23^ Una partícula sigue una trayectoria
curva de P 1 a P 2 bajo la acción de una
fuerza que varía en magnitud y
dirección.
F
S
sensen
s
a)
R
b) Diagrama de cuerpo libre de Morton (se desprecia el peso de las cadenas y del asiento)
u
F^ S^ u
d l
S
6.24 a) Empujando al primo Morton en un columpio.
b) Diagrama de cuerpo libre.
Ejemplo 6.8 (^) Movimiento en una trayectoria curva I
En un día de campo familiar, le piden a usted empujar a su odioso pri- mo Morton en un columpio (figura 6.24a). El peso de Morton es w , la longitud de las cadenas es R , y usted lo empuja hasta que las cadenas forman un ángulo u 0 con la vertical. Para ello, usted ejerce una fuerza horizontal variable que comienza en cero y aumenta gradualmente apenas lo suficiente para que Morton y el columpio se muevan lenta- mente y permanezcan casi en equilibrio. ¿Qué trabajo total realizan to- das las fuerzas sobre Morton? ¿Qué trabajo realiza la tensión T en las cadenas? ¿Qué trabajo efectúa usted aplicando la fuerza (Ignore el peso de las cadenas y el asiento.)
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: El movimiento sigue una curva, así que usaremos la ecuación (6.14) para calcular el trabajo efectuado por la fuerza neta, por la fuerza de tensión y por la fuerza
PLANTEAR: La figura 6.24b muestra el diagrama de cuerpo libre y el sistema de coordenadas. Sustituimos las dos tensiones de las cadenas por una sola tensión, T.
EJECUTAR: Hay dos formas de obtener el trabajo total efectuado du- rante el movimiento: 1. calculando el trabajo efectuado por cada fuerza y sumando después las cantidades de esos trabajos, y 2. calculando el trabajo efectuado por la fuerza neta. La segunda estrategia es mucho más fácil. Puesto que en esta situación Morton está siempre en equili- brio, la fuerza neta sobre él es cero, la integral de la fuerza neta de la ecuación (6.14) es cero y el trabajo total realizado sobre él por todas las fuerzas es cero.
F
S .
F
S ?
F
S
También es fácil calcular el trabajo efectuado sobre Morton por la tensión de las cadenas, porque esta fuerza es perpendicular a la direc- ción del movimiento en todos los puntos de la trayectoria. Por lo tanto, en todos los puntos, el ángulo entre la tensión de la cadena y el vector de desplazamiento es 90 8 , en tanto que el producto escalar de la ecuación (6.14) es cero. De esta manera, el trabajo realizado por la ten- sión de la cadena es cero.
d l
S
continúa
6.4 Potencia 199
6.4 Potencia
La definición de trabajo no menciona el paso del tiempo. Si usted levanta una barra que
pesa 100 N a una distancia vertical de 1.0 m con velocidad constante, realiza (100 N)
(1.0 m) 5 100 J de trabajo, ya sea que tarde 1 segundo, 1 hora o 1 año. No obstante,
muchas veces necesitamos saber con qué rapidez se efectúa trabajo. Describimos esto
en términos de potencia. En el habla cotidiana, “potencia” suele emplearse como si-
nónimo de “energía” o “fuerza”. En física usamos una definición mucho más precisa:
potencia es la rapidez con que se efectúa trabajo; al igual que el trabajo y la energía,
la potencia es una cantidad escalar.
Si se realiza un trabajo D W en un intervalo D t , el trabajo medio efectuado por uni-
dad de tiempo o potencia media P med se define como
(potencia media) (6.15)
La rapidez con que se efectúa trabajo quizá no sea constante. Podemos definir la po-
tencia instantánea P como el cociente de la ecuación (6.15) cuando D t se aproxima a
cero:
(potencia instantánea) (6.16)
En el SI la unidad de potencia es el watt (W), llamada así por el inventor inglés Ja-
mes Watt. Un watt es igual a un joule por segundo: 1 W 5 1 J>s (figura 6.25). Tam-
bién son de uso común el kilowatt (1 kW 5 103 W) y el megawatt (1 MW 5 10 6 W).
En el sistema británico, el trabajo se expresa en pie-libras, y la unidad de potencia es
el pie-libra por segundo. También se usa una unidad mayor, el caballo de potencia
(hp) (figura 6.26):
Es decir, un motor de 1 hp que trabaja con carga completa realiza de tra-
bajo cada minuto. Un factor de conversión útil es
El watt es una unidad común de potencia eléctrica ; una bombilla eléctrica de 100 W
convierte 100 J de energía eléctrica en luz y calor cada segundo. Sin embargo, los
watts no son inherentemente eléctricos. Una bombilla podría especificarse en térmi-
nos de caballos de potencia; mientras que algunos fabricantes de automóviles especi-
fican sus motores en términos de kilowatts.
El kilowatt-hora es la unidad comercial usual de energía eléctrica. Un
kilowatt-hora es el trabajo total realizado en 1 hora (3600 s) cuando la potencia es
1 kilowatt (10 3 J>s), así que
El kilowatt-hora es una unidad de trabajo o energía , no de potencia.
En mecánica, también podemos expresar la potencia en términos de fuerza y velo-
cidad. Suponga que una fuerza actúa sobre un cuerpo que tiene un desplazamiento
Si es la componente de tangente a la trayectoria (paralela a ), el trabajo
realizado por la fuerza es D W 5 D s , y la potencia media es
La potencia instantánea P es el límite de esta expresión cuando
P 5 F i v (6.18)
D t S 0:
P med 5
F iD s
D t
5 F i
D s
D t
5 F i v med
F i
F D S s
S
D S s. F i
F
S
1 kW #^ h 5 1 103 J/s 2 1 3600 s 2 5 3.6 3 106 J 5 3.6 MJ
1 kW #^ h 2
1 hp 5 746 W 5 0.746 kW
33,000 ft #^ lb
1 hp 5 550 ft #^ lb/s 5 33,000 ft #^ lb/min
P 5 lím
D t S 0
D W
D t
dW
dt
P med 5
D W
D t
t 5 5 s
t 5 0
t 5 0
Trabajo que efectúa usted sobre la caja para levantarla en 5 s: W 5 100 J
20 W
Su rendimiento de potencia: P 5^ Wt 5 100 J5 s 5
t 5 1 s Trabajo que efectúa usted sobre la misma caja para levantarla a la misma distancia en 1 s: W 5 100 J
100 W
Su rendimiento de potencia:
P 5 5 5
W t
100 J 1 s
6.25 La misma cantidad de trabajo se
efectúa en ambas situaciones, pero la
potencia (la rapidez a la que se realiza
el trabajo) es diferente.
6.26 El valor del caballo de potencia se
dedujo de los experimentos de James Watt,
quien midió que un caballo podría hacer
33,000 pies-libra de trabajo por minuto, al
levantar carbón de una mina abierta.
200 C APÍT U LO 6 Trabajo y energía cinética
donde v es la magnitud de la velocidad instantánea. También podemos expresar la
ecuación (6.18) en términos del producto escalar:
(rapidez instantánea con que la fuerza realiza trabajo
sobre una partícula)
F (6.19)
S
P 5 F
S (^) #
v
S
Ejemplo 6.10 (^) Fuerza y potencia
Cada uno de los dos motores a reacción de un avión Boeing 767 desa- rrolla un empuje (fuerza hacia adelante sobre el avión) de 197,000 N (44,300 lb). Cuando el avión está volando a 250 m>s (900 km>h o aproximadamente 560 mi7h), ¿cuántos caballos de potencia desarrolla cada motor?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: La incógnita es la potencia instantánea P , que es la ra- pidez con que el empuje efectúa trabajo.
PLANTEAR: Usamos la ecuación (6.18). El empuje tiene la dirección del movimiento, así que es simplemente igual al empuje.
EJECUTAR: Con v 5 250 m>s, cada motor desarrolla una potencia:
EVALUAR: La rapidez de los aviones comerciales modernos depende directamente de la potencia de los motores (figura 6.27). Los motores más grandes de los aviones de hélice de la década de 1950 desarrolla- ban aproximadamente 3400 hp (2.5 3 10 6 W) y tenían rapideces máxi- mas del orden de 600 km>h (370 mi>h). La potencia de cada motor de un Boeing 767 es casi 20 veces mayor, y permite al avión volar a cerca de 900 km>h (560 mi>h) y llevar una carga mucho más pesada. Si los motores están produciendo el empuje máximo mientras el avión está en reposo en tierra, de manera que v 5 0, la potencia desa- rrollada por los motores es cero. ¡Fuerza y potencia no son lo mismo!
5 1 4.93 3 107 W 2
1 hp 746 W
5 66,000 hp
P 5 F i v 5 1 1.97 3 105 N 2 1 250 m/s 2 5 4.93 3 107 W
F i
a)
b)
6.27 a) Avión impulsado por hélice y b) avión con motor
a reacción.
Ejemplo 6.11 (^) Un “potente ascenso”
Una maratonista de 50.0 kg sube corriendo las escaleras de la Torre Sears de Chicago de 443 m de altura, el edificio más alto de Estados Unidos (figura 6.28). ¿Qué potencia media en watts desarrolla si llega a la azotea en 15.0 minutos? ¿En kilowatts? ¿Y en caballos de potencia?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Trataremos a la corredora como una partícula de masa m. La potencia media que desarrolla P med debe ser suficiente para subirla a una rapidez constante contra la gravedad.
PLANTEAR: Podemos calcular P med que desarrolla de dos maneras:
- determinando primero cuánto trabajo debe efectuar y dividiendo luego ese trabajo entre el tiempo transcurrido, como en la ecuación (6.15); o bien, 2. calculando la fuerza media hacia arriba que la co- rredora debe ejercer (en la dirección del ascenso) y multiplicándola después por su velocidad hacia arriba, como en la ecuación (6.17).
EJECUTAR: Como en el ejemplo 6.8, para levantar una masa m contra la gravedad se requiere una cantidad de trabajo igual al peso mg multi- plicado por la altura h que se levanta. Por lo tanto, el trabajo que la co- rredora debe efectuar es
5 2.17 3 105 J
W 5 mgh 5 1 50.0 kg 2 1 9.80 m/s^2 2 1 443 m 2
6.28 ¿Cuánta potencia se necesita para subir corriendo las escale-
ras de la Torre Sears de Chicago en 15 minutos?
