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Leyes de conservaci´
on
R. O. Barrachina
Un miliciano fil´
osofo que nos acompa˜
naba recogi´
o el trozo de plomo al pie de la biblioteca:
ıble que esto pueda matar a un hombre. ¿Qu´
e da˜
no quieren ustedes que le cause al organismo un pedacito de metal de esta clase?
Alejo Carpentier: Palabras en el tiempo.- ¡Lo terrible es la velocidad que trae! ¡Lo que mata es la velocidad!...- ¿?
Conservaci´
on de la cantidad de movimiento
El fil´
osofo frances Ren´
e Descartes (1596 - 1650) fue uno de los principales
propulsores de una idea que se retomar´
ıa con nuevo ´
ımpetu en la primer
d´ ecada del siglo XX. Me refiero a los procesos de colisi´
on, ´
o fen´
omenos de
la
percusi´
on
, como los llam´
o ´ el. Ya un contempor´
aneo de Galileo, el profe-
sor de Praga Jan Marek Marci
1 hab´
ıa realizado algunos experimentos sobre
los fen´
omenos de colisi´
on, publicando sus resultados en un trabajo titulado
“De proportione motus” (Praga, 1639). El mismo Galileo hab´
ıa propuesto
que se lograr´
ıa una mejor comprensi´
on de los procesos din´
amicos en base
a un cuidadoso estudio experimental de la interacci´
on entre dos part´
ıculas
en movimiento. Descartes era 32 a˜
nos m´
as joven que Galileo, y sin embargo
a ambos lo separaba algo m´
as que la edad o la distancia. En particular, y
por muy sorprendente que parezca, no hay ning´
un indicio de que Descartes
hab´haya llegado a leer los trabajos de Galileo. Por otro lado, mientras Galileo
ıa comenzado a construir la mec´
anica de abajo hacia arriba, a trav´
es de
una descripci´
on detallada de los procesos m´
as simples; Descartes intentaba
truir una filosof´lograr lo mismo trabajando desde arriba hacia abajo. Su objetivo era cons-
ıa general que reemplazara a la de los escol´
asticos
2
. Para
ello pon´
ıa el ´
enfasis en la meditaci´
on y el m´
etodo anal´
ıtico, construyendo
Instituto Balseiro, Av. Bustillo 9500, R8402AGP San Carlos de Bariloche, R´
ıo Negro, Argentina. (www.ib.edu.ar)
la ciencia a partir de algunos pocos
Principios Fundamentales
. Descartes
no lleg´
o a concretar estos objetivos, pero dej´
o dos marcas indelebles en la
historia de la F´
ısica. En primer lugar enfatiz´
o la importancia del estudio de
la interacci´
on entre dos part´
ıculas. M´
as tarde, Newton adoptar´
ıa esta idea.
demostrar´En segundo lugar, y en el proceso de estudiar este problema, Descartes
ıa el poder de una nueva manera de plantear las leyes de la natu-
raleza, las llamadas
leyes de conservaci´
on
. Descartes hab´
ıa planteado una
serie de
leyes de movimiento
que eran obedecidas por cuerpos en colisi´
on.
Sin embargo, m´
as tarde se encontr´
o que muchas de sus conclusiones eran in-
correctas. As´
ı que en 1668 (al t´
ermino de la Gran Plaga que asol´
o Inglaterra
y a la que haremos referencia en otro apunte), la
Real Sociedad
de Londres
solicit´
o a sus socios que presentaran proposiciones correctas y definitivas
para las leyes del movimiento.
hombres, Galileo, Descartes, Honorato Fabri, Joaqu´... [para] llevar a un solo punto de vista lo que aquellos excelentes
ın Jungius,
Borelli y otros hab´
ıan inventado.
Se presentaron tres trabajos. Una monograf´
ıa, con el t´
ıtulo de
Tracta-
tus de Motu
fue presentada el 26 de Noviembre de 1668 por el matem´
atico
ingl´
es John Wallis (Ashford, 1616 - Oxford, 1703), conocido no s´
olo por
haber introducido el s´
ımbolo
y la notaci´
on exponencial, sino tambi´
en por
ciembre. Finalmente, el cient´a Sir Christopher Wren, fue aceptado por la Real Sociedad el 17 de Di-sus terribles peleas con Descartes y Huygens. Otro trabajo, perteneciente
ıfico holand´
es Christian Huygens (1629 - 1695)
present´
o un tercer trabajo, el 4 de Enero de 1669. Wallis trat´
o ´
unicamente
el choque inel´
astico. Wren y Huygens s´
olo el choque el´
astico. Wren hab´
ıa
Principialas de Huygens. Estos experimentos son mencionados por Newton en susprobado experimentalmente sus proposiciones, que en esencia coinciden con
, y aparecen descritos en una forma ampliada en un trabajo de
Mariotte titulado “Sur le choc des corps”. Por otra parte, Wallis public´
o su
teor´
ıa del choque en un trabajo aparecido en 1671: “Mechanica sive de mo-
tu”. Por ´
ultimo, las ideas de Huygens aparecen descritas en su libro p´
ostumo
gens resultaron estar particularmente acertados al mostrar que“De motu corporum ex percussione” (1703). Los trabajos de Wallis y Huy-
la cantidad
de movimiento
(es decir, el producto de la masa por la velocidad,
m
v ) ten´
ıa
propiedades vectoriales y que se conservaba en una colisi´
on.
Figura 1. Ren´
e Descartes. Naci´
o el 31 de marzo de 1596 en La Haya de Turena
(desde 1967 Descartes, en honor al fil´
osofo). Falleci´
o el 11 de febrero de 1650
en Estocolmo. Para un sistema de
N
part´
ıculas definimos el impulso total como P
=
N i ∑ =
p i .
Derivando respecto al tiempo obtenemos
d P
d t
=
N i ∑ =
d p i
d t
=
N i ∑ =
F
i ,
Instituto Balseiro, Av. Bustillo 9500, R8402AGP San Carlos de Bariloche, R´
ıo Negro, Argentina. (www.ib.edu.ar)
En efecto, consideremos un sistema de 2 part´
ıculas aisladas en interac-
ci´ on mutua por una fuerza que, en principio, s´
olo puede ser funci´
on de la
posici´
on relativa entre ambas part´
ıculas
r
=
r 1 −
r 2 , de sus derivadas y,
eventualmente, el tiempo,
F
12
F
r , ˙r ,... , t
). La posici´
on relativa
r y la
del centro de masa
r cm
permiten describir completamente el estado del sis-
tema.
r 1
m
2
m 1 + m 2 r + r
cm
r 2
m 1
m 1
(^) m
2 r (^) +
(^) r cm
Puesto que
r cm
es conocido, s´
olo necesitamos encontrar
r
r ( t ). Para ello
escribimos la segunda ley de Newton para una de las part´
ıculas, digamos la
part´
ıcula 1,
F = m 1 d 2
r 1
d t 2
.
Ahora reemplazamos la expresi´
on anterior para
r 1
F
m
1 m
2
m 1 + m 2 d 2
r
d t 2 + m 1 d 2
r cm
d t 2
Finalmente, como d
2 r cm
/ d t 2 = 0, obtenemos
F
r , ˙r ,... , t
m
d 2 r
d t 2
,
donde hemos definido la “masa reducida”
m
=
m 1 m 2
m 1 + m 2.
Trabajando sobre la segunda ley de Newton para la part´
ıcula 2 arribar´
ıamos
a exactamente la misma ecuaci´
on. Vemos que la ecuaci´
on anterior coincide
con la segunda ley de Newton para una sola part´
ıcula de masa
m
a una
distancia
r
de un centro de fuerzas “fijo”. Por esta reducci´
on a un proble-
ma equivalente de una part´
ıcula, el problema de dos cuerpos es resoluble.
En cambio, para
N >
2, y salvo en casos muy particulares, la soluci´
on del
problema es imposible anal´
ıticamente.
La “fuerza viva”
Hab´
ıamos visto como, en respuesta a una solicitud de la Royal Society
para sistematizar las leyes del movimiento, se presentaron tres monograf´
ıas
escritas por el arquitecto Sir Christopher Wren, por el matem´
atico John
Wallis y por el cient´
ıfico holand´
es Christian Huygens. Los trabajos de Wal-
lis y Huygens propon´
ıan acertadamente una ley de conservaci´
on de la canti-
avanzar´dad de movimiento, que estudiamos en otro apunte. Sin embargo, Huygens
ıa un paso m´
as que sus colegas.
En esta b´
usqueda de leyes din´
amicas emprendida por la Royal Society,
Huygens corr´
ıa con una enorme ventaja sobre sus colegas ya que conoc´
ıa las
ideas de Descartes de primer´
ısima mano. Era hijo de un diplom´
atico franc´
es
rechaz´en cuya casa Descartes se alojaba con frecuencia. Aunque al final Huygens
o el sistema filos´
ofico de Descartes, logr´
o rescatar aquellas ideas que
eran de mayor utilidad para la f´
ısica, y corregir algunos de los errores m´
as
gruesos del fil´
osofo franc´
es. De esta manera Huygens pudo llegar m´
as lejos
que Wallis y Wren, al plantear otra ley de conservaci´
on sumamente nove-
dosa, que ´
el mismo resumi´
o en la siguiente proposici´
on:
antes y despu´cada cuerpo duro por el cuadrado de su velocidad, es la mismaLa suma de los productos resultantes de multiplicar la masa de
es del choque.
Casi tres d´
ecadas despu´
es, en 1695, el alem´
an Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646 - 1716) redescubrir´
ıa la misma cantidad
mv
2 , d´
andole el nombre de
vis viva
o fuerza viva
. En resumen, lo que Huygens y Leibniz estaban dicien-
do es que la suma de las
fuerzas vivas
de todos los objetos que intervienen
en una colisi´
on es la misma antes y despu´
es de dicha colisi´
on. El que Newton
usara la misma terminolog´
ıa de
fuerza
para designar a una cantidad com-
pletamente distinta, hizo que se generara una gran confusi´
on y pol´
emicas
del siglo XIX.muy encendidas. Estas dificultades prevalecieron inclusive hasta mediados
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ıo Negro, Argentina. (www.ib.edu.ar)
Figura 2. Christiaan Huygens. Naci´
o en La Haya el 14 de Abril de 1629. Falle-
ci´ o en la misma ciudad, el 8 de Julio de 1695).
Trabajo y energ´
ıa
En la pr´
actica, el desplazamiento de los cuerpos se realiza bajo la acci´
on
de fuerzas. De ello surge la necesidad de caracterizar la acci´
on de las fuerzas
ma piloto” de dos part´relacionadas con dichos movimientos. Volvamos entonces a nuestro “proble-
ıculas aisladas en interacci´
on mutua. Esta interacci´
on
est´
a caracterizada por una fuerza
F
12
F
. Como antes, anotamos con
r
al vector posici´
on de la part´
ıcula 1 respecto de la part´
ıcula 2. Definimos el
“trabajo” de la fuerza
F
entre una configuraci´
on inicial
a y otra final
b como
la integral de l´
ınea
W
∫
b
a
F . d r
a lo largo de la trayectoria
r
=
r ( t ). Aplicando la tercera ley de Newton
F
F
12
=
− F 21 ) podemos escribir esta ecuaci´
on como
W
ab
∫
b
a
F 12 . d(
r 1 − (^) r 2 )
∫
b
a
F 12 . d r 1
∫
b
a
F 21 . d r 2 .
Ahora aplicamos la segunda ley de Newton,
W
ab
∫
b
a m 1 d v 1
d t . d r 1
∫
b
a m 2 d v 2
d t . d r 2
m 1 ∫
b
a
d v 1
d t . v 1 d t (^) +
(^) m
2 ∫
b
a
d v 2
d t . v 2 (^) d t
(
2 1 (^) m
1 v 12 ∣∣∣ ∣ b −
(^) m
1 v (^12) ∣∣∣ ∣ a )
(
2 1 (^) m
2 v (^22) ∣∣∣ ∣ b −
(^) m
2 v 22 ∣∣∣ ∣ a )
T
1
(^) T 2 ) b − (^) ( T 1
(^) T 2 ) a ,
donde hemos definido la
energ´
ıa cin´
etica
T
i
21 (^) m
i v i 2
(^). El resultado anterior
figuraci´puede enunciarse diciendo que el trabajo realizado para pasar de una con-
on
a
a otra
b es igual a la correspondiente variaci´
on de la energ´
ıa
cin´
etica
T
1
(^) T 2 .
Fuerzas conservativas
cualquiera -donde volvemos a la misma configuraci´ Supongamos que el trabajo realizado por una fuerza en un circuito cerrado
on inicial- es nulo. Su
escapacidad para realizar trabajo se ha conservado. Decimos que dicha fuerza
conservativa
. En virtud de los teoremas fundamentales de las integrales
curvil´
ıneas, podemos expresar esta condici´
on en una forma m´
as abstracta
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ıo Negro, Argentina. (www.ib.edu.ar)
donde
M
m 1 (^) +
m 2 y m = m 1
m 2 / ( m 1 (^) +
m 2 ) son las masas total y reducida
del sistema. Sustituimos estas expresiones en la energ´
ıa total del sistema
E = T 1 + T 2 +
V
(^) M v
cm 2
(^) +
(^) mv
2
V.
Como la velocidad del centro de masa
v cm
es constante, podemos eliminar
el primer t´
ermino en la energ´
ıa (que est´
a definida a menos de una constante
arbitraria), escribiendo
E
(^) mv
2
V ( r ) .
Vemos que esta energ´
ıa caracteriza a una part´
ıcula “ficticia” de masa re-
ducida
m
movi´
endose en un campo de energ´
ıa potencial
V
r ). Esto permite
justificar el uso de una terminolog´
ıa donde se habla de la energ´
ıa total de
una part´
ıcula y decir que esta se conserva. Pero debemos recordar que esto
es una abstracci´
on referida a una part´
ıcula “ficticia” representativa de un
sistema de dos cuerpos en interacci´
on mutua.
Energ´
ıa de un sistema de dos cuerpos de masas
muy distintas
Supongamos ahora que la part´
ıcula 2 tiene una masa mucho mayor que la
part´
ıcula 1,
m
2 À
m 1
. La ley de conservaci´
on de la cantidad de movimiento
muestra que en una interacci´
on entre ambas part´
ıculas
v 2 =
− (^) m
1
m 2 ∆ v 1.
O sea la part´
ıcula m´
as pesada pr´
acticamente no modifica su velocidad a
orden
m 1 /m
2
. Esto suena razonable si imaginamos -por ejemplo- que la
Tierra no deber´
ıa modificar su velocidad por su interacci´
on gravitatoria con
un objeto muy peque˜
no.
Como el centro de masa coincide pr´
acticamente con el cuerpo m´
as pe-
sado,
v.g.
r 1
m
2
m 1 + m 2 r + r
cm
r
r cm
m
1 /m
2 )
y
r 2
m 1
m 1 (^) +
(^) m
2 r (^) +
(^) r cm
r cm
m
1 /m
2 ) ,
la posici´
on de ´
este define un sistema aproximadamente inercial donde la
energ´
ıa reducida,
E
(^) mv
2
V ( r ) ≈
(^) m
1 v 2
V (^) ( r ) + o(
m
1 /m
2 ) ,
puede interpretarse como caracter´
ıstica de la part´
ıcula 1 de posici´
on
r
y
velocidad
v .
Este resultado debe entenderse correctamente como una aproximaci´
on
del problema equivalente de un cuerpo. Como
m
2 es mucho mayor que
m 1 ,
su inercia es tan grande que dif´
ıcilmente recibe algo de la energ´
ıa cin´
etica.
Partiendo de las ecuaciones
T
1
m
2
M
( 2 1 (^) mv
2 )
m
1
M
( 2 1 (^) M v
cm 2
)
(^) m
v . v cm
y
T
2
m
1
M
( 2 1 (^) mv
2 )
m
2
M
( 2 1 (^) M v
cm 2
)
− (^) m
v . v cm
obtenemos que, en el sistema centro de masa (es decir, para
v cm
T
1
m 2
M
T
T
y
T
2
m 1
M
T
y por lo tanto la part´
ıcula m´
as pesada apenas recibe algo de la energ´
ıa
cin´
etica.
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ıo Negro, Argentina. (www.ib.edu.ar)
Correcci´
on isot´
opica de la energ´
ıa del ´
atomo
hidrogenoide
Ahora veremos una aplicaci´
on sencilla de los resultados anteriores. Un ´
ato-
mo est´
a formado por un n´
ucleo relativamente masivo, con dimensiones del
orden de 10
− 12
cm, y un cierto n´
umero de electrones, que ocupan el resto
del volumen at´
omico de unos 10
− 8 cm de radio. El n´
ucleo est´
a compuesto
por
A
part´
ıculas llamadas
nucleones
, de las cuales
Z
son protones con car-
ga el´
ectrica, y el resto neutrones, el´
ectricamente neutros.
A
se denomina
n´ umero de masa
y
Z
n´ umero at´
omico
. Si hay tantos electrones como pro-
tones, es decir
Z
electrones, el ´
atomo es el´
ectricamente neutro. Si ello no
ocurre, el ´
atomo estar´
a cargado positivamente o negativamente, dependien-
do de que el n´
umero de electrones sea menor o mayor que el de protones en
el n´
ucleo. En tal caso el ´
atomo se denomina
ion
La masa
m 2 de un nucle´
on es aproximadamente 1836 veces la masa
m
1
de un electr´
on. Debido a su menor inercia y -por ende- gran movilidad, son
los electrones quienes confieren a un ´
atomo la mayor´
ıa de sus propiedades,
jugando un rol principal en procesos de emisi´
on y absorci´
on de luz, ligaduras
moleculares, reacciones qu´
ımicas o en las m´
as importantes caracter´
ısticas de
la materia s´
olida.
El ´
atomo m´
as simple es el ´
atomo de hidr´
ogeno. Su n´
ucleo est´
a compuesto
por un prot´
on al que est´
a ligado un ´
unico electr´
on. En general, un ´
atomo o
ion con n´
umeros de masa
A
y at´
omico
Z
arbitrarios, pero con un ´
unico elec-
tr´ on ligado, tendr´
a caracter´
ısticas similares a las del ´
atomo de hidr´
ogeno. Lo
llamaremos ´
atomo hidrogenoide. Son ejemplos de ´
atomos hidrogenoides, los
is´ otopos del Hidr´
ogeno llamados Deuterio (
A
Z
= 1) y Tritio (
A
Z
= 1), el Helio ionizado He
( A
= 4,
Z
= 2) o el Litio doblemente ionizado
Li
2
A
Z
Para describir el movimiento del sistema
electr´
on - n´
ucleo
, lo reducimos
a un problema equivalente de un cuerpo de masa
m
m
1 m
2 / ( m
1
m
2 )
movi´
endose en un campo el´
ectrico central atractivo. En general, podemos
aprovechar que la masa del n´
ucleo es suficientemente alta para aproximar
la masa reducida del sistema electr´
on-n´
ucleo por la del electr´
on exclusi-
vamente,
m
m 1
. De esta manera, las ecuaciones de movimiento, y con
ellas la estructura electr´
onica del ´
atomo, no depende del n´
umero de masa
A
. Decimos que estamos despreciando posibles efectos
isot´
opicos
, ya que
de lo contrario, obtendr´
ıamos que distintos is´
otopos de un mismo elemento
la energ´tienen propiedades distintas. De hecho, dentro de un momento veremos que
ıa total de un sistema de estas caracter´
ısticas, respecto del nivel de
ionizaci´
on (es decir cuando las dos part´
ıculas est´
an infinitamente separadas
una de otra), es directamente proporcional a la masa reducida,
E
m
. Por
lo tanto, el peque˜
no corrimiento en la energ´
ıa es del orden de
E
E
m
(^) −
(^) m
1
m
(^) m
1
M
×
A
A 1
×
− 4 .
Esto hace que, por ejemplo, la energ´
ıa del Hidr´
ogeno no sea exactamente
igual a la cuarta parte de la del Helio ionizado, como uno esperar´
ıa de no
mediar efectos isot´
opicos. Fue esta peque˜
n´ ısima diferencia la que en 1868
el espectro de la luz solar. Igualmente el corrimiento isot´condujo al descubrimiento del Helio por Frankland y Lockyer al analizar
opico entre las
energ´
ıas del Hidr´
ogeno y del Deuterio condujo a Urey y colaboradores al
descubrimiento de este ´
ultimo is´
otopo en 1932.
Teorema del Virial
Antes de terminar, repasaremos la demostraci´
on de un teorema que
adquirir´
a gran importancia en otros cursos, principalmente en Mec´
anica
Estad´
ıstica y Teor´
ıa Cin´
etica de Gases. Volvamos, como siempre, a nuestro
problema de dos part´
ıculas aisladas en interacci´
on mutua. Trabajando un
poco sobre la energ´
ıa cin´
etica, tenemos que
T
m v
2
m (^) v (^) · d r
d t
d d t ( 2 1 m (^) v (^) · (^) r )
−
2 1 (^) m
(^) d v
d t · (^) r
d d t ( 2 1 m (^) v (^) · (^) r )
−
2 1 (^) F
· (^) r
.
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ıo Negro, Argentina. (www.ib.edu.ar)
Por ahora, s´
olo vamos a utilizar el teorema del virial para dar un sus-
tento parcial a nuestra suposici´
on anterior referida a que, si manten´
ıamos
todo lo dem´
as igual, la energ´
ıa de ligadura del ´
atomo era proporcional a la
masa. Usando el teorema del virial vemos ahora r´
apidamente (aunque sin
mucho rigor) que
E
< T >
m
.
Notas
1 En Lat´
ın Ioannes (o Johannes) Marcus Marci. Naci´
o el 13 de Junio de
1595 en Lanˇ
okroun, en la frontera entre Bohemia y Moravia, actualmente
Rep´
ublica Checa. Falleci´
o en Praga el 10 de Abril de 1677
2 El escolasticismo fue una escuela de pensamiento que intent´
o utilizar
la filosof´
ıa grecolatina cl´
asica para comprender la revelaci´
on religiosa del
cristianismo.
3 Tambi´
en se suele expresar en el sentido de que el rotor de la fuerza es
nulo,
∇ ×
F
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ıo Negro, Argentina. (www.ib.edu.ar)
