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Revista Colombiana de Estad´ıstica Volumen 27 No^ 2. P´ags. 153 a 177. Diciembre 2004
Laplace: Ensayo filos´ofico sobre las
probabilidades
Alberto Campos*
Resumen Una lectura del Ensayo filos´ofico. Ideas claves de Laplace: Todo est´a per- fectamente determinado. El azar es ignorancia de c´omo est´an determi- nados los sucesos. La teor´ıa del azar o c´alculo de probabilidades es el c´alculo de las posibilidades de algunos sucesos dentro de un conjunto de ellos.
Palabras Claves: Historia de la probabilidad.
1. Introducci´on
Al final del Ensayo filos´ofico, Laplace hace un recuento hist´orico de sus predecesores. Como introducci´on al presente trabajo, se hace igualmente una acerca de los personajes mencionados por Laplace y se a˜naden algunos otros detalles.
En los textos, y tambi´en en Laplace, la historia suele comenzar con la corres- pondencia entre Pascal y Fermat acerca del problema de los partidos. Cabe, sin embargo, mencionar a Cardano, al parecer el primero que intent´o matematizar situaciones de los juegos de azar. Es de anotar, adem´as que ha aparecido un grueso volumen en el que se trata de averiguar lo que suced´ıa al respecto antes de Pascal y Fermat. La referencia es la siguiente:
James Franklin. The science of conjecture: Evidence and probability befo- re Pascal. The Johns Hopkins University Press. 2001. Baltimore. 600 pp. $
*Profesor Asociado. E-mail:
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22,50. Paper ISBN 080-186569-7. [The Mathematical Intelligencer. Volume 26. Number 1. Winter 2004].
Cardano Gerdamo (1501–1576). M´edico, matem´atico, astr´ologo. De sus es- tudios astrol´ogicos hab´ıa concluido que no pasar´ıa de 45 a˜nos. Predijo que Eduardo VI, de Inglaterra, tendr´ıa una larga vida. El rey muri´o de 16 a˜nos, el a˜no siguiente del hor´oscopo, 1551. Jugando dados, apost´o las joyas de su esposa y las perdi´o. Se preocup´o, entonces, por el estudio sistem´atico del juego; por lo que es considerado como uno de los antecesores del c´alculo de probabilidades. Al parecer, public´o una obra (¿la primera?) sobre el c´alculo de probabilidades. Predijo su muerte para tres d´ıas antes de cumplir 75 a˜nos. Llegado el plazo, ces´o de comer y muri´o.
Los primeros elementos del c´alculo de probabilidades fueron puestos por Pierre de Fermat (1601–1665) y Blaise Pascal (1623–1662) a prop´osito de una consulta que le hiciera a Pascal, M. le Chevalier de M´er´e. En las Obras Com- pletas, de Pascal, figuran tres cartas a Fermat, dos de ellas extensas, escritas la primera el 29 VII 1654, la segunda el 24 VIII 1654, la tercera el 27 X 1654. Ellas y las correspondientes de Fermat hacen un estudio sistem´atico. Es la “geometr´ıa del azar”. Escribe Pascal: “En adelante, estos sucesos hasta ahora rebeldes a la experiencia no pueden ya escapar al imperio de la raz´on”.
El problema de los partidos consist´ıa en repartir equitativamente la apuesta entre jugadores de la misma destreza que convienen en abandonar el juego pactado, antes de finalizar las partidas. Condici´on del juego: gana quien primero consigue un determinado n´umero de puntos. El reparto ha de ser proporcional a las respectivas probabilidades de los jugadores para ganar las partidas que faltan ¿cu´al es el n´umero de puntos que todav´ıa faltan?
Fermat solucion´o el problema con base en combinaciones para un n´umero cualquiera de jugadores; Pascal con base en recurrencias para determinar las posibilidades relativas de cada uno de los jugadores. Para exponer su soluci´on Pascal se vale a fondo del que, por ese motivo, es conocido luego, como tri´angulo num´erico de Pascal, aunque antes ya lo hab´ıa estudiado un matem´atico chino, Zhu Shi Jie, 1303, [el mismo que escribi´o un libro titulado El precioso espejo de los 4 elementos: el cielo, la tierra, el ser humano y la ecuaci´on]. Las cartas de Pascal ponen de manifiesto c´omo las dos soluciones concuerdan.
Huygens Christian (1629–1695) escribi´o en 1657, De ratiociniis in ludo aleæe, editado por Nicol´as Bernoulli. Huygens complementa lo establecido por Fermat y por Pascal, y a˜nade otros resueltos problemas de probabilidades.
Laplace nombra a Huddes, y, Witt en Holanda; a Halley en Inglaterra, preocupados por la aplicaci´on del c´alculo de probabilidades a la vida humana.
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Montmort. Al parecer, a pesar de sus pretensiones, su trabajo ha sido eclipsado por el de de Moivre.
Abraham de Moivre (1667–1754). En 1685, sucede la revocaci´on del Edicto de Nantes. Es un peligro para los protestantes como ´el. Se desplaza a Ingla- terra, en 1688. Publica en 1718: Doctrine of Chances. En 1711: De mensura sortis. Hace una publicaci´on modificada en 1718: The doctrine of chances or a method of calculating the probabilities of events in play. Parte de su trabajo culmina en lo que se puede llamar Teorema de Bernoulli–de Moivre–Stirling.
Para Laplace la obra de de Moivre es la m´as importante antes de la del propio Laplace, sobre c´alculo de probabilidades. En los ´ultimos a˜nos de su vida, a algunos que le solicitaban esclarecimientos sobre pasajes matem´aticos de su obra, Newton respond´ıa: “Pregunten a M. de Moivre; ´el conoce esas cosas mejor que yo”.
Nunca pudo tener una situaci´on aceptable, a pesar de recomendaciones de Newton. Ten´ıa que ganarse la vida respondiendo problemas de jugadores; lo que supone que sus respuestas eran acertadas. Hacia el fin de su vida, comenz´o a a˜nadir cada d´ıa 15 minutos m´as de sue˜no. Cuando complet´o las 24 horas, muri´o.
En particular, de Moivre hab´ıa retomado el teorema de Jacques Bernoulli, sobre las probabilidades de los resultados dados por un gran n´umero de ob- servaciones: la relaci´on de los acontecimientos que deben ocurrir se aproxima incesantemente a la de sus posibilidades respectivas. Est´an involucradas dos relaciones. De Moivre va m´as all´a de Jacques Bernoulli en cuanto la diferencia de las dos relaciones resulta constre˜nida a ciertos l´ımites.
Laplace destaca entre las ideas originales de de Moivre la de la consideraci´on directa de las probabilidades de los acontecimientos, inferidas de acontecimien- tos observados. Lo que particularmente hicieron Jacques Bernoulli y de Moivre fue suponer conocidas tales probabilidades.
Como continuaci´on de la tendencia de Jacques Bernoulli, Abraham de Moi- vre fortalece la tendencia de buscar la probabilidad de que el resultado de los experimentos de posible realizaci´on se aproxime a algo previsto.
Laplace menciona Methodus incrementorum directa e inversa, 1715, de Brook Taylor (1685–1731). menciona adem´as, sin m´as detalles, los nombres de Depar- cieux, Kersseboom, Wargentin, Dupr´e de Saint Maure, Simpson, Sulmich, Price y Duvillard a˜nadiendo que aplicaron probabilidades a cuestiones de nacimiento, matrimonios, mortalidad, rentas vitalicias, seguros, etc.
El ´ultimo personaje citado por Laplace es Thomas Bayes (1702–1761), ingl´es, disc´ıpulo de de Moivre. Fue uno de los primeros en interesarse en la
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inferencia estad´ıstica, es decir, en la estimaci´on a priori de los par´ametros de una poblaci´on estudiada. Confecciona una f´ormula para las probabilidades de las causas.
P´ostumamente, 1763, aparece An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Es una insistencia en la probabilidad de que las posibi- lidades indicadas por experiencias ya hechas se hallen comprendidas dentro de ciertos l´ımites. O de otra manera, la probabilidad de las causas y de los acontecimientos futuros es inferida de acontecimientos observados.
Laplace destaca las ideas anteriores as´ı como el hecho de que ´el ha dado un paso m´as al considerar la influencia de las desigualdades que pueden existir entre las posibilidades.
Laplace advierte que siguiendo sendas como las se˜naladas, fue conducido al c´alculo de las diferencias finitas parciales y a la teor´ıa de las funciones genera- trices, la cual, lo afirma igualmente Laplace: “se adapta por s´ı misma con la mayor generalidad a las cuestiones de probabilidades m´as dif´ıciles”.
Ahora se puede mirar con m´as detalle el decurso de la vida de Laplace.
2. Pierre Simon, marquis de Laplace.
Astr´onomo, f´ısico, matem´atico
El 23 III 1749 naci´o Laplace en Beaumont–en–Auge (Calvados) Francia, hijo de un granjero normando. Estudi´o en una academia militar de su regi´on.
En 1767, Laplace (de 18 a˜nos) viaj´o a Par´ıs. Trat´o de obtener una recomen- daci´on de D’Alembert, interponiendo recomendaciones. No hubo respuesta.
Laplace escribi´o entonces una carta a D’Alembert en la cual expone los principios de la mec´anica como ´el mismo la conceb´ıa. D’Alembert le respondi´o: “Se˜nor, usted ha visto que no he hecho caso de sus recomendaciones. No necesita de ellas. Usted llega mejor solo”. Por recomendaci´on de D’Alembert, obtiene Laplace un puesto en la Escuela Militar, de Paris.
Laplace dio muestras r´apidamente de su capacidad cient´ıfica. Entre 1770 y 1773 present´o 13 memorias sobre temas diversos: la adaptaci´on del c´alculo integral a soluciones de ecuaciones diferenciales, la expansi´on de soluciones de ecuaciones diferenciales de una variable en series recurrentes, los determinantes, el c´alculo de probabilidades, etc...
“Nunca hab´ıa recibido esta Academia de un candidato tan joven en tan
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Laplace, como el conde Joseph Louis Lagrange (1736–1813), sobrevivi´o a la Revoluci´on Francesa; no as´ı, por ejemplo, Marie Jean Antoine Nicol´as de Caritat, marquis de Condorcet (1743–1794), quien, condenado a muerte, se suicid´o en prisi´on; o, como Lavoisier, quien fue guillotinado.
Laplace fue nombrado profesor en la Escuela Polit´ecnica y en la Escuela Normal Superior de Paris, creadas en 1794 y 1795. Fue nombrado en la comisi´on para la reforma de pesos y medidas. Fue nombrado ministro del interior por Napole´on.
Napole´on, en Santa Helena, dice acerca de Laplace, ministro del Interior durante 6 meses: “Un matem´atico de primera fila, se revel´o r´apidamente como un mediocre administrador; desde sus primeros actos vimos que nos hab´ıamos enga˜nado. Laplace enfocaba las cuestiones desde su verdadero punto de vista; encontraba sutilezas por todas partes; ten´ıa tan solo ideas dudosas y finalmente llev´o a la administraci´on el esp´ıritu de lo infinitamente peque˜no”.
Bell comenta, con malicia, que el sucesor de Laplace, fue uno de los herma- nos de Napole´on.
En 1796, Laplace public´o una obra maestra Exposition du syst`eme du Mon- de, especie de visi´on program´atica m´as que t´ecnica de su obra posterior. Espe- cialmente notable en ella es la formulaci´on de la hip´otesis cosmog´onica (pensada ya unos a˜nos antes por Kant) seg´un la cual el sistema solar provendr´ıa de una “nebulosa primitiva” que envolver´ıa un n´ucleo fuertemente condensado y con temperatura muy elevada, en rotaci´on alrededor de un eje; el enfriamiento de las capas externas junto con la rotaci´on del conjunto habr´ıa generado en el plano ecuatorial de la nebulosa “anillos sucesivos” que conformar´ıan posteriormente los planetas y sat´elites; en cuanto al n´ucleo central, aumentando su velocidad se habr´ıa convertido en el Sol.
El astr´onomo, matem´atico y f´ısico ingl´es James Hopwood Jeans (1877–
- mostr´o inexactitudes en la presentaci´on de Laplace y elabor´o una teor´ıa catastr´ofica que supone la fragmentaci´on de filamentos de materia arrancados al Sol por fuerzas de marea para completar su explicaci´on del sistema solar.
Entre 1798–1825 public´o Laplace la M´ecanique C´eleste en cinco vol´umenes una especie de Almagesto de la ´epoca, en opini´on de su coet´aneo el bar´on Joseph Fourier (1768–1830). En 1799 aparecieron dos vol´umenes; entre 1802 y 1805 fueron elaborados otros dos vol´umenes; y uno ´ultimo entre 1823 y 1825.
En 1799, Laplace entra al Senado y en 1803 es Vicepresidente del Senado. En 1806, Napole´on otorga a Laplace el t´ıtulo de Conde del Imperio. En 1812 public´o Th´eorie analytique des probabilit´es, un extenso estudio cuyas ideas prin- cipales compendi´o en la obra Essai philosophique des probabilit´es, 1814, en la
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que los temas son explicados ret´oricamente, es decir, sin f´ormulas matem´ati- cas. El art´ıculo que el lector tiene entre sus manos tiende al entendimiento del Ensayo Filos´ofico.
Al caer Napole´on, Laplace se declara por Luis XVIII, quien lo hace marqu´es y par de Francia.
Como para Newton, para Laplace la matem´atica es un instrumento en el descubrimiento cient´ıfico; pero la esencia de ´este est´a en la naturaleza misma. Tambi´en, como Newton, para resolver problemas de f´ısica, Laplace dispone de genio matem´atico.
Bell es particularmente cr´ıtico con Laplace. Es un excelente f´ısico matem´a- tico pero sus c´alculos son embrollados. Abusa del “il est ais´e de voir” (es f´acil ver que).
Habr´ıa que poner a un lado a Fourier, Laplace, y, Poisson y del otro a Lagrange si se trata de la profundidad y de la exactitud, as´ı haya quienes consideren a Laplace superior a Lagrange porque Laplace fue capaz de mostrar al sistema solar como una gigantesca m´aquina en perpetuo movimiento.
Bell igualmente enrostra a Laplace su ansia de t´ıtulos, su deseo de brillar por todas partes, su flexibilidad pol´ıtica. Bell pone un subt´ıtulo a cada uno de sus 29 biografiados. Su tirria con Laplace se echa de ver en el que dio a su noticia sobre la vida de Laplace: “De campesino a presumido”.
En la M´ecaniqne C´eleste, Laplace hace una s´ıntesis de los trabajos de New- ton, Halley, Clairaut, Euler y D’Alembert, a los que ´el va a agregar poco a poco sus grandes contribuciones. El tema central es el de las consecuencias del principio de la gravitaci´on universal que aparece como una ley fundamental del universo. Todo parece perfectamente determinado. Es la convicci´on expuesta en un pasaje de Laplace, citado m´as adelante.
Laplace no comparte la creencia de Condorcet en el progreso indefinido de la mente humana. Condorcet, escribi´o en prisi´on, su obra principal Esquisse d’un tableau des progr´es de l’esprit humain. Condorcet, dice el Petit Robert, estaba convencido del desarrollo indefinido de las ciencias y de que el progreso intelectual y moral de la humanidad podr´ıa ser asegurado mediante la educaci´on bien orientada. Hab´ıa propuesto, dos a˜nos antes, 1792, un proyecto de reforma de la instrucci´on p´ublica. Sab´ıa de qu´e hablaba.
Hay, en Laplace, una fuerte contraposici´on entre su concepci´on mecanicista o determinista del mundo, por una parte, y por otra, las posibilidades de que el ser humano pueda acceder a ese conocimiento. A lo m´as que puede aspirar es a un conocimiento probable. Ah´ı parece estar la motivaci´on profunda para
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mayor parte de los cuales no son sino problemas de probabilidad”^3.
Pasa enseguida a concretar el concepto de probabilidad: “Todos los aconte- cimientos, incluso aquellos que por su insignificancia parecen no atenerse a las grandes leyes de la naturaleza, no son sino una secuencia tan necesaria como las revoluciones del Sol. Al ignorar los lazos que los unen al sistema total del universo, se los ha hecho depender de causas finales o del azar, seg´un que ocu- rrieran o se sucedieran con regularidad o sin orden aparente, pero estas causas imaginarias han ido siendo descartadas a medida que se han ido ampliando las fronteras de nuestro conocimiento, y desaparecen por completo ante la sana filosof´ıa que no ve en ellas m´as que la expresi´on de nuestra ignorancia de las verdaderas causas”^4.
La edici´on espa˜nola destaca en una nota (p. 24) la exposici´on de la concep- ci´on probabilista del conocimiento enfrentada a la determinista de la naturaleza. Y cita de las obras completas de Laplace la tajante aseveraci´on: “La palabra azar (chance) solo expresa nuestra ignorancia de las causas de los fen´ome- nos que observamos que ocurren y se suceden sin ning´un orden aparente. La probabilidad es relativa en parte a nuestra ignorancia y en parte a nuestro conocimiento”.
Laplace destaca el encadenamiento de los sucesos: “Los acontecimientos actuales mantienen con los que le preceden una relaci´on basada en el principio evidente de que una cosa no puede comenzar a existir sin una causa que la produzca. Este axioma, conocido con el nombre de principio de raz´on suficiente, se extiende incluso a las acciones m´as indiferentes”^5.
Se pueden hacer diferentes glosas a la aseveraci´on laplaciana. Una, por ejemplo, acerca de la evidencia del principio. Su primer formulador, Leibniz, intent´o diversos enunciados, sin que haya llevado su claridad m´as all´a de la penumbra. Parec´ıa querer contraponerlo al principio de no contradicci´on, fun- damento de las verdades de raz´on (y de ello hay rastros en Kant, educado filos´oficamente por leibnizianos); el principio de raz´on suficiente explicar´ıa las verdades de hecho leibnizianas.
La evidencia del principio, proclamada por Laplace, puede ser una especie de antirreflejo de la necesidad de explicaci´on que los seres humanos raciocinan- tes buscan desde los griegos. M´as que una causa definida hay un c´umulo de circunstancias dentro de las cuales la iniciativa es m´ınima.
Laplace menciona, enseguida, los efectos sin causa y lo que Leibniz deno-
(^3) p. 23. (^4) p. 24. (^5) p. 25.
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minaba el azar ciego de los epic´ureos; as´ı como “la ilusi´on del esp´ıritu que, perdiendo de vista las fugaces razones de la elecci´on de la voluntad en las cosas indiferentes, se persuade de que ella se ha determinado por s´ı misma y sin estar movida por nada”^6.
Seg´un Spinoza, tambi´en una piedra que cae, si tuviera conciencia, creer´ıa caer por su propia determinaci´on.
Viene, luego en el Ensayo Filos´ofico, uno de los pasajes m´as c´elebres de Laplace: “Hemos de considerar el estado actual del universo como el efecto de su estado anterior y como la causa del que ha de seguirle”. “Una inteligencia que un momento determinado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza, as´ı como la situaci´on respectiva de los seres que la componen, si adem´as fuera lo suficientemente amplia como para someter a an´alisis tales datos, podr´ıa abarcar en una sola f´ormula los movimientos de los cuerpos m´as grandes del universo y los del ´atomo m´as ligero; nada le resultar´ıa incierto y tanto el futuro como el pasado estar´ıan presentes ante sus ojos”^7.
De esta inteligencia hipot´etica el ser humano tiene un lejano conocimiento, gracias a lo que se ha hecho en astronom´ıa, pero ineluctablemente estar´a siem- pre alejado de ella. “El esp´ıritu humano ofrece, en la perfecci´on que ha sabido dar a la astronom´ıa, un d´ebil esbozo de esta inteligencia. Sus descubrimientos en mec´anica y geometr´ıa, junto con el de la gravitaci´on universal, le han pues- to en condiciones de abarcar en las mismas expresiones anal´ıticas los estados pasados y futuros del sistema del mundo”.
“Aplicando el mismo m´etodo a algunos otros objetos de su conocimiento, ha logrado reducir a leyes generales los fen´omenos observados y a prever aquellos otros que deben producirse en ciertas circunstancias”. “Todos sus esfuerzos por buscar la verdad tienden a aproximarlo continuamente a la inteligencia que acabamos de imaginar, pero de la que siempre permanecer´a infinitamente alejado”^8.
Laplace recuerda c´omo diversos fen´omenos eran considerados un tiempo como extraordinarios y trataban de ser conjurados mediante s´uplicas in´utiles. Por ejemplo, Halley establece que el cometa de los a˜nos 1531, 1607, 1682 re- tornar´a 76 a˜nos m´as tarde. As´ı comienza a cumplirse la predicci´on de S´eneca: “Llegar´a el d´ıa en que, gracias a un estudio continuo durante varios siglos, las cosas actualmente ocultas se presentar´an con toda evidencia, y la poste- ridad se asombrar´ıa de que verdades tan palpables hayan escapado a nuestra
(^6) p. 25. (^7) p. 25. (^8) pp. 25–26.
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3. Principios generales del c´alculo de
probabilidades
Lavoisier es el iniciador de la qu´ımica contempor´anea. Es posible que Laplace haya pensado en desempe˜nar un papel similar respec- to del c´alculo de probabilidades. El reconoce, sin embargo, que Pascal y Fermat´ han establecido principios y m´etodos para someter al c´alculo las relaciones de las probabilidades favorables o contrarias a los jugadores en los juegos m´as simples.
Su Ensayo Filos´ofico entra en materia enunciando los principios generales del c´alculo de probabilidades. Son 10.
Primer principio. Definici´on de probabilidad, es a saber, la raz´on entre el n´umero de casos favorables y el de todos los casos posibles.
Segundo principio. Los distintos casos son igualmente posibles. Si no lo son, habr´ıa que determinar primero sus posibilidades respectivas. La probabi- lidad ser´a la suma de las posibilidades de cada caso favorable.
Tercer principio. Las probabilidades aumentan o disminuyen debido a las combinaciones mutuas. Si los eventos son independientes, la probabilidad es el producto de las probabilidades particulares. En general, la probabilidad de que dadas las mismas circunstancias, un evento simple se repite un n´umero dado de veces es igual a la probabilidad de dicho evento simple elevada a la potencia indicada por dicho n´umero. Laplace se explaya aqu´ı en consideraciones que desbordan el c´alculo de probabilidades.
Un hecho transmitido por 20 testigos es una situaci´on comparable con la desaparici´on de la nitidez de los objetos por la interposici´on de varias placas de vidrio. En historia hay que considerar una degradaci´on de la probabilidad de los hechos cuando se los contempla a trav´es de un gran n´umero de generaciones sucesivas.
Cuarto principio. Cuando dos eventos dependen uno de otro, la probabi- lidad del evento compuesto es el producto de la probabilidad del primero por la probabilidad de que, habiendo sucedido ´este, tenga lugar el otro.
Quinto principio. Si se calculan a priori la probabilidad de un evento acaecido y la de un evento compuesto de ´este y de otro que se espera, la segunda probabilidad dividida por la primera constituir´a la probabilidad del evento esperado, inferida del observado.
Laplace introduce, en seguida, una gran cuesti´on: “Se presenta aqu´ı la cues-
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ti´on, debatida por algunos fil´osofos, relativa a la influencia del pasado sobre la probabilidad del futuro”.
Laplace comenta con hechos. Si aparece cara con m´as frecuencia que sello, puede ser porque la moneda est´a cargada. En la conducta de la vida, la dicha constante es una prueba de habilidad. Por la inestabilidad de las circunstancias, el pasado no puede arrojar mucha luz sobre el futuro.
Sexto principio. Laplace hace una extensa exposici´on sobre un principio conocido como la “regla de Bayes” que Bayes hab´ıa formulado en 1763. Seg´un nota en la edici´on que leo, Laplace se ocup´o en diversas oportunidades de esta regla de Bayes que considera el fundamento por el que los acontecimientos regulares se atribuyen a una causa concreta.
“Cada una de las causas a la que puede atribuirse un acontecimiento obser- vado se halla indicada con una verosimilitud tanto mayor cuanto m´as probable sea que ocurra el acontecimiento si se supone existente dicha causa. La pro- babilidad de la existencia de cualquiera de estas causas es, pues, una fracci´on cuyo numerador es la probabilidad del acontecimiento resultante de la causa en cuesti´on y cuyo denominador es la suma de las probabilidades semejantes relativas a todas las causas. Si estas distintas causas, consideradas a priori, son desigualmente probables, entonces, en lugar de la probabilidad del acon- tecimiento resultante para cada causa, debemos emplear el producto de dicha probabilidad por la de la causa misma. Este es el principio fundamental de la rama del an´alisis del azar que consiste en remontarse de los acontecimientos a las causas”.
Luego de discurrir sobre diversos casos de cara o sello, se˜nala Laplace: “La conclusi´on que debemos sacar de aqu´ı es que la probabilidad de la constancia de las leyes de la naturaleza es para nosotros superior a la de que la cosa de que se trate no deba tener lugar, siendo infinitamente superior a la de los hechos hist´oricos mejor verificados”.
Admitir una suspensi´on de las leyes de la naturaleza, apoy´andose en relatos de sucesos contrarios a estas leyes, merma la credibilidad. Pero lo que disminuye la credulidad de los hombres instruidos suele aumentar la del vulgo.
Laplace dedica varias p´aginas para hablar de Pascal y de Racine, “dos grandes hombres del siglo de Luis XIV”. “Entristece ver” c´omo ceden a la opini´on dominante y dan cr´edito a una narraci´on absurda, relativa a un milagro.
Por otra parte, Laplace se ocupa de la “apuesta de Pascal” o argumento pascaliano en favor de las ventajas que encierra el apostar por la existencia de Dios.
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Octavo principio. Cuando la esperanza matem´atica depende de varios acontecimientos se la obtiene tomando la suma de los productos de la proba- bilidad de cada acontecimiento.
Noveno principio. “En una serie de acontecimientos probables, de los cuales unos producen un beneficio u otros una p´erdida, se obtendr´a la ventaja resultante, sumando los productos de la probabilidad de cada acontecimiento favorable por el beneficio que produce y restando de esta suma la de los pro- ductos de la probabilidad de cada acontecimiento desfavorable por la p´erdida asignada a ´el. Si la segunda suma supera a la primera, el beneficio se convierte en p´erdida y la esperanza se transforma, en temor”.
En comentario a su noveno principio, Laplace se refiere al “problema de San Petersburgo” tratado ya por Nicol´as y por Daniel Bernoulli. Alguien juega a cara o sello con la condici´on de recibir dos unidades monetarias si obtiene cara en la primera jugada, cuatro si no obtiene cara sino en la segunda, ocho si solo en la tercera,... Por el octavo principio, su apuesta ha de ser igual al n´umero de jugadas, de suerte que si la partida prosigue hasta el infinito, su apuesta ha de ser infinita. Nadie estar´ıa dispuesto a exponer semejante cantidad. La pregunta es: ¿De d´onde proviene esta diferencia entre el resultado del c´alculo y lo que dice el sentido com´un? Bernoulli introduce el concepto de que la ventaja moral que un bien procura no es proporcional a dicho bien. Una unidad monetaria tiene mucho m´as valor para el que solo tiene 100 que para el millonario. En el beneficio esperado hay que distinguir valor absoluto y valor relativo. No es posible enunciar reglas generales para el valor relativo.
D´ecimo principio. El valor relativo de una suma infinitamente peque˜na es igual al valor absoluto dividido por el bien total de la persona interesada. Todo ser humano posee un cierto bien cuyo valor nunca puede suponerse nulo. Aquel que no posee nada confiere a su existencia un valor por lo menos equivalente a lo que le es absolutamente necesario para vivir.
Laplace deriva el comentario del d´ecimo principio hacia lo que denomina es- peranza moral, siguiendo la l´ınea de los Bernoulli. En una nota, el editor apunta que los economistas, siguiendo a los Bernoulli y a Laplace, han introducido lo que denominan utilidad marginal.
Hasta aqu´ı los enunciados que Laplace pone como fundamento a su concep- ci´on del c´alculo de probabilidades. Se ocupa en seguida de los m´etodos anal´ıti- cos del c´alculo de probabilidades para desarrollar tales principios. Se citan a continuaci´on algunas aseveraciones interesantes de Laplace.
“La forma m´as general y directa de resolver las cuestiones de probabili- dad consiste en hacerlas depender de ecuaciones diferenciales”. Laplace discu-
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rre sobre c´omo una partida de tres jugadores podr´ıa estudiarse mediante una ecuaci´on de diferencias finitas ordinarias y luego el caso para resolver por una ecuaci´on de diferencias parciales. Adem´as menciona la soluci´on, que para dos jugadores que suspenden un juego, propon´ıa Pascal a Fermat.
La edici´on espa˜nola, pp. 54–55, cita una notable apreciaci´on de un especia- lista del siglo XIX: “Un problema relativo a los juegos de azar, propuesto a un austero jansenista por un hombre de mundo, ha sido el origen del c´alculo de probabilidades” (Poisson). Y otra m´as, en el mismo sentido, de otro tratadista, George Boole (1815–1864) “El problema que el Caballero de M´er´e (un afamado jugador) propuso al solitario de Port Royal (cuando todav´ıa no se hab´ıa visto apartado de los intereses de la ciencia por la contemplaci´on, mucho m´as absor- bente, de la “grandeza y miseria humanas”) fue el primero de una larga serie de problemas destinado a dar origen a nuevos m´etodos de an´alisis matem´atico y a rendir un valioso servicio en las cuestiones pr´acticas de la vida”.
Las dos citas anteriores muestran por qu´e cabe destacar que Pascal se haya ocupado de un problema de juego, que este haya sido origen del c´alculo de probabilidades, y que Pascal la haya hecho girar hacia su enfermizo misticismo.
Laplace entra en el terreno de la historia de la matem´atica al mencionar diversas creaciones de Fermat: subtangentes de las curvas, puntos de inflexi´on, m´aximos y m´ınimos, funciones racionales, centros de gravedad de los s´olidos de revoluci´on, refracci´on de la luz.
Como D’Alembert y Lagrange (seg´un nota de la edici´on del Ensayo Fi- los´ofico) Laplace atribuye a Fermat la invenci´on del c´alculo diferencial pero menciona expl´ıcitamente el m´erito que corresponda, seg´un Laplace, a Newton, a Leibniz y a Descartes.
Al final del mismo par´agrafo acerca de los m´etodos anal´ıticos del c´alculo de probabilidades (p. 67) Laplace menciona sus propias contribuciones especial- mente en lo concerniente a integrales definidas singulares. Tales contribuciones reciben en conjunto el nombre de “c´alculo de funciones generatrices”, funda- mento de su obra, 1812, sobre teor´ıa de probabilidades.
Laplace alude a la inducci´on y la analog´ıa como medios descubrimientos, con la advertencia de que “sin embargo, siempre es conveniente confirmar con demostraciones directas los resultados obtenidos por estos distintos medios”. Ya hab´ıa sido anotada la cr´ıtica que se hace a los textos demostrativos de Laplace por darle mucha cabida a la intuici´on.
En un par´agrafo acerca de las leyes de la probabilidad que resultan de la multiplicaci´on indefinida de los acontecimientos, Laplace considera que “en medio de las causas variables y desconocidas agrupadas bajo el nombre de azar
Laplace: Ensayo filos´ofico sobre las probabilidades 171
las aguas de los mares, agitadas por violentas tempestades, son devueltas a su cauce por la acci´on de la gravedad”.
Una observaci´on para las guerras de independencia en la Am´erica hispana: “Es contrario a la naturaleza de las cosas que un pueblo sea gobernado eterna- mente por otro separado de ´el por un vasto mar o una gran distancia. Se puede afirmar que, a la larga, esta causa constante, en continua uni´on con las causas variables que act´uan en el mismo sentido y que el curso del tiempo desarrolla, acabar´a por adquirir la suficiente fuerza como para restituir al pueblo sometido su independencia natural o para vincularlo a un estado poderoso contiguo a ´el”.
Los p´arrafos anteriores someten diversos sucesos a un enfoque de largo al- cance que son un argumento para que el Ensayo lleve el calificativo de Filos´ofico.
Un poco m´as adelante anota Laplace que la relaci´on entre nacimientos de ni˜nos y de ni˜nas difiere muy poco de la unidad. La preocupaci´on de Laplace por los temas demogr´aficos fue muy grande, anota la editora, desde los pri- meros a˜nos setenta cuando el astr´onomo comenz´o su actividad investigativa; y contin´ua en 1814, como lo atestiguan diversas p´aginas del Ensayo Filos´ofico.
Algunos han aducido el que se haya registrado m´as nacimientos de ni˜nos que de ni˜nas en Par´ıs y Londres, como prueba de la providencia; tal prueba es para Laplace, un ejemplo del abuso que tan frecuentemente se ha hecho de las causas finales. Las fuerzas constantes que animan a los elementos en todas las combinaciones de la naturaleza establecen modos regulares de acci´on y de cambio. Los fen´omenos que m´as parecen depender del azar, al multiplicarse, manifiestan una tendencia a aproximarse incesantemente a relaciones fijas.
Laplace culmina este par´agrafo acerca de las leyes de la probabilidad que resultan de la multiplicaci´on indefinida de los acontecimientos, con el enuncia- do de la ley general de la probabilidad de los resultados indicados por un gran n´umero de observaciones: “La integral tomada entre unos l´ımites dados, y di- vidida por la misma integral extendida al infinito tanto positivo como negativo, expresar´ıa la probabilidad de que la discrepancia de la verdad est´e comprendida entre dichos l´ımites”.
En el par´agrafo (82–97) acerca del c´alculo de probabilidades, aplicado a la investigaci´on de los fen´omenos y de sus causas , hay algunas reflexiones dignas de ser destacadas. Es prudente suspender un juicio frente a lo que todav´ıa no se conoce. “Estamos tan lejos de conocer todos los agentes de la naturaleza y sus diferentes tipos de acci´on que no ser´ıa muy filos´ofico negar los fen´omenos por el hecho de que en el estado actual de nuestros conocimientos resulten inexplicables”.
Por el mismo estilo “en las instituciones humanas influyen tantas causas
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imprevistas, ocultas o inapreciables, que resulta imposible juzgar a priori los resultados de las mismas”.
Una instrucci´on para la pr´actica: “Es muy importante que en cada rama de la administraci´on p´ublica haya un registro minucioso de los efectos que han producido los diversos medios de los que se ha hecho uso. Apliquemos a las ciencias pol´ıticas y morales el m´etodo, basado en la observaci´on y el c´alculo que tan ´util nos ha sido en las ciencias naturales”. Seg´un nota de la editora, p. 35, este p´arrafo de Laplace figura en el volumen II de Sur l’homme et le d´eveloppment de ses facult´es. Essai de physique social de una obra donde Qu´etelet trata de hacer realidad la sugerencia de Laplace que era uno de los deseos de Condorcet. Tambi´en Poisson se expresa en el mismo sentido. Era, de seguro, una idea que estaba en el aire dado que Comte la realiza en su sociolog´ıa.
Laplace muestra c´omo ha servido el c´alculo de probabilidades a la astro- nom´ıa. El propio Laplace hall´o la causa de las grandes irregularidades de J´upiter y Saturno.
Laplace anota un acierto metodol´ogico, “La enorme dificultad de los pro- blemas relativos al sistema del mundo ha obligado a los ge´ometras a acudir a aproximaciones que siempre dejan la duda de que las cantidades dejadas de lado tengan una influencia apreciable. Cuando las observaciones les han llamado la atenci´on sobre esta influencia, han vuelto sobre su an´alisis, y, al rectificarlo, han hallado siempre la causa de las anomal´ıas observadas, han determinado sus leyes y, muchas veces, se han adelantado a la observaci´on descubriendo irregularidades todav´ıa no indicadas por ella. As´ı, pues, se puede decir que la propia naturaleza ha contribuido a la perfecci´on de las teor´ıas basadas en el principio de la gravitaci´on universal, lo que, en mi opini´on, constituye una de las pruebas m´as importantes de la verdad de este admirable principio”.
Seg´un la nota 22, Laplace considera el principio de la gravitaci´on universal como “la ley m´as incontestable de toda la ciencia f´ısica”. Laplace hace muchas menciones de c´omo ha servido el c´alculo de probabilidades a la astronom´ıa.
En el par´agrafo (97–102) acerca de los medios que es preciso elegir entre los resultados de un gran n´umero de observaciones lo m´as digno de desta- car es el enunciado que hace Laplace del principio de los m´ınimos cuadrados. Tal principio es la culminaci´on de indagaciones realizados sucesivamente por matem´aticos como Daniel Bernoulli, Euler, Gauss, Legendre y Laplace. Los ob- servadores y los instrumentos de observaci´on adolecen de errores que el c´alculo de probabilidades permite reducir.
“Si se toman las diferencias entre el resultado medio de todas las medidas y
