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LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LIBROS DE TEXTO DE
MATEMÁTICAS DE LOS PRIMEROS CURSOS DE LA ESO
History of mathematics in mathematics textbooks for the first years of
secondary education
Madrid, M.J.a, Maz-Machado, A.b, León-Mantero, C.b^ y López-Esteban, C.c. aUniversidad Pontificia de Salamanca, bUniversidad de Córdoba y cUniversidad de Salamanca.
Resumen
La historia de las matemáticas es considerada una herramienta motivadora con numerosas ventajas en su aplicación a la enseñanza de las matemáticas. A pesar de esto, su uso no está extendido en las aulas de los distintos niveles. Este trabajo presenta un estudio de caso sobre la inclusión de contenidos explícitos sobre la historia de las matemáticas en libros de texto de Matemáticas de primero y segundo curso de la Educación Secundaria Obligatoria. Para llevarlo a cabo, se ha realizado un análisis descriptivo de libros de texto de la Editorial Edelvives utilizando la técnica del análisis de contenido. Los resultados muestran la escasa relevancia que se le da a la historia de las matemáticas en estos libros de texto y como esta, independientemente del curso, suele aparecer de forma breve, como algo complementario o en muchos casos como ejercicios destinados a la búsqueda de información.
Palabras clave : Matemáticas, historia de las matemáticas, ESO, libros de texto.
Abstract
History of mathematics is considered a motivating tool with many advantages in its application to mathematics teaching. Despite this fact, its use is not extended in the classrooms of different levels. This paper presents a case study on the inclusion of explicit content about history of mathematics in Mathematics textbooks of the first and second years of Compulsory Secondary Education. To carry it out, it has been made a descriptive analysis of textbooks of the publishing house Edelvives. The technique applied is content analysis. The results show the little relevance that history of mathematics has in these textbooks. Independently of the year, it usually appears briefly as something complementary and in many occasions, these books only include exercises that aim to search for information about it.
Keywords : Mathematics, history of mathematics, Secondary Education, textbooks.
INTRODUCCIÓN
La historia de las matemáticas es un campo de esta disciplina que puede utilizarse con distintos fines en el proceso de enseñanza aprendizaje de contenidos matemáticos. Entre las múltiples propuestas y consideraciones que se han realizado durante las últimas décadas sobre los beneficios y aportaciones de la inclusión de la historia de las matemáticas en el aula, se incluye la propuesta de Rico (1997). Este considera la historia de las matemáticas como un organizador curricular, indicando que la información histórica puede aportar motivaciones, ejemplos y ejercicios curiosos para los alumnos.
Madrid, M.J, Maz-Machado, A., León Mantero, C. y López-Esteban, C. (2018). La historia de las matemáticas en libros de texto de matemáticas de los primeros cursos de la ESO. En Editor1, Editor2 y Editor3 (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXII (pp. inicial-final). Gijón: SEIEM.
Madrid, M.J., Maz-Machado, A., León-Mantero, C. y López-Esteban, C.
Por su parte Arcavi (1991) plantea dos beneficios del uso de historia en el aula: sensibilizar al profesor sobre las posibles dificultades que pueden experimentar sus alumnos en matemáticas y a su vez ayudar a reexaminar los conceptos, a no tomar las ideas como algo garantizado, sino a favorecer su discusión.
Barbin (1991) destaca además los efectos positivos que pueden producirse a través de la lectura de textos originales, que permiten a profesores y alumnos conocer la naturaleza de la actividad matemática, como se elaboró el conocimiento matemático, etc.
Ernest (1998) valora la incorporación de la historia para facilitar entre otras muchas mejoras, la consideración del origen de las matemáticas como algo intercultural, proveer a los profesores de una herramienta con la que anticiparse a los futuros errores de sus alumnos y en definitiva mejorar la percepción que tienen los alumnos de las matemáticas y sus actitudes hacia ella.
Bidwell (1993) expone que la historia de las matemáticas permite humanizar las matemáticas favoreciendo que los estudiantes conecten con esta asignatura, acercándoles a las vidas y obras de matemáticos de otros tiempos, a las matemáticas en otras culturas, etc.
Destacan las palabras de Fauvel (1991) que proporciona múltiples razones para el uso de la historia de las matemáticas:
● Como elemento motivador del alumnado. ● Para ayudar a los alumnos a cambiar su percepción sobre esta materia. ● Para enseñar al alumnado como se han desarrollado los conceptos. ● Para comparar las técnicas que se utilizaban en la antigüedad con las actuales y así poder establecer el valor de las modernas. ● Para conocer las dificultades y errores que han surgido a lo largo de los años y así favorecer tanto que el profesor comprenda cuales son las posibles dificultades que tendrán sus alumnos, como que estos se den cuenta que no son los únicos con problemas. ● Para animar a los alumnos a conocer más sobre esta materia. ● Para desarrollar un acercamiento multicultural y explicar el papel de las matemáticas en la sociedad. ● Como oportunidad para la investigación. ● Para favorecer la realización de actividades relacionadas con otras asignaturas distintas de las matemáticas, favoreciendo el aprendizaje interdisciplinar.
En este sentido, Wang, Qi y Wang (2017) categorizan los valores educativos de la historia de las matemáticas incluidos en distintas propuestas de inclusión en el aula realizadas en China. Para ello se proponen seis dimensiones en las que encuadran los valores implícitos en estas propuestas:
● La armonía del conocimiento. ● La belleza de las ideas o los métodos. ● El placer de los interrogantes. ● La mejora de las capacidades. ● El encanto de las culturas. ● La disponibilidad de la educación moral.
Madrid, M.J., Maz-Machado, A., León-Mantero, C. y López-Esteban, C.
variedad y riqueza de sus contenidos, su incidencia en el aula y su función como transmisor de contenidos socialmente aceptados (González y Sierra, 2004).
Entre los numerosos ejemplos de distintas investigaciones en libros de texto de matemáticas, se encuentran las de Monterrubio y Ortega (2009, 2011) acerca de modelos de análisis y valoración de manuales escolares de matemáticas, Azcarate y Serradó (2006) analizan las tendencias didácticas presentes en los libros de texto de matemáticas para la ESO, Balcaza, Contreras y Font (2017) que analizan cómo se desarrolla la optimización matemática en tres libros de texto de bachillerato o el estudio del concepto de continuidad a partir de manuales escolares de educación secundaria de la segunda mitad del siglo XX (Sierra, González y López, 2003).
Esta diversidad de estudios realizados en las últimas décadas, continúa poniendo de manifiesto la relevancia de los libros de texto en los procesos de enseñanza-aprendizaje. Esto, en un momento como el actual en el que el auge de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación, implantadas ya en la gran mayoría de aspectos de nuestra sociedad incluido el entorno escolar y proporcionando numerosos recursos tanto visuales como informáticos para su uso en las aulas, ha hecho que el protagonismo de los libros impresos haya disminuido, sin embargo el libro de texto es todavía un importante recurso educativo y tiene cabida aún en muchas aulas.
Teniendo en cuenta tanto la relevancia que aún posee el libro de texto en la enseñanza actual como las distintas teorías que inciden en los beneficios de la utilización de la historia de las matemáticas en el aula, el objetivo de este trabajo es conocer si se incluyen referencias explícitas a la historia de las matemáticas en libros de texto de Educación Secundaria Obligatoria de la asignatura Matemáticas, que según el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato forma parte de los cursos 1.º y 2.º de ESO y en caso afirmativo analizar para qué contenidos se incluye la historia de las matemáticas y cómo se incluye.
METODOLOGÍA
La investigación que se realizará será cualitativa, exploratoria, descriptiva y muestral (Fox, 1981). En el análisis se ha puesto el foco en la inclusión de contenidos explícitos sobre la historia de las matemáticas en libros de texto de la asignatura Matemáticas para los dos primeros cursos de la Educación Secundaria.
Se realizará un estudio de caso de libros de 1.º de la ESO y 2.º de la ESO de la editorial EDELVIVES. Para la elección de los libros se tuvo en cuenta:
● Idioma: Los libros estaban escritos en castellano. ● Contenidos: La editorial dispone de libros de matemáticas de los dos primeros cursos de la ESO. ● Uso: La editorial se utiliza ampliamente en institutos y colegios. ● Disponibilidad: Por tanto la muestra elegida es intencional y por conveniencia.
Como técnica de investigación se utilizó el análisis de contenido, porque es uno de los métodos empleados frecuentemente para la investigación en Educación Matemática (Fernández-Cano y Rico, 1992).
Se definieron como unidades de análisis las unidades temáticas de cada uno de los manuales estudiados. Para ello se leyeron y analizaron todos los contenidos utilizados en los libros y posteriormente se categorizaron.
La historia de las matemáticas en libros de texto de matemáticas de los primeros cursos de la ESO
Para el análisis, el punto de partida no fueron un conjunto de categorías preestablecidas sino que las categorías se determinaron y consensuaron mediante una triangulación realizada por expertos del área de Didáctica de la Matemática tras un primer análisis de las obras.
Título del libro
Autores Año de publicación Editorial ¿Se incluyen menciones a la historia de las matemáticas? Historia de las matemáticas (Únicamente si la respuesta a la pregunta anterior es positiva). ¿Con qué contenidos se relaciona la historia de las matemáticas?
Números y álgebra Geometría Funciones Estadística y probabilidad Contenido que incluye menciones a la historia de las matemáticas ¿Dónde aparece la historia de las matemáticas?
En la presentación de la unidad En las explicaciones teóricas En ejercicios y problemas En imágenes o fotografías En explicaciones complementarias
La división por contenidos se ha realizado teniendo en cuenta los bloques en los que el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato, organiza los contenidos matemáticos tanto para las asignaturas: Matemáticas (1.º y 2.º ESO), Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas (3.º y 4.º ESO) y Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas (3.º y 4.º ESO).
El bloque de “Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas” que también se incluye en estas asignaturas, no se ha tenido en cuenta porque tal y como se indica en el Real Decreto 1105/ debe desarrollarse de modo transversal y simultáneamente al resto de bloques.
RESULTADOS
Los primeros libros analizados son Matemáticas ESO 1, volumen 1 (Mejía, Romero y Ocaña, 2015a), volumen 2 (Mejía, Romero y Ocaña, 2015b) y volumen 3 (Mejía, Romero y Ocaña, 2015c), de la editorial EDELVIVES.
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La historia de las matemáticas en libros de texto de matemáticas de los primeros cursos de la ESO
Además, problemas como el de los granos de trigo en el tablero de ajedrez que históricamente han formado parte de numerosos textos matemáticos, sí se incluyen pero sin hacer referencia a aspectos de tipo histórico, por ejemplo su resolución en distintos libros a lo largo de la historia que podrían resultar interesantes, como muestran los planteamientos de Gómez (1999).
En resumen, en esta obra las menciones explicitas a la historia de las matemáticas no son numerosas y se incluyen principalmente en el tema de números naturales y en los temas geométricos.
En los libros Matemáticas ESO 2, volumen 1 (Romero, Ocaña y Mejía, 2016a), volumen 2 (Romero, Ocaña y Mejía, 2016b) y volumen 3 (Romero, Ocaña y Mejía, 2016c) de la editorial EDELVIVES, se incluyen también menciones a la historia de las matemáticas en 10 de los 15 temas (aunque nuevamente en muchos casos se trata de una única mención a lo largo de todo el tema).
Destacan fundamentalmente los ejercicios para investigar y en ocasiones posteriormente exponer o crear un mural, ya sea de forma individual, por parejas o en grupos y normalmente recomendando el uso de Internet. Se pregunta sobre distintos aspectos:
● El origen de los números enteros y su evolución a lo largo de la historia. ● El origen de las fracciones y, en concreto, el origen de las palabras fracción y quebrado. ● La evolución de los números decimales a través de la historia. ● El origen del álgebra y su evolución a lo largo de la historia. ● El papiro de Rhind. Además, se pregunta también por algún ejercicio concreto que aparezca en el papiro de Rhind y en otro ejercicio pide nuevamente enunciar y plantear alguna de las ecuaciones que aparecen en ese documento histórico. ● El matemático Pitágoras de Samos. ● El conocimiento del teorema de Pitágoras en las civilizaciones anteriores a los griegos. ● La figura de Tales de Mileto y las aplicaciones que de sus conocimientos hizo en su vida. ● La presencia de los poliedros regulares en la historia y los diferentes matemáticos que los han estudiado. En definitiva se destaca fundamentalmente la labor de la historia de las matemáticas como procuradora de oportunidades para la investigación y como fuente para conocer la evolución de los conceptos, planteando incluso la lectura de un texto original.
Junto a estos ejercicios, se incluyen breves menciones a la historia de la matemática en las explicaciones teóricas de la criba de Eratóstenes, del algoritmo de Euclides (mencionando su VII libro de los Elementos ), de la regla de Laplace o del teorema de Pitágoras y sus aplicaciones a la agrimensura.
A su vez se incluyen imágenes y comentarios al margen al tratar distintos temas. Por ejemplo se habla de Eratóstenes al hablar de su criba, de Pierre Simón Laplace al hablar de la regla de Laplace, para el teorema de Pitágoras se incluyen en los márgenes la tablilla de Yale con un comentario y otro comentario acerca del triángulo pitagórico en el antiguo Egipto, al hablar del teorema de Tales se incluye al margen una imagen y un comentario sobre Tales de Mileto (Figura 1), también aparece una imagen al margen de cinco bolas de piedra tallada que según la obra datan del final del Neolítico para hablar de poliedros regulares.
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Madrid, M.J., Maz-Machado, A., León-Mantero, C. y López-Esteban, C.
Figura 1. Imagen y comentario al margen sobre Tales (Romero, Ocaña y Mejía, 2016c, p.252).
Nuevamente algunos contenidos como la recta de Euler, la fórmula de Euler o los sólidos platónicos no llevan ninguna mención al matemático que les da nombre.
En otro tipo de ejercicios se habla de la conjetura de Goldbach diciendo que es uno de los problemas matemáticos abiertos más antiguos, para plantear simplemente después la comprobación de esta conjetura en distintos números. Algo similar ocurre para la resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado, se incluye el histórico problema del epitafio de la tumba del matemático griego Diofanto de Alejandría aunque desde el punto de vista histórico solo se realiza un comentario sobre que el autor dedicó parte de su vida a la resolución de problemas algebraicos y posteriormente se plantea el problema. En ninguno de los dos casos se utiliza la historia con otros objetivos.
Sin embargo, entre las aplicaciones más destacables de la historia de las matemáticas se podría considerar la siguiente que hace hincapié en contrastar las ventajas de las técnicas modernas con las antiguas y además favorece la comprensión del origen de las matemáticas como algo intercultural:
En la antigüedad, los chinos no utilizaban el signo “-” para representar los números negativos, sino que escribían estos en color rojo para diferenciarlos de los positivos, que se escribían en negro. De este hecho viene la expresión “números rojos”, que se utiliza cuando una persona, empresa o institución deben dinero, es decir, cuando su saldo es un número negativo. Sin efectuar las operaciones, escribe de color rojo las que vayan a tener signo negativo y en negro aquellas que vayan a ser positivas (Romero, Ocaña y Mejía, 2016a, p. 48).
Nuevamente los contenidos en los que predomina la historia de las matemáticas son los de números y álgebra y geometría (fundamentalmente geometría plana). Prueba de ello es que tanto en la presentación de la unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones como en la Triángulos. Teorema de Pitágoras aparecen imágenes, comentarios y preguntas relacionadas directamente con la historia de las matemáticas. Incluso en la presentación de la unidad Semejanza. Teorema de Tales aparece entre otras imágenes El hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, que si bien no está directamente relacionado con la historia de las matemáticas, si puede evocar conversaciones al respecto. En definitiva, en estos libros la presencia de la historia de las matemáticas es mayor, aunque queda prácticamente relegada a la búsqueda y exposición de información o a la inclusión de datos de algunos autores.
Madrid, M.J., Maz-Machado, A., León-Mantero, C. y López-Esteban, C.
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