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CÁLCULO VECTORIAL
LA CATENARIA
¿Cómo se forma la Catenaria? Definimos la catenaria como la curva ideal descrita por una cadena que se encuentra colgada fijada por sus dos extremos y está sometida a un campo gravitatorio uniforme. Video sobre la catenaria: https://www.youtube.com/watch?v=NnjnlxfB_D La catenaria es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos (x0, y0), (x1, y1) y por su longitud L. ECUACIONES Ecuación de la Catenaria con condiciones iniciales: [ 1 ]
La ecuación simplificada de la catenaria: [ 1 ] Simulador para probar diferentes valores de : https://www.geogebra.org/m/mHNXPadq#material/ZHjmcTqe APLICACIONES La catenaria se utiliza mucho en el campo de la arquitectura e ingeniería. Podemos verlas comúnmente en los cables que cuelgan de los postes de luz. En ingeniería se puede calcular la tensión máxima, la longitud del mismo y más. Todo gracias a conocer las propiedades y ecuaciones de la catenaria. En arquitectura es muy común encontrar el arco catenario. Este es el arco que reproduce exactamente la morfología de una curva catenaria invertida. Todas las características matemáticas de la catenaria se conservan cuando su gráfica se invierte. El arco catenario es la forma ideal para el arco que se soporta a sí mismo, además para arcos catenarios de igual longitud, cuando mayor es la altura, más pequeño es el empuje horizontal en los puntos de arranque, con lo que se pueden obtener grandes alturas con mínimos empujes laterales. Al ser un arco muy seguro y estable, el famoso arquitecto Antonio Gaudí lo usaba casi todo el tiempo en sus obras. Gaudí procuraba que cada estructura fuera estable, con el uso de la catenaria lo conseguía y aparte eran obras muy “extrañas” e impresionantes.
Sin embargo, hoy sabemos que, aunque el trazado de la parábola se asemeja mucho al trazado de la catenaria, ambas curvas son diferentes pues mientras la parábola está descrita por una ecuación cuadrática, en la expresión de la catenaria se involucran funciones hiperbólicas.
Leonhard Euler demostró que la catenaria es la curva que, rotada sobre el eje x produce una forma tridimensional que fue tras el plano, la primera superficie mínima descubierta, el catenoide. GRÁFICA Gráfica de una catenaria con , iniciando en y terminando en. Documento de Excel : ..\Desktop\CATENARIA.mht 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -15 -10 -5 0 5 10 15
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BIBLIOGRAFÍA
http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Chip% geom%C3%A9trico/Catenaria.pdf [ 1 ] http://apncs.cie.uma.es/cabri/ses-3.html https://repositorio.unican.es/xmlui/bitstream/handle/10902/16915/TFGIgorSierra.pdf?seq uence=1&isAllowed=y http://gaceta.rsme.es/abrir.php?id= https://www.math10.com/es/matematicas-universitarias/geometria- analitica/lemniscata-cicloide-hipocicloide-catenaria-trocoide.html https://www.uv.es/ivorra/Libros/Catenaria.pdf
