INSTITUTO
TECNOLOGICO
DE CHIHUAHUA
INGENIERÍA INDUSTRIAL
Investigación de Operaciones
TAREA 2: El Método Simplex, Gran M y Dos Fases
MES. ARTURO SALVADOR CABALLERO BURGOS
Saray Ríos Ramírez. 18060171
Lunes, 15 de marzo del 2021
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Método Simplex: Una Guía Paso a Paso para la Optimización Lineal, Apuntes de Investigación de Operaciones
tarea de investigacion de operaciones
Tipo: Apuntes
2020/2021
1 / 24
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INSTITUTO
TECNOLOGICO
DE CHIHUAHUA
INGENIERÍA INDUSTRIAL
Investigación de Operaciones
TAREA 2: El Método Simplex, Gran M y Dos Fases
MES. ARTURO SALVADOR CABALLERO BURGOS
Saray Ríos Ramírez. 18060171
Lunes, 15 de marzo del 2021
1.- A qué se llama variable de holgura, variables superfluas y variables artificiales y su uso. Variable de holgura: Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menor o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado. Variables superfluas: toda restricción lineal de la forma ∑aij Xi ≥ bi se puede convertir en igualdad restando una nueva variable no negativa al término de la izquierda de la desigualdad, de tal manera que absorba la diferencia entre el término de la izquierda y el de la derecha. A esta nueva variable se le llama variable superflua. Variables artificiales: después de que todas las restricciones normales se han convertido en igualdades, agregando variables de holgura y superfluas, ahora, agréguese una nueva variable en el lado izquierdo de la igualdad en aquella restricción que no aparezca una variable de holgura. Esta nueva variable recibe el nombre de variable artificial. 2.- Qué es una solución aumentada, qué es una solución básica y qué es una solución básica factible. Solución aumentada es una solución para las variables de decisión del problema junto con los valores de las variables de holgura. Solución básica es una solución en un vértice aumentada, es decir, es una solución que contiene valores de las variables de decisión del problema y de las variables holgura. Estas soluciones básicas pueden ser factibles o no dependiendo de si el vértice pertenece o no al conjunto factible (conjunto de puntos que cumplen todas las restricciones del problema). En un problema el número de variables básicas es igual al número de restricciones del problema (sin considerar las condiciones de no negatividad). El número de variables no básicas es igual a los grados de libertad del problema Solución Básica Factible (SBF) es aquella que además de pertenecer a la región o área factible del problema se puede representar a través de una solución factible en la aplicación del Método Simplex satisfaciendo las condiciones de no negatividad. 3.-Explique qué es una prueba de optimalidad y una prueba de factibilidad. Para determinar si la solución básica actual es óptima, se usa la ecuación (0) para reescribir la función objetivo en términos nada más de las variables no básicas actuales. Z = 30 + 3x1 - 5x4/
DONDE X 1 , X 2 … XN SON LAS VARIABLES DEL PROBLEMA.
ANTES DE LLEVAR NUESTRO MODELO A LA FORMA ESTÁNDAR
DEBEMOS VERIFICAR QUE TODAS LAS RESTRICCIONES TIENEN EL
LADO DERECHO NO NEGATIVO. ES DECIR:
B 1 , B 2 … BM ≥ 0
¿QUÉ HAGO SI EL LADO DERECHO DE LA RESTRICCIÓN ES NEGATIVO?
CUANDO EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE LA RESTRICCIÓN ES
NEGATIVO, SE DEBE MULTIPLICAR POR -1 A TODA LA RESTRICCIÓN
PARA CONVERTIR EL VALOR DEL LADO DERECHO EN POSITIVO. ESTA
MULTIPLICACIÓN TAMBIÉN AFECTARÁ AL SIGNO DE LA RESTRICCIÓN
DE LA SIGUIENTE FORMA:
SI LA RESTRICCIÓN ES DEL TIPO MAYOR IGUAL (≥), SE DEBERÁ
CAMBIAR A MENOR IGUAL (≤).
EN CASO LA RESTRICCIÓN SEA DEL TIPO MENOR IGUAL (≤), SE
DEBERÁ CAMBIAR A MAYOR IGUAL (≥).
SI LA RESTRICCIÓN ES UNA IGUALDAD, EL SIGNO SE MANTIENE.
UN CASO ESPECIAL ES CUANDO EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE LA
RESTRICCIÓN ES 0 Y EL SIGNO ES MAYOR IGUAL (≥); EN DICHA
SITUACIÓN, PODEMOS MULTIPLICAR LA RESTRICCIÓN POR (-1) PARA
CONVERTIRLA EN MENOR IGUAL (≤). ESTO NOS SERVIRÁ PARA NO
UTILIZAR VARIABLES ARTIFICIALES COMO VEREMOS
POSTERIORMENTE.
CONVERTIR RESTRICCIONES EN IGUALDADES
PARA CONVERTIR LAS RESTRICCIONES EN IGUALDADES VA A
DEPENDER DE SU SIGNO:
SI LA RESTRICCIÓN ES MENOR IGUAL (≤): PARA ESTE TIPO DE
RESTRICCIONES DEBEMOS INTRODUCIR UNA VARIABLE NO
NEGATIVA LLAMADA DE HOLGURA Y QUE SON AUXILIARES PARA EL
PROBLEMA. POR EJEMPLO:
CUANDO LA RESTRICCIÓN ES MAYOR IGUAL (≥): EN ESTE TIPO DE
RESTRICCIONES SE DEBE RESTAR UNA VARIABLE DE EXCESO Y ASÍ
MISMO AGREGAR UNA VARIABLE ARTIFICIAL. POR EJEMPLO:
SI LA RESTRICCIÓN ES IGUAL (=): EN ESTE TIPO DE
RESTRICCIONES DEBEMOS AGREGAR UNA VARIABLE ARTIFICIAL DE
LA SIGUIENTE FORMA:
EL MÉTODO SIMPLEX “TRADICIONAL” O “BÁSICO” QUE ABORDAREMOS
EN ESTA ENTRADA, SE UTILIZA PARA LOS PROBLEMAS DE
PROGRAMACIÓN LINEAL DONDE TODAS LAS RESTRICCIONES SON DEL
VECTOR SOLUCIÓN: EN ESTA COLUMNA SE COLOCA LA
SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL Y SE VA ACTUALIZANDO CONFORME SE
REALIZAN LAS ITERACIONES. EN LA COLUMNA CB SE INDICA EL
COEFICIENTE QUE CORRESPONDE A CADA VARIABLE EN EL
VECTOR DE COSTES. ASÍ MISMO SIEMPRE SE INICIARÁ CON LAS
VARIABLES DE HOLGURA EN LA BASE CUANDO EL PROBLEMA NO
TENGA VARIABLES ARTIFICIALES.
COEFICIENTES RESTRICCIONES: SE COLOCAN LOS
COEFICIENTES DE LAS RESTRICCIONES EN EL MISMO ORDEN EN
QUE FUERON FORMULADAS. LA COLUMNA R CONTIENE A LOS
TÉRMINOS INDEPENDIENTES TAMBIÉN CONOCIDO COMO VECTOR
DE RECURSOS.
VECTOR DE COSTES REDUCIDOS: TAMBIÉN CONOCIDO COMO
PRECIOS SOMBRA. ESTE VECTOR SE CALCULA MULTIPLICANDO EL
VECTOR SOLUCIÓN POR LOS COEFICIENTES DE LAS
RESTRICCIONES Y SE RESTA EL VECTOR DE COSTES. ESTE
PROCEDIMIENTO LO EXPLICAREMOS AL DETALLE EN NUESTRA
ENTRADA DEL MÉTODO DE LAS DOS FASES Y DE LA M GRANDE,
DONDE SE PRESENTAN VARIABLES ARTIFICIALES. EN LOS
EJERCICIOS QUE VEREMOS EN ESTA ENTRADA, AL NO EXISTIR
VARIABLES ARTIFICIALES, EL VECTOR DE COSTES SERÁ IGUAL AL
VECTOR DE COSTES MULTIPLICADO POR “-1”.
2. DETERMINAR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL:
COMO HABÍAMOS MENCIONADO, EL MÉTODO SIMPLEX PARTE DE UN
VÉRTICE DE LA REGIÓN FACTIBLE, ES DECIR, UN PUNTO EXTREMO.
CON CADA ITERACIÓN AVANZAREMOS DE VÉRTICE EN VÉRTICE HASTA
LLEGAR A LA SOLUCIÓN ÓPTIMA.
EN NUESTRO CASO, EN LA MATRIZ ELABORADA PODEMOS VER LA
SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL QUE
SERÍA S 1 =35, S 2 =18 Y S 3 =26 (CADA
VARIABLE DEL VECTOR SOLUCIÓN
SE IGUALA AL VALOR QUE SE
ENCUENTRA EN LA COLUMNA R.
ESTAS VARIABLES SE DENOMINAN
VARIABLES BÁSICAS. EL VALOR
DE Z INICIAL TAMBIÉN SE MUESTRA
EN LA COLUMNA R QUE ES.
LAS VARIABLES QUE NO SE
ENCUENTRAN EN LA BASE SE DENOMINAN VARIABLES NO BÁSICAS Y
EN ESTE CASO SERÍAN X 1 Y X 2. AMBAS TIENEN UN VALOR DE 0. ¿CON
ESTA SOLUCIÓN TENEMOS EL MEJOR VALOR DE Z? PARA SABERLO
DEBEMOS CONTINUAR AL SIGUIENTE PASO:
3. SELECCIONAR LA VARIABLE DE ENTRADA UTILIZANDO LA
CONDICIÓN DE OPTIMALIDAD
CON NUESTRA MATRIZ FINALIZADA E IDENTIFICADA NUESTRA
SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL REVISAREMOS LA CONDICIÓN DE
OPTIMALIDAD.
CONDICIÓN DE OPTIMALIDAD:
LA CONDICIÓN DE OPTIMALIDAD CONSISTE EN VERIFICAR SI LA
SOLUCIÓN ACTUAL QUE TENEMOS EN NUESTRA MATRIZ ES LA ÓPTIMA
O SI SE PUEDE MEJORAR. SE VERIFICA DE LA SIGUIENTE MANERA:
EN UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN SI TODOS LOS
COEFICIENTES DEL VECTOR DE COSTES REDUCIDOS SON MAYORES
O IGUALES QUE CERO, QUIERE DECIR QUE ESTAMOS EN EL PUNTO
ÓPTIMO Y FINALIZA EL PROBLEMA.
EN UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN SI TODOS LOS
COEFICIENTES DEL VECTOR DE COSTES REDUCIDOS SON MENORES
O IGUALES QUE CERO, QUIERE DECIR QUE ESTAMOS EN EL PUNTO
ÓPTIMO Y FINALIZA EL PROBLEMA.
SIGUIENDO CON EL EJEMPLO, SIENDO EL PROBLEMA DE
MAXIMIZACIÓN, PODEMOS VER QUE EN EL VECTOR DE COSTES
REDUCIDOS EXISTEN VALORES NEGATIVOS, LO QUE SIGNIFICA QUE NO
ESTAMOS EN EL ÓPTIMO. ESO QUIERE DECIR QUE DEBEMOS INICIAR
LAS ITERACIONES SELECCIONANDO LA VARIABLE DE ENTRADA.
VARIABLE DE ENTRADA
LA VARIABLE DE ENTRADA HACE REFERENCIA A UNA DE LAS
VARIABLES NO BÁSICAS QUE INGRESARÁ A LA BASE Y FORMARÁ
PARTE DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA.
LOS CRITERIOS PARA SELECCIONAR LA VARIABLE DE ENTRADA
DEPENDE SI EL PROBLEMA ES DE MAXIMIZACIÓN O MINIMIZACIÓN:
SOLUCIÓN ILIMITADA NO ACOTADA.
VARIABLE DE SALIDA
PARA DETERMINAR LA VARIABLE QUE SALE DE LA BASE SE DEBE
DIVIDIR EL VALOR CORRESPONDIENTE A LA COLUMNA R CON SU
RESPECTIVO COEFICIENTE EN LA COLUMNA DE LA VARIABLE DE
ENTRADA (SIEMPRE Y CUANDO ESTE COEFICIENTE SEA
ESTRICTAMENTE POSITIVO).
DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS, EL MENOR VALOR CORRESPONDE A
LA FILA QUE CONTIENE A LA VARIABLE DE SALIDA. ESTA FILA LA
LLAMAREMOS FILA PIVOTE
VEREMOS SU APLICACIÓN CON EL EJEMPLO:
LA VARIABLE DE SALIDA SERÍA S 2. EL NÚMERO QUE SE ENCUENTRA AL
CRUZAR LA FILA PIVOTE Y LA COLUMNA PIVOTE ES EL ELEMENTO
PIVOTE; EN NUESTRO CASO SERÍA 3 :
5. ACTUALIZAR LA MATRIZ
UNA VEZ DETERMINADO NUESTRO ELEMENTO PIVOTE, REALIZAREMOS
LAS OPERACIONES DE GAUSS-JORDAN PARA FORMAR
NUESTRA MATRIZ IDENTIDAD. EL NUEVO VALOR DE CADA FILA SE
CALCULARÁ DE LA SIGUIENTE MANERA:
PARA LA FILA PIVOTE: EL NUEVO VALOR SE OBTENDRÁ
DIVIDIENDO EL VALOR ACTUAL ENTRE EL ELEMENTO PIVOTE.
NUEVO VALOR FILA PIVOTE = VALOR ACTUAL FILA PIVOTE / ELEMENTO
PIVOTE
PARA LAS OTRAS FILAS: EL NUEVO VALOR SE CALCULA
RESTANDO DEL VALOR ACTUAL, LA MULTIPLICACIÓN DEL
ELEMENTO DE LA FILA QUE SE ENCUENTRA EN LA COLUMNA
PIVOTE POR EL NUEVO VALOR CALCULADO EN LA FILA PIVOTE.
NUEVO VALOR = VALOR ACTUAL – (ELEMENTO FILA COLUMNA
PIVOTE*NUEVO VALOR FILA PIVOTE).
PARA ENTENDERLO MEJOR, CONTINUAREMOS RESOLVIENDO EL
EJEMPLO. INICIAREMOS CON LA FILA PIVOTE:
PARA LA FILA S 3 TENEMOS:
FINALMENTE EN LA FILA Z TENEMOS:
LA MATRIZ RESULTANTE SERÍA:
CÓMO PUEDES VER LA POSICIÓN DONDE SE ENCONTRABA NUESTRO
ELEMENTO PIVOTE AHORA ES 1 Y LOS ELEMENTOS QUE LO
ACOMPAÑAN EN LA COLUMNA SE CONVIERTEN EN 0. ES ASÍ QUE
EMPEZAMOS A FORMAR NUESTRA MATRIZ IDENTIDAD.
5.- A qué se llama iteración. La iteración es el acto de repetir un proceso, para generar una secuencia de resultados (posiblemente ilimitada), con el objetivo de acercarse a un propósito o resultado deseado. En el contexto de las matemáticas o la informática, la iteración (junto con la técnica relacionada de recursión) es un bloque de construcción estándar de algoritmos. 6.- Cómo se rompen los empates en el método simplex. Degeneración: La degeneración ocurre cuando en alguna iteración del método simplex existe un empate en la selección de la variable que sale este empate se rompe arbitrariamente. Sin embargo, cuando suceda esto, una o más de las variables básicas será necesariamente igual a cero en la siguiente iteración. En este caso decimos que la nueva solución es degenerada. 7.- Cómo determinamos que existe degeneración en el método simplex. Es cuando al aplicar la condición de factibilidad del método simplex, se puede romper un empate en la razón mínima en forma arbitraria, entonces, cuando se
presenta un empate al menos una variable básica será cero en la siguiente iteración y se dice que la nueva solución es degenerada. Si esto sucede, la solución degenerada nos lleva a un ciclado, ya que la condición indica que el modelo tiene al menos una restricción redundante. 8.- Cómo se determina que existen soluciones óptimas múltiples. múltiples o infinitas soluciones óptimas: Esto significa que existe un tramo de soluciones factibles que reportan idéntico valor para la función objetivo y que no es posible mejorar. En este contexto si luego de aplicar las iteraciones que resulten necesarias por el Método Simplex a un modelo de Programación Lineal (tabla óptima o tableau óptimo) se verifica que una variable no básica óptima tiene costo reducido igual a cero, esto permitirá afirmar que estamos ante el caso de infinitas soluciones. 9.- Cómo se determina que existen soluciones no acotadas En la aplicación del Método Simplex, un problema no acotado se detecta cuando en una iteración cualquiera existe una variable no básica con costo reducido negativo y todos los elementos en la columna de dicha variable son negativos o cero. Es decir, no se puede seleccionar un pivote para determinar la variable que debe dejar la base. 10.- Cómo se determina que no existe solución factible. se da cuando los modelos de programación lineal con restricciones inconsistentes no tienen solución factible. Estos casos suceden si todas las restricciones son del tipo menor o igual que, lo que hace suponer que los lados derechos son no negativos porque las holguras permiten tener una solución factible. Para otros tipos de restricciones se usan variables artificiales. Aunque estas se penalizan en la función objetivo, para obligarlas a ser cero en el óptimo, lo que solo puede suceder si el modelo tiene un espacio que sea factible, ya que en caso contrario al menos una variable artificial será positiva en la iteración óptima, este tipo de caso también indica la posibilidad de que el modelo no fue bien formulado. 11.- Explique el caso de Minimización. Condición de parada: cuando en la fila Z no aparece ningún valor positivo. Condición de entrada a la base: el mayor valor positivo en la fila Z indica la variable Pj que entra a la base.
Adicionalmente la aplicación de la técnica de la M Grande implica teóricamente que M tiende a infinito. Sin embargo al usar la computadora M debe ser finito, pero suficientemente grande. En específico M debe ser lo bastante grande como para funcionar como penalización, al mismo tiempo no debe ser tan grande como para perjudicar la exactitud de los cálculos del Método Simplex, al manipular una mezcla de números muy grandes y muy pequeños. 13.- Explique los pasos del Método de las Dos Fases y cuándo se usa. Para este tipo de casos se han creado muchas metodologías que buscan resolver este tipo de problemáticas buscando la solución a través de diversos procesos. Una de estas alternativas es el método de las dos fases, el cual, como su nombre lo indica, trabaja por medio de 2 fases o procedimientos, con el objetivo de encontrar primeramente una solución factible inicial y después pasar a resolver el modelo a través del método simplex. Para utilizar este método se deber tener el modelo en su forma ampliada, las variables de decisión deben de ser reales y mayores a cero. Las fases del método se describen a continuación: Fase 1 (Se busca la primera Solución básica factible): Consideramos un modelo de programación lineal que se encuentra en su forma canónica, este modelo debe de ser transformado en su forma ampliada agregando variables artificiales en las restricciones donde el origen no es una solución. Ahora se cambia la función objetivo por una función de minimización donde las variables de decisión son las variables artificiales, pero tomamos el conjunto de restricciones de la función original. Procedemos a resolver el modelo que tenemos planteado hasta que se dé uno de los siguientes casos: las variables artificiales salen de la base o la función objetivo obtiene el valor de cero. Si no ocurre ninguno, entonces el modelo no tiene solución Fase 2 (Resolvemos el modelo con la nueva solución encontrada): Eliminamos las variables artificiales de las restricciones, pero conservamos los cambios que se dieron durante la fase 1. Regresamos a la función objetivo original y resolvemos el modelo con los cambios que se dieron en las restricciones durante la fase 1.
EJERCICIOS
PROBLEMA 1.- RESUELVA POR MÉTODO SIMPLEX: SIGA TODOS LOS PASOS Y HAGA TODOS LOS TABLEADOS.
- MAXIMICE: Z = 120 X1 + 80 X RESTRICCIONES: 2 X1 + X2 menor o igual a 6 7 x1 + 8x2 menor o igual a 28 CON: Todas las variables no negativas o positivas. PROBLEMA 2.- A.- RESUELVA POR EL MÉTODO DE LA GRAN M. SIGA TODOS LOS PASOS Y HAGA TODOS LOS TABLEADOS. B.- RESUELVA POR EL MÉTODO DE LAS DOS FASES. SIGA TODOS LOS PASOS Y HAGA TODOS LOS TABLEADOS.
- MINIMICE: Z = 80 X1 + 60 X RESTRICCIONES: 0.20 X1 + 0.32 X2 menor o igual a 0. X1 + X2 = 1 CON: Todas las variables positivas o no negativas.