Ejercicios de Física Básica II: Movimiento Armónico Simple y Superposición de Movimientos, Apuntes de Física

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Capitulo I Oscilaciones

Fisica Básica II

Fisica Básica II

Capitulo I Oscilaciones

UNIVERSIDAD MAYOR, REAL Y PONTIFICIA DE

SANFRANCISCO XAVIER DE CHUQUISACA

FACULTAD DE TECNOLOGIA

FISICA BASICA II

(FIS 102)

C O N T E N I D O

I. OSCILACIONES ............................................................................................................ 3

II. ELASTICIDAD ............................................................................................................ 28

III. HIDROSTATICA .......................................................................................................... 25

IV. HIDRODINAMICA...................................................................................................... 52

V. TEMPERATURA Y DILATACION ............................................................................. 71

VI. CANTIDAD DE CALOR ............................................................................................. 82

VII. TRANSMISION DE CALOR ...................................................................................... 89

VIII. PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA........................................................... 100

IX. TEORIA CINETICA DE LOS GASES ...................................................................... 111

X. LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA ................................................... 125

Capitulo I Oscilaciones

CAPITULO I

OSCILACIONES

En el curso anterior hemos estudiado el movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza constante. Nos

hemos referido al movimiento uniformemente acelerado (MUA).

En éste capítulo estudiaremos el movimiento de un cuerpo cuando la fuerza que actúa sobre él no es

constante, sino varía durante el movimiento.

Aunque la fuerza puede variar de muchas maneras, en cualquier momento se cumplirá la S egunda ley de

Newton : F = m a ó m = F/a.

Un movimiento cualquiera que se repita a intervalos de tiempo iguales se llama movimiento periódico.

El desplazamiento de una partícula en un movimiento periódico, como veremos más adelante, se puede

expresar siempre mediante senos y cosenos , y como las expresiones donde figuran éstas funciones se

denominan armónicas a menudo el movimiento periódico se llama movimiento periódico.

Si una partícula que tiene movimiento periódico se mueve alternativamente en un sentido y en otro, siguiendo

la misma trayectoria, su movimiento es denominado oscilatorio o vibratorio.

CAPITULO I

OSCILACIONES

En el curso anterior hemos estudiado el movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza constante.hemos referido al movimiento uniformemente acelerado (MUA). Nos

En éste capítulo estudiaremos el movimiento de un cuerpo cuando la fuerza que actúa sobre él no es constante, sino varía durante el movimiento. Aunque la fuerza puede variar de muchas maneras, en cualquier momento se cumplirá la S Newton : F = m a ó m = F/a. egunda ley de

Un movimiento cualquiera que se repita a intervalos de tiempo iguales se llama movimiento periódico. El desplazamiento de una partícula en un movimiento periódico, como veremos más adelante, se puede expresar siempre mediantedenominan armónicas a menudo el movimiento periódico se llama senos y cosenos , y como las expresiones donde figuran éstas funciones se movimiento periódico.

Si una partícula que tiene movimiento periódico se mueve alternativamente en un sentido y en otro, siguiendo la misma trayectoria, su movimiento es denominado oscilatorio o vibratorio.

El movimiento de un péndulo de un reloj de pared es oscilatorio. Un cuerpo en el extremo de un resorte estirado, una vez que se suelta comienza a oscilar. El movimiento de lasSimilarmente los átomos en una molécula vibran unos con respecto a otros. cuerdas de los instrumentos musicales es vibratorio. Los átomos de un sólido están vibrando.

Muchos cuerpos oscilantes no se mueven entre límites fijos bien definidos, porque las fuerzas fricciónales, disipan la energía del movimiento; así un péndulo deja de oscilar, una cuerda deja de vibrar, etc. Estos movimientos reciben el nombre de Movimientos Armónicos Amortiguados. Aunque no podemos eliminar la fricción de los movimientos periódicos, a menudo se pueden anular susefectos de amortiguamiento suministrando energía al sistema oscilante, de manera de compensar la energía disipada por fricción. El resorte principal de un reloj de pulsera y la pesa de un reloj de péndulo suministranla energía externa, de tal forma que el sistema oscilante se mueve como si no estuviese amortiguado.

No solamente los sistemas mecánicos pueden oscilar. Las ondas de radio, las microondas y la luz visible son vectores de campo magnético y eléctrico oscilantes. Como veremos en un capítulo posterior, las oscilacionesmecánicas y electromagnéticas están descritas por las mismas ecuaciones matemáticas básicas.

El movimiento de un péndulo de un reloj de pared es oscilatorio.

Un cuerpo en el extremo de un resorte estirado, una vez que se suelta comienza a oscilar. El movimiento

de las cuerdas de los instrumentos musicales es vibratorio. Los átomos de un sólido están vibrando.

Similarmente los átomos en una molécula vibran unos con respecto a otros.

Muchos cuerpos oscilantes no se mueven entre límites fijos bien definidos, porque las fuerzas fricciónales,

disipan la energía del movimiento; así un péndulo deja de oscilar, una cuerda deja de vibrar, etc.

Estos movimientos reciben el nombre de Movimientos Armónicos Amortiguados.

Aunque no podemos eliminar la fricción de los movimientos periódicos, a menudo se pueden anular sus

efectos de amortiguamiento suministrando energía al sistema oscilante, de manera de compensar la energía

disipada por fricción. El resorte principal de un reloj de pulsera y la pesa de un reloj de péndulo suministran

la energía externa, de tal forma que el sistema oscilante se mueve como si no estuviese amortiguado.

No solamente los sistemas mecánicos pueden oscilar. Las ondas de radio, las microondas y la luz visible

son vectores de campo magnético y eléctrico oscilantes. Como veremos en un capítulo posterior, las

oscilaciones mecánicas y electromagnéticas están descritas por las mismas ecuaciones matemáticas básicas.

Fisica Básica II

Estudiemos una partícula que oscila en vaivén sobre una línea recta entre límites fijos.

Su desplazamiento x cambia periódicamente, tanto en magnitud como en sentido. Su velocidad v y su

aceleración a también varían periódicamente en magnitud y en sentido y en vista de la relación F=ma ,

también lo hace así la fuerza F que actúa sobre la partícula.

En términos de la energía, podemos decir, que una partícula que está en movimiento armónico pasa en uno

y otro sentido por un punto en el cual su energía potencial es mínima (su posición de equilibrio).

La fuerza que actúa sobre la partícula de masa m , en cualquier posición puede obtenerse de la función de

la energía potencial:

Podemos representar la variación de la fuerza con la posición de la partícula:

La fuerza es cero en la posición de equilibrio (punto 0), apunta hacia la derecha (tiene un valor positivo)

cuando la partícula está a la izquierda de 0, y apunta hacia la izquierda (tiene un valor negativo) cuando la

partícula está a la derecha de 0.

La fuerza F es una fuerza de restitución porque actúa siempre de manera de acelerar a la partícula en la

dirección de su posición de equilibrio

La energía mecánica total E de una partícula oscilante es la suma de su energía cinética y de su energía

potencial, es decir:

Energía Mecánica = Energía Cinética + Energía Potencial

E = K + U

X 1 0 X 1

Estudiemos una partícula que oscila en vaivén sobre una línea recta entre límites fijos.

Su desplazamiento x cambia periódicamente, tanto en magnitud como en sentido. Su velocidad v y su aceleracióntambién lo hace así la fuerza a también varían F periódicamente enque actúa sobre la partícula. magnitud y en sentido y en vista de la relación F=ma ,

En términos de la energía, podemos decir, que una partícula que está en movimiento armónico pasa en uno yotro sentido por un punto en el cual su energía potencial es mínima (su posición de equilibrio).

La fuerza que actúa sobre la partícula de masaenergía potencial: m , en cualquier posición puede obtenerse de la función de la

𝐹𝐹 = − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Podemos representar la variación de la fuerza con la posición de la partícula: La fuerza es cero en la posición de equilibrio (punto 0), apunta hacia la derecha (tiene un valor positivo) cuando la partícula está a la izquierda de 0, y apunta hacia la izquierda (tiene un valor negativo) cuando lapartícula está a la derecha de 0. La fuerza F es una fuerza de restitución porque actúa siempre de manera de acelerar a la partícula en la dirección de su posición de equilibrio

La energía mecánica totalpotencial, es decir: E de una partícula oscilante es la suma de su energía cinética y de su energía Energía Mecánica = Energía Cinética + Energía Potencial E = K + U

X 2 X 1

X 1 X 1

m

X m

U (^) (x) = Energía potencial

Pendiente = tan = dU/dx α

α

X 2

X 1

X 1

X 1

m X

m

a

F (^) (x)

F = ma

v

m (^) F F

Estudiemos una partícula que oscila en vaivén sobre una línea recta entre límites fijos.

Su desplazamiento x cambia periódicamente,aceleración a también varían periódicamente en tanto en magnitud como en sentido magnitud y en sentido y en vista de la relación. Su velocidad v y su F=ma , también lo hace así la fuerza F que actúa sobre la partícula.

En términos de la energía, podemos decir, que una partícula que está en movimiento armónico pasa en uno y otro sentido por un punto en el cual su energía potencial es mínima (su posición de equilibrio). La fuerza que actúa sobre la partícula de masaenergía potencial: m , en cualquier posición puede obtenerse de la función de la

𝐹𝐹 = − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Podemos representar la variación de la fuerza con la posición de la partícula: La fuerza es cero en la posición de equilibrio (punto 0), apunta hacia la derecha (tiene un valor positivo) cuando la partícula está a la izquierda de 0, y apunta hacia la izquierda (tiene un valor negativo) cuando lapartícula está a la derecha de 0. La fuerza F es una fuerza de restitución porque actúa siempre de manera de acelerar a la partícula en la dirección de su posición de equilibrio

La energía mecánica totalpotencial, es decir: E de una partícula oscilante es la suma de su energía cinética y de su energía Energía Mecánica = Energía Cinética + Energía Potencial E = K + U

X 2 X 1

X 1 X 1

m

X m

U (^) (x) = Energía potencial

Pendiente = tan = dU/dx α

α

X 2

X 1

X 1

X 1

m X

m

a

F (^) (x)

F = ma

v

m (^) F F

Estudiemos una partícula que oscila en vaivén sobre una línea recta entre límites fijos.

Su desplazamiento x cambia periódicamente,aceleración a también varían periódicamente en tanto en magnitud como en sentido magnitud y en sentido y en vista de la relación. Su velocidad v y su F=ma , también lo hace así la fuerza F que actúa sobre la partícula.

En términos de la energía, podemos decir, que una partícula que está en movimiento armónico pasa en uno y otro sentido por un punto en el cual su energía potencial es mínima (su posición de equilibrio). La fuerza que actúa sobre la partícula de masaenergía potencial: m , en cualquier posición puede obtenerse de la función de la

𝐹𝐹 = − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Podemos representar la variación de la fuerza con la posición de la partícula: Lacuando la partícula está a la izquierda de 0, y apunta hacia la izquierda (tiene un valor negativo) cuando la fuerza es cero en la posición de equilibrio (punto 0), apunta hacia la derecha (tiene un valor positivo) partícula está a la derecha de 0. La fuerzadirección de su F es una posición de equilibrio fuerza de restitución porque actúa siempre de manera de acelerar a la partícula en la

La energía mecánica total E de una partícula oscilante es la suma de su energía cinética y de su energía potencial, es decir: Energía Mecánica = Energía Cinética + Energía Potencial E = K + U

X 2 X 1

X 1 X 1

m

X m

U (^) (x) = Energía potencial

Pendiente = tan = dU/dx α

α

X 2

X 1

X 1

X 1

m X

m

a

F (^) (x)

F = ma

v

m (^) F F

Estudiemos una partícula que oscila en vaivén sobre una línea recta entre límites fijos.

Su desplazamiento x cambia periódicamente, tanto en magnitud como en sentido. Su velocidad v y su aceleracióntambién lo hace así la fuerza a también varían F periódicamente enque actúa sobre la partícula. magnitud y en sentido y en vista de la relación F=ma ,

En términos de la energía, podemos decir, que una partícula que está en movimiento armónico pasa en uno yotro sentido por un punto en el cual su energía potencial es mínima (su posición de equilibrio). La fuerza que actúa sobre la partícula de masa m , en cualquier posición puede obtenerse de la función de la energía potencial: 𝐹𝐹 = − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Podemos representar la variación de la fuerza con la posición de la partícula: Lacuando la partícula está a la izquierda de 0, y apunta hacia la izquierda (tiene un valor negativo) cuando la fuerza es cero en la posición de equilibrio (punto 0), apunta hacia la derecha (tiene un valor positivo) partícula está a la derecha de 0. La fuerza F es una fuerza de restitución porque actúa siempre de manera de acelerar a la partícula en la dirección de su posición de equilibrio

La energía mecánica total E de una partícula oscilante es la suma de su energía cinética y de su energía potencial, es decir: Energía Mecánica = Energía Cinética + Energía Potencial E = K + U

X 2 X 1

X 1 X 1

m

X m

U (^) (x) = Energía potencial

Pendiente = tan = dU/dx α

α

X 2

X 1

X 1

X 1

m X

m

a

F (^) (x)

F = ma

v

m (^) F F

Fisica Básica II

De donde:

Esta partícula oscilante recibe el nombre de oscilador armónico simple y su movimiento se llama movimiento

armónico simple.

Recordemos que en el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), los límites de la oscilación están igualmente

espaciados a uno y otro lado de la posición de equilibrio.

Veamos algunas definiciones muy características del movimiento armónico:

La magnitud del desplazamiento máximo , x 1 , se llama amplitud A del movimiento armónico simple.

El periodo T de un movimiento armónico es el tiempo requerido para completar un viaje redondo del

movimiento, es decir una oscilación completa o ciclo.

La frecuencia f , del movimiento es el número de oscilaciones o ciclos por unidad de tiempo. La frecuencia

es por tanto la inversa del periodo:

La unidad en el SI de la frecuencia es el ciclo por segundo o Hertz (Hz).

En la ecuación U(x) = ½ k x^2 , reconocemos la expresión de la energía potencial de un resorte ideal,

comprimido o estirado en una distancia x, en la cuál la fuerza ejercida está dada por F = -kx, siendo k la

denominada constante elástica del resorte.

En la posición de equilibrio la fuerza neta es nula, el resorte no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo.

Cuando el cuerpo está a la derecha de la posición de equilibrio (resorte estirado), la fuerza apunta hacia la

izquierda y viene dada por F= -kx, y cuando el cuerpo está a la izquierda (resorte comprimido) la fuerza

apunta a la derecha y vale también F=-kx.

F es una fuerza de restauración denominada fuerza recuperadora elástica.

De donde: F = - k x Esta partícula oscilante recibe el nombre de oscilador armónico simple y su movimiento se llama movimiento armónico simple. Recordemos que en el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), los límites de la oscilación están igualmenteespaciados a uno y otro lado de la posición de equilibrio. Veamos algunas definiciones muy características del movimiento armónico: La magnitud del desplazamiento máximo , x 1 , se llama amplitud A del movimiento armónico simple. El periodo T de un movimiento armónico es el tiempo requerido para completar un viaje redondo del movimiento, es decir una oscilación completa o ciclo. La frecuencia f por tanto la inversa del periodo:, del movimiento es el número de oscilaciones o ciclos por unidad de tiempo. La frecuencia es

La unidad en el SI de la frecuencia es el ciclo por segundo o Hertz (Hz). En la ecuación U(x) = ½ k x 2 , reconocemos la expresión de la energía potencial de un resorte ideal, comprimidodenominada (^) constante elástica o estirado en una distancia x, en la cuál la fuerza del resorte. ejercida está dada por F = -kx, siendo k la

En la posición de equilibrio la fuerza neta es nula, el resorte no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo. Cuando el cuerpo está a la derecha de la posición de equilibrio (resorte estirado), la fuerza apunta hacia laizquierda y viene dada por F= -kx, y cuando el cuerpo está a la izquierda (resorte comprimido) la fuerza apunta a la derecha y vale también F=-kx. F es una fuerza de restauración denominada fuerza recuperadora elástica.

De donde: F = - k x Esta partícula oscilante recibe el nombre de armónico simple. oscilador armónico simple y su movimiento se llama movimiento Recordemos que en el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), los límites de la oscilación están igualmente espaciados a uno y otro lado de la posición de equilibrio. Veamos algunas definiciones muy características del movimiento armónico: La magnitud del desplazamiento máximo , x 1 , se llama amplitud A del movimiento armónico simple. El periodo T movimiento, es decir de un movimiento armónico es el tiempo requerido para completar un viaje redondo del una oscilación completa o ciclo. La frecuencia f , del movimiento es el número de oscilaciones o ciclos por unidad de tiempo. La frecuencia es por tanto la inversa del periodo:

La unidad en el SI de la frecuencia es el ciclo por segundo o Hertz (Hz). En la ecuación U(x) =comprimido o estirado en una distancia x, en la cuál la fuerza ½ k x 2 , reconocemos la expresión de la energía potencial de un resorte ideal, ejercida está dada por F = -kx, siendo k la denominada constante elástica del resorte.

En la posición de equilibrio la fuerza neta es nula, el resorte no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo.Cuando el cuerpo está a la derecha de la posición de equilibrio (resorte estirado), la fuerza apunta hacia la izquierda y viene dada por F= -kx, y cuando el cuerpo está a la izquierda (resorte comprimido) la fuerzaapunta a la derecha y vale también F=-kx. F es una fuerza de restauración denominada fuerza recuperadora elástica.

De donde: F = - k x Esta partícula oscilante recibe el nombre de oscilador armónico simple y su movimiento se llama movimiento armónico simple. Recordemos que en el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), los límites de la oscilación están igualmenteespaciados a uno y otro lado de la posición de equilibrio. Veamos algunas definiciones muy características del movimiento armónico: La magnitud del desplazamiento máximo , x 1 , se llama amplitud A del movimiento armónico simple. El periodo T de un movimiento armónico es el tiempo requerido para completar un viaje redondo del movimiento, es decir una oscilación completa o ciclo. La frecuencia f por tanto la inversa del periodo:, del movimiento es el número de oscilaciones o ciclos por unidad de tiempo. La frecuencia es

La unidad en el SI de la frecuencia es el ciclo por segundo o Hertz (Hz). En la ecuación U(x) = ½ k x 2 , reconocemos la expresión de la energía potencial de un resorte ideal, comprimidodenominada (^) constante elástica o estirado en una distancia x, en la cuál la fuerza del resorte. ejercida está dada por F = -kx, siendo k la

En la posición de equilibrio la fuerza neta es nula, el resorte no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo.Cuando el cuerpo está a la derecha de la posición de equilibrio (resorte estirado), la fuerza apunta hacia la izquierda y viene dada por F= -kx, y cuando el cuerpo está a la izquierda (resorte comprimido) la fuerzaapunta a la derecha y vale también F=-kx. F es una fuerza de restauración denominada fuerza recuperadora elástica.

Capitulo I Oscilaciones

Por lo tanto, un cuerpo de masa m fijo a un resorte ideal de constante elástica k , libre de moverse en una

superficie horizontal sin fricción es un ejemplo de un oscilador armónico simple, siendo su movimiento un

movimiento armónico simple.

Apliquemos la segunda ley de Newton F = ma , al movimiento del resorte. Para un oscilador armónico

simple F=-kx y para la aceleración ponemos

Esta ecuación contiene derivadas y por lo tanto se dice que es una ecuación diferencial. Resolver esta

ecuación quiere decir determinar la forma en que el desplazamiento x de la partícula debe depender del

tiempo para que dicha ecuación quede satisfecha.

Cuando sabemos como depende x del tiempo, conocemos el movimiento de la partícula, por lo tanto la

ecuación anterior se llama la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple. Describamos a

continuación en detalle este movimiento.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Se trata de obtener las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se

mueve con M.A.S.

Consideremos nuevamente, una partícula que se mueve en uno y otro sentido, al rededor de un punto de

equilibrio:

La fuerza que actúa sobre la partícula es únicamente la fuerza recuperadora elástica : -kx; por la segunda

ley de Newton:

Donde m es la masa del cuerpo y k/m es constante.

Es decir la aceleración es directamente proporcional a la elongación x pero de sentido contrario a ella.

“La aceleración está siempre dirigida hacia el punto medio de la trayectoria”.

La velocidad del cuerpo en cualquier punto, puede obtenerse a partir del principio de la conservación de la

energía , suponiendo despreciables las fuerzas de rozamiento.

Por lo tanto, un cuerpo de masa m fijo a un resorte ideal de constante elástica k , libre de moverse en una superficie horizontal sin fricción es un ejemplo de un oscilador armónico simple, siendo su movimiento unmovimiento armónico simple. Apliquemos la segunda ley de Newton F = ma , al movimiento del resorte. Para un oscilador armónico simple F=-kx y para la aceleración ponemos 𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑!𝑡𝑡𝑥𝑥!

− 𝑘𝑘 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 𝑑𝑑 𝑑𝑑!𝑡𝑡𝑥𝑥! o 𝑑𝑑!𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡!^ +^

𝑚𝑚 𝑥𝑥^ =^0

Esta ecuación contiene derivadas y por lo tanto se dice que es una ecuación diferencial. Resolver esta ecuación quiere decir determinar la forma en que el desplazamiento x de la partícula debe depender deltiempo para que dicha ecuación quede satisfecha. Cuando sabemos como depende x del tiempo, conocemos el movimiento de la partícula, por lo tanto la ecuación anterior se llamacontinuación en detalle este movimiento. la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple. Describamos a

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Se trata de obtener las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se muevecon M.A.S. Consideremos nuevamente, una partícula que se mueve en uno y otro sentido, al rededor de un punto de equilibrio:

La fuerza que actúa sobre la partícula es únicamente lade Newton: fuerza recuperadora elástica : -kx; por la segunda ley F = - k x = m a

𝑎𝑎 = − !! x

Donde m es la masa del cuerpo y k/m es constante. Es decir la aceleración es directamente proporcional a la elongación x pero de sentido contrario a ella. "La aceleración está siempre dirigida hacia el punto medio de la trayectoria". La velocidad del cuerpo en cualquier punto, puede obtenerse a partir del energía , suponiendo despreciables las fuerzas de rozamiento. principio de la conservación de la

- X 1 0

m v + X (^1)

F 1

Por lo tanto, un cuerpo de masasuperficie horizontal sin fricción es un ejemplo de un oscilador armónico simple, siendo su movimiento un m fijo a un resorte ideal de constante elástica k , libre de moverse en una movimiento armónico simple. Apliquemos la segunda ley de Newton F=-kx y para la aceleración ponemos F = ma , al movimiento del resorte. Para un oscilador armónico simple

𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑!𝑡𝑡𝑥𝑥!

− 𝑘𝑘 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 𝑑𝑑 𝑑𝑑!𝑡𝑡𝑥𝑥! o 𝑑𝑑!𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡!^ +^

𝑚𝑚 𝑥𝑥^ =^0

Esta ecuación contiene derivadas y por lo tanto se dice que es una ecuación diferencial. Resolver esta ecuación quiere decir determinar la forma en que el desplazamiento x de la partícula debe depender deltiempo para que dicha ecuación quede satisfecha. Cuando sabemos como depende x del tiempo, conocemos el movimiento de la partícula, por lo tanto la ecuación anterior se llamacontinuación en detalle este movimiento. la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple. Describamos a

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Se trata de obtener las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se muevecon M.A.S. Consideremos nuevamente, una partícula que se mueve en uno y otro sentido, al rededor de un punto de equilibrio:

La fuerza que actúa sobre la partícula es únicamente lade Newton: fuerza recuperadora elástica : -kx; por la segunda ley F = - k x = m a

𝑎𝑎 = − !! x

Donde m es la masa del cuerpo y k/m es constante. Es decir la aceleración es directamente proporcional a la elongación x pero de sentido contrario a ella. "La aceleración está siempre dirigida hacia el punto medio de la trayectoria". La velocidad del cuerpo en cualquier punto, puede obtenerse a partir del principio de la conservación de la energía , suponiendo despreciables las fuerzas de rozamiento.

- X 1 0

m v + X (^1)

F 1

Por lo tanto, un cuerpo de masasuperficie horizontal sin fricción es un ejemplo de un oscilador armónico simple, siendo su movimiento un m fijo a un resorte ideal de constante elástica k , libre de moverse en una movimiento armónico simple. Apliquemos la segunda ley de Newton F=-kx y para la aceleración ponemos F = ma , al movimiento del resorte. Para un oscilador armónico simple

𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑!𝑡𝑡𝑥𝑥!

− 𝑘𝑘 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 𝑑𝑑

o^ 𝑑𝑑𝑡𝑡! 𝑑𝑑!𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡!^ +^

𝑚𝑚 𝑥𝑥^ =^0

Esta ecuación contiene derivadas y por lo tanto se dice que es una ecuación diferencial.ecuación quiere decir determinar la forma en que el desplazamiento x de la partícula debe depender del Resolver esta tiempo para que dicha ecuación quede satisfecha. Cuando sabemos como depende x del tiempo, conocemos el movimiento de la partícula, por lo tanto laecuación anterior se llama la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple. Describamos a continuación en detalle este movimiento.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Se trata de obtener las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se mueve con M.A.S. Consideremos nuevamente, una partícula que se mueve en uno y otro sentido, al rededor de un punto deequilibrio:

La fuerza que actúa sobre la partícula es únicamente la fuerza recuperadora elástica : -kx; por la segunda ley de Newton: F = - k x = m a

𝑎𝑎 = − !! x

Donde m es la masa del cuerpo y k/m es constante. Es decir la aceleración es directamente proporcional a la elongación x pero de sentido contrario a ella. "La aceleración está siempre dirigida hacia el punto medio de la trayectoria". La velocidad del cuerpo en cualquier punto, puede obtenerse a partir del energía , suponiendo despreciables las fuerzas de rozamiento. principio de la conservación de la

- X 1 0

m v + X (^1)

F 1

Capitulo I Oscilaciones

Para obtener la elongación x del movimiento en función del tiempo, separemos variables e integremos la

ecuación de la velocidad:

La cantidad (w t + f) se denomina fase del movimiento. La constante f se llama la constante de fase (esto

es, su valor cuando t = 0).

Aunque hemos definido el movimiento armónico simple en función de una expresión senoidal, puede

igualmente expresarse en función de una expresión cosenoidal, el único cambio sería una diferencia inicial

de fase de p/2:

De modo que en el tiempo t = 0 el desplazamiento es cero para x=A Senwt. Cuando f = 0, el desplazamiento

x=ACoswt es máximo en el tiempo t = 0. Otras condiciones iniciales corresponden a otras constantes de fase.

Determinemos ahora el significado físico de la constante w. Si en la ecuación del desplazamiento

x=ASen(wt+f) se aumenta el tiempo en 2p/w, la función se transforma en:

Es decir, que la función simplemente se repite a sí misma después de un tiempo 2p/w. Por lo tanto, 2p/w

es el periodo T del movimiento. Como w^2 = k/m tenemos:

Para obtener la elongación x del movimiento en función del tiempo, separemos variables e integremos la ecuación de la velocidad:

𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝐴𝐴!^ − 𝑥𝑥!

𝐴𝐴^2 − 𝑥𝑥^2 =^ 𝑘𝑘^ 𝑚𝑚^ 𝑑𝑑𝑑𝑑

Cuando t = 0 ; x= x (^0) 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴! !! ; 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ∅ =! !! ∅ = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴! !!

Si escogemos la constante k/m= ω^2 :

x = A Sen [ ω t + Ø ]

La cantidad (su valor cuando t = 0).ω t + φ) se denomina fase del movimiento. La constante φ se llama la constante de fase (esto es,

Aunque hemos definido el movimiento armónico simple en función de una expresión senoidal, puedeigualmente expresarse en función de una expresión cosenoidal, el único cambio sería una diferencia inicial de fase de π/2: si: Ø = π/ 2 x = A Sen(ω t + π/ 2 )

x = A Cos ω t

De modo que en el tiempo t = 0 el desplazamiento es cero para x=A Senωt. Cuando φ = 0, el desplazamiento x=ACosωt es máximo en el tiempo t = 0. Otras condiciones iniciales corresponden a otras constantes de fase. Determinemos ahora el significado físico de la constante ω. Si en la ecuación del desplazamiento x=ASen(ωt+φ) se aumenta el tiempo en 2π/ω, la función se transforma en: x = A Sen[ω (t + 2 π /ω) + Ø] = A Sen(ωt + 2 π + Ø) = A Sen(ωt + Ø) Es decir, que la función simplemente se repite a sí misma después de un tiempo 2π/ω. Por lo tanto, 2π/ω es el periodo T del movimiento. Como ω^2 = k/m tenemos:

Para obtenerecuación de la velocidad: la elongación x del movimiento en función del tiempo, separemos variables e integremos la

𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝐴𝐴!^ − 𝑥𝑥!

𝐴𝐴^2 − 𝑥𝑥^2

Cuando t = 0 ; x= x (^0) 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴! !! ; 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ∅ =! !! ∅ = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴! !!

Si escogemos la constante k/m= ω^2 :

x = A Sen [ ω t + Ø ]

La cantidad (su valor cuando t = 0).ω t + φ) se denomina fase del movimiento. La constante φ se llama la constante de fase (esto es, Aunque hemos definido el movimiento armónico simple en función de una expresión senoidal, puede igualmente expresarse en función de una expresión cosenoidal, el único cambio sería una diferencia inicial de fase de π/2: si: Ø = π/ 2 x = A Sen(ω t + π/ 2 )

x = A Cos ω t

De modo que en el tiempo t = 0 el desplazamiento es cero para x=A Senωt. Cuando φ = 0, el desplazamiento x=ACosωt es máximo en el tiempo t = 0. Otras condiciones iniciales corresponden a otras constantes de fase. Determinemos ahora el significado físico de la constante ω. Si en la ecuación del desplazamiento x=ASen(ωt+φ) se aumenta el tiempo en 2π/ω, la función se transforma en: x = A Sen[ω (t + 2 π /ω) + Ø] = A Sen(ωt + 2 π + Ø) = A Sen(ωt + Ø) Es decir, que la función simplemente se repite a sí misma después de un tiempo 2π/ω. Por lo tanto, 2π/ω es el periodo T del movimiento. Como ω^2 = k/m tenemos:

Para obtener la elongación x del movimiento en función del tiempo, separemos variables e integremos la ecuación de la velocidad:

𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝐴𝐴!^ − 𝑥𝑥!

𝐴𝐴^2 − 𝑥𝑥^2

Cuando t = 0 ; x= x (^0) 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴! !! ; 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ∅ =! !! ∅ = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴! !!

Si escogemos la constante k/m= ω^2 :

x = A Sen [ ω t + Ø ]

La cantidad (su valor cuando t = 0).ω t + φ) se denomina fase del movimiento. La constante φ se llama la constante de fase (esto es, Aunque hemos definido el movimiento armónico simple en función de una expresión senoidal, puede igualmente expresarse en función de una expresión cosenoidal, el único cambio sería una diferencia inicial de fase de π/2: si: Ø = π/ 2 x = A Sen(ω t + π/ 2 )

x = A Cos ω t

De modo que en el tiempo t = 0 el desplazamiento es cero para x=A Senωt. Cuando φ = 0, el desplazamiento x=ACosωt es máximo en el tiempo t = 0. Otras condiciones iniciales corresponden a otras constantes de fase. Determinemos ahora el significado físico de la constante ω. Si en la ecuación del desplazamiento x=ASen(ωt+φ) se aumenta el tiempo en 2π/ω, la función se transforma en: x = A Sen[ω (t + 2 π /ω) + Ø] = A Sen(ωt + 2 π + Ø) = A Sen(ωt + Ø) Es decir, que la función simplemente se repite a sí misma después de un tiempo 2π/ω. Por lo tanto, 2π/ω es el periodo T del movimiento. Como ω^2 = k/m tenemos:

Fisica Básica II

La frecuencia f del oscilador es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo, y estará dada

por:

La cantidad w se llama frecuencia angular ; difiere de la frecuencia f en un factor 2p. Tiene las dimensiones

de un recíproco del tiempo (las mismas que la rapidez angular) y su unidad es el radian/segundo.

La constante A tiene un significado físico sencillo. La función coseno puede tomar valores de -1 a +1. El

desplazamiento x medido desde la posición central de equilibrio x = 0 tiene, por lo tanto, el valor máximo

de A. Así pues A (=xmáx) es la amplitud del movimiento.

La frecuencia de un movimiento armónico simple es independiente de la amplitud del movimiento.

Las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos obtener a partir de la ecuación:

Similarmente la aceleración está dada por:

La cual indica que en el movimiento armónico simple la aceleración es siempre proporcional y opuesta al

desplazamiento.

Podríamos también escribir: M.U.A.

Luego, la energía cinética, la energía potencial y la energía mecánica total serán:

La frecuencia f del oscilador es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo, y estará dada por: 𝑓𝑓 = (^1) 𝑇𝑇 = (^2) 𝜔𝜔𝜋𝜋

ω = 2πf

La cantidadde un recíproco del tiempo (las mismas que la rapidez angular) y su unidad es el radian/segundo. ω se llama frecuencia angular ; difiere de la frecuencia f en un factor 2π. Tiene las dimensiones La constante A tiene un significado físico sencillo. La función coseno puede tomar valores de -1 a +1. El desplazamientoA. Así pues A (=x x medido desde la posición central de equilibrio x = 0 tiene, por lo tanto, el valor máximo de máx ) es la amplitud del movimiento. La frecuencia de un movimiento armónico simple es independiente de la amplitud del movimiento. Las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos obtener a partir de la ecuación:

x = A Sen(ωt + Ø)

𝑣𝑣 = !" !" = 𝜔𝜔 𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝜔𝜔 𝑡𝑡 + Ø)

Similarmente la aceleración está dada por:

𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝜔𝜔!^ 𝐴𝐴 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( (ωt + Ø

La cual indica que en el movimiento armónico simple la aceleración es siempre proporcional y opuesta aldesplazamiento. Podríamos también escribir: M.U.A. x = A Sen(ωt + φ) x = A Cos ω t x=vot + ½ at 2 v = ω A Cos(ωt + φ) v = - ω A Sen ω t v 2 =v 02 + 2ax a = - ω^2 A Sen(ωt + φ) a = - ω^2 A Cos ω t a = constante Luego, la energía cinética, la energía potencial y la energía mecánica total serán: U = ½ k x 2 = ½ k A 2 Sen 2 (ωt + φ) K = ½ m v 2 = ½ m A 2 ω 2 Cos 2 (ωt + φ) como: ω 2 = k/m K = ½ k A 2 Cos 2 (ωt + φ) E = U + K = ½ k A 2

La frecuencia f del oscilador es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo, y estará dada por: 𝑓𝑓 = (^1) 𝑇𝑇 = (^2) 𝜔𝜔𝜋𝜋

ω = 2πf

La cantidad ω se llama frecuencia angular ; difiere de la frecuencia f en un factor 2π. Tiene las dimensiones de un recíproco del tiempo (las mismas que la rapidez angular) y su unidad es el radian/segundo. La constantedesplazamiento A (^) tiene un significado físico sencillo. x medido desde la posición central de equilibrio x = 0 tiene, por lo tanto, el valor máximo de La función coseno puede tomar valores de -1 a +1. El A. Así pues A (=x (^) máx ) es la amplitud del movimiento. La frecuencia de un movimiento armónico simple es independiente de la amplitud del movimiento. Las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos obtener a partir de la ecuación:

x = A Sen(ωt + Ø)

𝑣𝑣 = !" !" = 𝜔𝜔 𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝜔𝜔 𝑡𝑡 + Ø)

Similarmente la aceleración está dada por:

𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝜔𝜔!^ 𝐴𝐴 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( (ωt + Ø

La cual indica que en el movimiento armónico simple la aceleración es siempre proporcional y opuesta al desplazamiento. Podríamos también escribir: M.U.A. x = A Sen(ωt + φ) x = A Cos ω t x=vot + ½ at 2 v = ω A Cos(ωt + φ) v = - ω A Sen ω t v 2 =v 02 + 2ax a = - ω^2 A Sen(ωt + φ) a = - ω^2 A Cos ω t a = constante Luego, la energía cinética, la energía potencial y la energía mecánica total serán: U = ½ k x 2 = ½ k A 2 Sen 2 (ωt + φ) K = ½ m v 2 = ½ m A 2 ω 2 Cos 2 (ωt + φ) como: ω 2 = k/m K = ½ k A 2 Cos 2 (ωt + φ) E = U + K = ½ k A 2

La frecuencia f del oscilador es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo, y estará dada por: 𝑓𝑓 = (^1) 𝑇𝑇 = (^2) 𝜔𝜔𝜋𝜋

ω = 2πf

La cantidadde un recíproco del tiempo (las mismas que la rapidez angular) y su unidad es el radian/segundo. ω se llama frecuencia angular ; difiere de la frecuencia f en un factor 2π. Tiene las dimensiones La constantedesplazamiento A (^) tiene un significado físico sencillo. x medido desde la posición central de equilibrio x = 0 tiene, por lo tanto, el valor máximo de La función coseno puede tomar valores de -1 a +1. El A. Así pues A (=x (^) máx ) es la amplitud del movimiento. La frecuencia de un movimiento armónico simple es independiente de la amplitud del movimiento. Las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos obtener a partir de la ecuación:

x = A Sen(ωt + Ø)

𝑣𝑣 = !" !" = 𝜔𝜔 𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝜔𝜔 𝑡𝑡 + Ø)

Similarmente la aceleración está dada por:

𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝜔𝜔!^ 𝐴𝐴 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( (ωt + Ø

La cual indica que en el movimiento armónico simple la aceleración es siempre proporcional y opuesta al desplazamiento. Podríamos también escribir: M.U.A. x = A Sen(ωt + φ) x = A Cos ω t x=vot + ½ at 2 v = ω A Cos(ωt + φ) v = - ω A Sen ω t v 2 =v 02 + 2ax a = - ω^2 A Sen(ωt + φ) a = - ω^2 A Cos ω t a = constante Luego, la energía cinética, la energía potencial y la energía mecánica total serán: U = ½ k x 2 = ½ k A 2 Sen 2 (ωt + φ) K = ½ m v 2 = ½ m A 2 ω 2 Cos 2 (ωt + φ) como: ω 2 = k/m K = ½ k A 2 Cos 2 (ωt + φ) E = U + K = ½ k A 2

La frecuencia f del oscilador es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo, y estará dada por: 𝑓𝑓 = (^1) 𝑇𝑇 = (^2) 𝜔𝜔𝜋𝜋

ω = 2πf

La cantidadde un recíproco del tiempo (las mismas que la rapidez angular) y su unidad es el radian/segundo. ω se llama frecuencia angular ; difiere de la frecuencia f en un factor 2π. Tiene las dimensiones La constante A tiene un significado físico sencillo. La función coseno puede tomar valores de -1 a +1. El desplazamientoA. Así pues A (=x x medido desde la posición central de equilibrio x = 0 tiene, por lo tanto, el valor máximo de máx ) es la amplitud del movimiento. La frecuencia de un movimiento armónico simple es independiente de la amplitud del movimiento. Las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos obtener a partir de la ecuación:

x = A Sen(ωt + Ø)

𝑣𝑣 = !" !" = 𝜔𝜔 𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝜔𝜔 𝑡𝑡 + Ø)

Similarmente la aceleración está dada por:

𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝜔𝜔!^ 𝐴𝐴 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( (ωt + Ø

La cual indica que en el movimiento armónico simple la aceleración es siempre proporcional y opuesta aldesplazamiento. Podríamos también escribir: M.U.A. x = A Sen(ωt + φ) x = A Cos ω t x=vot + ½ at 2 v = ω A Cos(ωt + φ) v = - ω A Sen ω t v 2 =v 02 + 2ax a = - ω^2 A Sen(ωt + φ) a = - ω^2 A Cos ω t a = constante Luego, la energía cinética, la energía potencial y la energía mecánica total serán: U = ½ k x 2 = ½ k A 2 Sen 2 (ωt + φ) K = ½ m v 2 = ½ m A 2 ω 2 Cos 2 (ωt + φ) como: ω 2 = k/m K = ½ k A 2 Cos 2 (ωt + φ) E = U + K = ½ k A 2

La frecuencia f del oscilador es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo, y estará dada por: 𝑓𝑓 = (^1) 𝑇𝑇 = (^2) 𝜔𝜔𝜋𝜋

ω = 2πf

La cantidadde un recíproco del tiempo (las mismas que la rapidez angular) y su unidad es el radian/segundo. ω se llama frecuencia angular ; difiere de la frecuencia f en un factor 2π. Tiene las dimensiones La constante A tiene un significado físico sencillo. La función coseno puede tomar valores de -1 a +1. El desplazamientoA. Así pues A (=x x medido desde la posición central de equilibrio x = 0 tiene, por lo tanto, el valor máximo de máx ) es la amplitud del movimiento. La frecuencia de un movimiento armónico simple es independiente de la amplitud del movimiento. Las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos obtener a partir de la ecuación:

x = A Sen(ωt + Ø)

𝑣𝑣 = !" !" = 𝜔𝜔 𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝜔𝜔 𝑡𝑡 + Ø)

Similarmente la aceleración está dada por:

𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝜔𝜔!^ 𝐴𝐴 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( (ωt + Ø

La cual indica que en el movimiento armónico simple la aceleración es siempre proporcional y opuesta aldesplazamiento. Podríamos también escribir: M.U.A. x = A Sen(ωt + φ) x = A Cos ω t x=vot + ½ at 2 v = ω A Cos(ωt + φ) v = - ω A Sen ω t v 2 =v 02 + 2ax a = - ω^2 A Sen(ωt + φ) a = - ω^2 A Cos ω t a = constante Luego, la energía cinética, la energía potencial y la energía mecánica total serán: U = ½ k x 2 = ½ k A 2 Sen 2 (ωt + φ) K = ½ m v 2 = ½ m A 2 ω 2 Cos 2 (ωt + φ) como: ω 2 = k/m K = ½ k A 2 Cos 2 (ωt + φ) E = U + K = ½ k A 2

La frecuencia f del oscilador es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo, y estará dada por: 𝑓𝑓 = (^1) 𝑇𝑇 = (^2) 𝜔𝜔𝜋𝜋

ω = 2πf

La cantidad ω se llama frecuencia angular ; difiere de la frecuencia f en un factor 2π. Tiene las dimensiones de un recíproco del tiempo (las mismas que la rapidez angular) y su unidad es el radian/segundo. La constantedesplazamiento A (^) tiene un significado físico sencillo. x medido desde la posición central de equilibrio x = 0 tiene, por lo tanto, el valor máximo de La función coseno puede tomar valores de -1 a +1. El A. Así pues A (=x (^) máx ) es la amplitud del movimiento. La frecuencia de un movimiento armónico simple es independiente de la amplitud del movimiento. Las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos obtener a partir de la ecuación:

x = A Sen(ωt + Ø)

𝑣𝑣 = !" !" = 𝜔𝜔 𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝜔𝜔 𝑡𝑡 + Ø)

Similarmente la aceleración está dada por:

𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝜔𝜔!^ 𝐴𝐴 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( (ωt + Ø

La cual indica que en el movimiento armónico simple la aceleración es siempre proporcional y opuesta al desplazamiento. Podríamos también escribir: M.U.A. x = A Sen(ωt + φ) x = A Cos ω t x=vot + ½ at 2 v = ω A Cos(ωt + φ) v = - ω A Sen ω t v 2 =v 02 + 2ax a = - ω^2 A Sen(ωt + φ) a = - ω^2 A Cos ω t a = constante Luego, la energía cinética, la energía potencial y la energía mecánica total serán: U = ½ k x 2 = ½ k A 2 Sen 2 (ωt + φ) K = ½ m v 2 = ½ m A 2 ω 2 Cos 2 (ωt + φ) como: ω 2 = k/m K = ½ k A 2 Cos 2 (ωt + φ) E = U + K = ½ k A 2

Fisica Básica II

La componente radial (mgCosq) proporciona la aceleración centrípeta necesaria para mantener a la partícula

en movimiento sobre un aro circular; la componente tangencial es la fuerza restauradora que actúa sobre

m y hace tender a recobrar su posición de equilibrio.

La fuerza recuperadora es:

Donde el signo menos se debe a que se opone al desplazamiento.

Esta ecuación no es de mismo tipo que: F = - k x debido a que F es proporcional a Sen q, y no a q. Por lo

tanto el movimiento no es un M.A.S.

Sin embargo si el ángulo q es pequeño, lo cual es cierto si la amplitud de las

oscilaciones es pequeña, Sen q es aproximadamente igual a q (expresado en radianes

Por consiguiente, para desplazamientos pequeños la fuerza restauradora es proporcional a la elongación y

su sentido es opuesto a éste, siendo k = mg/L.

El periodo de un péndulo simple cuando la amplitud es pequeña está dada por:

La componente radial (mgCosen movimiento sobre un aro circular; laθ) proporciona la aceleración centrípeta necesaria para mantener a la partícula componente tangencial es la fuerza restauradora que actúa sobre m y hace tender a recobrar su posición de equilibrio. La fuerza recuperadora es: F = - m g Sen θ Donde el signo menos se debe a que se opone al desplazamiento. Esta ecuación no es de mismo tipo que: F = - k x debido a que F es proporcional a Sentanto el movimiento no es un M.A.S. θ, y no a θ. Por lo

Sin embargo si el ángulo θ es pequeño, lo cual es cierto si la amplitud de las oscilaciones es pequeña, Sen θ es aproximadamente igual a θ (expresado en radianes^1 ): Sen θ ≈ θ F = - mg θ o x ≈ θ L 𝑭𝑭 = −𝒎𝒎 𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝑳𝑳 F = - k x Por consiguiente, para desplazamientos pequeños la fuerza restauradora es proporcional a la elongación y susentido es opuesto a éste, siendo k = mg/L. El periodo de un péndulo simple cuando la amplitud es pequeña está dada por:

𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋 𝑚𝑚^ 𝑘𝑘 = 2 𝜋𝜋 !"!/!

(^1) θ expresado en radianes: 15° = (π*15/180) = 0.26180 rad; y Sen 15° = 0.2582 en DEG.

La componente radial (mgCosen movimiento sobre un aro circular; laθ) proporciona la aceleración centrípeta necesaria para mantener a la partícula componente tangencial es la fuerza restauradora que actúa sobre m y hace tender a recobrar su posición de equilibrio. La fuerza recuperadora es: F = - m g Sen θ Donde el signo menos se debe a que se opone al desplazamiento. Esta ecuación no es de mismo tipo que: F = - k x debido a que F es proporcional a Sentanto el movimiento no es un M.A.S. θ, y no a θ. Por lo

Sin embargo si el ángulo θ es pequeño, lo cual es cierto si la amplitud de las oscilaciones es pequeña, Sen θ es aproximadamente igual a θ (expresado en radianes^1 ): Sen θ ≈ θ F = - mg θ o x ≈ θ L 𝑭𝑭 = −𝒎𝒎 𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝑳𝑳 F = - k x Por consiguiente, para desplazamientos pequeños la fuerza restauradora es proporcional a la elongación y su sentido es opuesto a éste, siendo k = mg/L. El periodo de un péndulo simple cuando la amplitud es pequeña está dada por:

𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋 𝑚𝑚^ 𝑘𝑘 = 2 𝜋𝜋 !"!/!

(^1) θ expresado en radianes: 15° = (π*15/180) = 0.26180 rad; y Sen 15° = 0.2582 en DEG.

La componente radial (mgCosθ) proporciona la aceleración centrípeta necesaria para mantener a la partícula en movimiento sobre un aro circular; lahace tender a recobrar su posición de equilibrio. componente tangencial es la fuerza restauradora que actúa sobre m y La fuerza recuperadora es: F = - m g Sen θ Donde el signo menos se debe a que se opone al desplazamiento. Esta ecuación no es de mismo tipo que: F = - k x debido a que F es proporcional a Sen θ, y no a θ. Por lo tanto el movimiento no es un M.A.S. Sin embargo si el ángulo θ es pequeño, lo cual es cierto si la amplitud de las oscilaciones es pequeña, Sen θ es aproximadamente igual a θ (expresado en radianes^1 ): Sen θ ≈ θ F = - mg θ o x ≈ θ L 𝑭𝑭 = −𝒎𝒎 𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝑳𝑳 F = - k x Por consiguiente, para desplazamientos pequeños la fuerza restauradora es proporcional a la elongación y susentido es opuesto a éste, siendo k = mg/L. El periodo de un péndulo simple cuando la amplitud es pequeña está dada por:

𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋 𝑚𝑚^ 𝑘𝑘 = 2 𝜋𝜋 !"!/!

(^1) θ expresado en radianes: 15° = (π*15/180) = 0.26180 rad; y Sen 15° = 0.2582 en DEG.

La componente radial (mgCosen movimiento sobre un aro circular; laθ) proporciona la aceleración centrípeta necesaria para mantener a la partícula componente tangencial es la fuerza restauradora que actúa sobre m y hace tender a recobrar su posición de equilibrio. La fuerza recuperadora es: F = - m g Sen θ Donde el signo menos se debe a que se opone al desplazamiento. Esta ecuación no es de mismo tipo que: F = - k x debido a que F es proporcional a Sentanto el movimiento no es un M.A.S. θ, y no a θ. Por lo

Sin embargo si el ángulo θ es pequeño, lo cual es cierto si la amplitud de las oscilaciones es pequeña, Sen θ es aproximadamente igual a θ (expresado en radianes^1 ): Sen θ ≈ θ F = - mg θ o x ≈ θ L 𝑭𝑭 = −𝒎𝒎 𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝑳𝑳 F = - k x Por consiguiente, para desplazamientos pequeños la fuerza restauradora es proporcional a la elongación y su sentido es opuesto a éste, siendo k = mg/L. El periodo de un péndulo simple cuando la amplitud es pequeña está dada por:

𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋 𝑚𝑚^ 𝑘𝑘 = 2 𝜋𝜋 !"!/!

(^1) θ expresado en radianes: 15° = (π*15/180) = 0.26180 rad; y Sen 15° = 0.2582 en DEG.

Capitulo I Oscilaciones

Nótese que el periodo es independiente de m.

Cuando la amplitud de la oscilación no es pequeña, se puede demostrar que la ecuación general del periodo

es:

qm es el desplazamiento angular máximo. Cuando qm = 15 (separación total q = 30°) el periodo verdadero

difiere en menos del 0.5%.

El péndulo simple proporciona un método conveniente para medir la gravedad sin realizar un experimento

de caída libre, sino sólo medir el periodo y la longitud del péndulo.

EL PENDULO DE TORSION

Supongamos un disco por un alambre fijo al centro de masas de dicho disco,

En la posición de equilibrio del disco se marca una línea radial desde su centro hasta P.

Si el disco gira en un plano horizontal hasta la posición radial R, el alambre se torcerá. El alambre ejercerá

un momento recuperador , que tenderá a hacerle volver al punto de equilibrio (punto P), proporcional a la

elongación angular, de modo que:

k ’ es una constante que depende de las propiedades del alambre y se denomina constante de torsión. El

signo menos indica que el momento está dirigido en sentido opuesto al movimiento angular q.

La ecuación t = - k’q es la condición del Movimiento Armónico Angular.

El periodo de la oscilación, por analogía y en función de la inercia I, con la ecuación:

Recordemos que el momento de inercia viene dado por:

I = Icm + m h^2

Nótese que el periodo es independiente de m. Cuando la amplitud de la oscilación no es pequeña, se puede demostrar que la ecuación general del periodo es:

𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋 𝑔𝑔𝐿𝐿 1 + 21! 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆!^ 𝛩𝛩 2! + 21!^34 !! 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆!^ 𝛩𝛩 2! + …

θdifiere en menos del 0.5%.m es el desplazamiento angular máximo. Cuando θm = 15 (separación total θ = 30°) el periodo verdadero El péndulo simple proporciona un método conveniente para medir la gravedad sin realizar un experimento de caída libre, sino sólo medir el periodo y la longitud del péndulo.

EL PENDULO DE TORSION

Supongamos un disco por un alambre fijo al centro de masas de dicho disco,

En la posición de equilibrio del disco se marca una línea radial desde su centro hasta P. Si el disco gira en un plano horizontal hasta la posición radial R, el alambre se torcerá. El alambre ejercerá un momento recuperador , que tenderá a hacerle volver al punto de equilibrio (punto P), proporcional a la elongación angular, de modo que:

τ = - k’θ

k ' es una constante que depende de las propiedades del alambre y se denomina constante de torsión. El signo menos indica que el momento está dirigido en sentido opuesto al movimiento angular θ. La ecuación τ = - k’ θ es la condición del Movimiento Armónico Angular. El periodo de la oscilación, por analogía y en función de la inercia I, con la ecuación:

es:

Recordemos que el momento de inercia viene dado por:

Nótese que el periodo es independiente de m. Cuando la amplitud de la oscilación no es pequeña, se puede demostrar que la ecuación general del periodo es:

𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋 𝑔𝑔𝐿𝐿 1 + 21! 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆!^ 𝛩𝛩 2! + 21!^34 !! 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆!^ 𝛩𝛩 2! + …

θdifiere en menos del 0.5%.m es el desplazamiento angular máximo. Cuando θm = 15 (separación total θ = 30°) el periodo verdadero El péndulo simple proporciona un método conveniente para medir la gravedad sin realizar un experimento de caída libre, sino sólo medir el periodo y la longitud del péndulo.

EL PENDULO DE TORSION

Supongamos un disco por un alambre fijo al centro de masas de dicho disco,

En la posición de equilibrio del disco se marca una línea radial desde su centro hasta P. Si el disco gira en un plano horizontal hasta la posición radial R, el alambre se torcerá. El alambre ejercerá un momento recuperador , que tenderá a hacerle volver al punto de equilibrio (punto P), proporcional a la elongación angular, de modo que:

τ = - k’θ

k ' es una constante que depende de las propiedades del alambre y se denomina constante de torsión. El signo menos indica que el momento está dirigido en sentido opuesto al movimiento angular θ. La ecuación τ = - k’ θ es la condición del Movimiento Armónico Angular. El periodo de la oscilación, por analogía y en función de la inercia I, con la ecuación:

es:

Recordemos que el momento de inercia viene dado por:

Nótese que el periodo es independiente de m. Cuando la amplitud de la oscilación no es pequeña, se puede demostrar que la ecuación general del periodo es:

𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋 𝑔𝑔𝐿𝐿 1 + 21! 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆!^ 𝛩𝛩 2! + 21!^34 !! 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆!^ 𝛩𝛩 2! + …

θdifiere en menos del 0.5%.m es el desplazamiento angular máximo. Cuando θm = 15 (separación total θ = 30°) el periodo verdadero

El péndulo simple proporciona un método conveniente para medir la gravedad sin realizar un experimento decaída libre, sino sólo medir el periodo y la longitud del péndulo.

EL PENDULO DE TORSION

Supongamos un disco por un alambre fijo al centro de masas de dicho disco,

En la posición de equilibrio del disco se marca una línea radial desde su centro hasta P. Si el disco gira en un plano horizontal hasta la posición radial R, el alambre se torcerá. El alambre ejercerá un momento recuperador , que tenderá a hacerle volver al punto de equilibrio (punto P), proporcional a la elongación angular, de modo que:

τ = - k’θ

k ' es una constante que depende de las propiedades del alambre y se denomina constante de torsión. El signo menos indica que el momento está dirigido en sentido opuesto al movimiento angular θ. La ecuación τ = - k’ θ es la condición del Movimiento Armónico Angular. El periodo de la oscilación, por analogía y en función de la inercia I, con la ecuación:

es:

Recordemos que el momento de inercia viene dado por:

Nótese que el periodo es independiente de m. Cuando la amplitud de la oscilación no es pequeña, se puede demostrar que la ecuación general del periodo es:

𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋 𝑔𝑔𝐿𝐿 1 + 21! 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆!^ 𝛩𝛩 2! + 21!^34 !! 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆!^ 𝛩𝛩 2! + …

θm es el desplazamiento angular máximo. Cuando θm = 15 (separación total θ = 30°) el periodo verdadero difiere en menos del 0.5%. El péndulo simple proporciona un método conveniente para medir la gravedad sin realizar un experimento decaída libre, sino sólo medir el periodo y la longitud del péndulo.

EL PENDULO DE TORSION

Supongamos un disco por un alambre fijo al centro de masas de dicho disco,

En la posición de equilibrio del disco se marca una línea radial desde su centro hasta P. Si el disco gira en un plano horizontal hasta la posición radial R, el alambre se torcerá. El alambre ejercerá un momento recuperador , que tenderá a hacerle volver al punto de equilibrio (punto P), proporcional a la elongación angular, de modo que:

τ = - k’θ

k ' es una constante que depende de las propiedades del alambre y se denomina constante de torsión. El signo menos indica que el momento está dirigido en sentido opuesto al movimiento angular θ. La ecuación τ = - k’ θ es la condición del Movimiento Armónico Angular. El periodo de la oscilación, por analogía y en función de la inercia I, con la ecuación:

es:

Recordemos que el momento de inercia viene dado por:

Capitulo I Oscilaciones

Por lo tanto, el periodo de un péndulo físico que oscila con una amplitud pequeña es:

Cuando la amplitud es grande, el péndulo físico realiza un movimiento armónico, pero no armónico simple.

CENTRO DE OSCILACION

Es siempre posible encontrar un péndulo simple equivalente , cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico

dado.

Si L es la longitud del péndulo simple equivalente:

En lo que se refiere al periodo de oscilación, se puede considerar que la masa de un péndulo físico está

concentrada en un punto cuya distancia al pivote es L = I/md. Este punto se denomina centro de oscilación

del péndulo físico.

Las ecuaciones del M.A.S. pueden deducirse también por un método geométrico.

k' = m g d τ = k’ θ Por lo tanto, el periodo de un péndulo físico que oscila con una amplitud pequeña es:

Cuando la amplitud es grande, el péndulo físico realiza un movimiento armónico, pero no armónico simple.

CENTRO DE OSCILACION Es siempre posible encontrar un péndulo simple equivalente , cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado. Si L es la longitud del péndulo simple equivalente:

En lo que se refiere al periodo de oscilación, se puede considerar que laconcentrada en un punto cuya distancia al pivote es L = I/md. Este punto se denomina masa de un péndulo físico centro de oscilación está del péndulo físico. Las ecuaciones del M.A.S. pueden deducirse también por un método geométrico.

P = pivote C = centro de oscilación

P

cg

C

L

k' = m g d τ = k’ θ Por lo tanto, el periodo de un péndulo físico que oscila con una amplitud pequeña es:

Cuando la amplitud es grande, el péndulo físico realiza un movimiento armónico, pero no armónico simple.

CENTRO DE OSCILACION Es siempre posible encontrar un dado. péndulo simple equivalente , cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico Si L es la longitud del péndulo simple equivalente:

En lo que se refiere al periodo de oscilación, se puede considerar que laconcentrada en un punto cuya distancia al pivote es L = I/md. Este punto se denomina masa de un péndulo físico centro de oscilación está del péndulo físico. Las ecuaciones del M.A.S. pueden deducirse también por un método geométrico.

P = pivote C = centro de oscilación

P

cg

C

L

Fisica Básica II

SUPERPOSICION DE DOS M.A.S.: IGUAL DIRECCION Y FRECUENCIA

Consideraremos ahora la superposición, o interferencia de dos movimientos armónicos simples que

producen un desplazamiento de la partícula a lo largo de la misma línea.

Veamos primero el caso en que ambos tienen la misma frecuencia que viajan en la misma dirección. Las

ecuaciones de las dos ondas serán:

El desplazamiento resultante de la partícula está dado por:

El ángulo entre OP’ 1 y OP’ 2 tiene el valor fijo d = f 2 - f 1 y el vector OP’ tiene una magnitud constante A, y

rota también alrededor de 0 con una velocidad angular w.

Por consiguiente el vector rotante OP’ genera un movimiento armónico simple de frecuencia angular w, y

podemos escribir X = OP’.

De la ecuación:

La amplitud resultante A, podemos calcularla aplicando la ley de los cosenos al vector resultante de los dos

vectores:

La fase inicial puede encontrarse, por la ley de adición de vectores tenemos:

Dividiendo tenemos:

SUPERPOSICION DE DOS M.A.S.: IGUAL DIRECCION Y FRECUENCIA

Consideraremos ahora la superposición, o interferencia de dos movimientos armónicos simples que producen un desplazamiento de la partícula a lo largo de la misma línea. Veamos primero el caso en que ambos tienen la misma frecuencia que viajan en la misma dirección.ecuaciones de las dos ondas serán: Las

x 1 = OP 1 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) x 2 = OP 2 = A 2 Sen(ω t + φ 2 ) El desplazamiento resultante de la partícula está dado por: x = 0P = x 1 + x 2 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) + A 2 Sen(ω t + φ 2 )

El ángulo entre OP' 1 y OP' 2 tiene el valor fijo δ = φ 2 − φ 1 y el vector OP' tiene una magnitud constante A, y rota también alrededor de 0 con una velocidad angular ω. Por consiguiente el vector rotante OP' genera un movimiento armónico simple de frecuencia angularpodemos escribir X = OP'. ω, y

De la ecuación: x = A Sen(ω^ t +^ φ) x = x 1 + x 2 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) + A 2 Sen(ω t + φ 2 ) La amplitud resultante A, podemos calcularla aplicando la ley de los cosenos al vector resultante de los dosvectores:

A = A 12 + A 22 + 2A 1 A 2 Cos δ

La fase inicial puede encontrarse, por la ley de adición de vectores tenemos: A Cos φ = A 1 Cos φ 1 + A 2 Cos φ (^2) A Sen φ = A 1 Sen φ 1 + A 2 Sen φ (^2) Dividiendo tenemos:

P 2 ’

P 1 ’

P ’

P

P P^1

ωt

φ 2

φ 1

ω

x

δ = φ 2 − φ 1

SUPERPOSICION DE DOS M.A.S.: IGUAL DIRECCION Y FRECUENCIA

Consideraremos ahora la superposición, o interferencia de dos movimientos armónicos simples que producen un desplazamiento de la partícula a lo largo de la misma línea. Veamos primero el caso en que ambos tienen la misma frecuencia que viajan en la misma dirección.ecuaciones de las dos ondas serán: Las

x 1 = OP 1 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) x 2 = OP 2 = A 2 Sen(ω t + φ 2 ) El desplazamiento resultante de la partícula está dado por: x = 0P = x 1 + x 2 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) + A 2 Sen(ω t + φ 2 )

El ángulo entre OP' 1 y OP' 2 tiene el valor fijo δ = φ 2 − φ 1 y el vector OP' tiene una magnitud constante A, y rota también alrededor de 0 con una velocidad angular ω. Por consiguiente el vector rotante OP' genera un movimiento armónico simple de frecuencia angularpodemos escribir X = OP'. ω, y

De la ecuación: x = A Sen(ω^ t +^ φ) x = x 1 + x 2 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) + A 2 Sen(ω t + φ 2 ) La amplitud resultante A, podemos calcularla aplicando la ley de los cosenos al vector resultante de los dosvectores:

A = A 12 + A 22 + 2A 1 A 2 Cos δ

La fase inicial puede encontrarse, por la ley de adición de vectores tenemos: A Cos φ = A 1 Cos φ 1 + A 2 Cos φ (^2) A Sen φ = A 1 Sen φ 1 + A 2 Sen φ (^2) Dividiendo tenemos:

P 2 ’

P 1 ’

P ’

P

P P^1

ωt

φ 2

φ 1

ω

x

δ = φ 2 − φ 1

SUPERPOSICION DE DOS M.A.S.: IGUAL DIRECCION Y FRECUENCIA

Consideraremos ahora la superposición, o interferencia de dos movimientos armónicos simples que producen un desplazamiento de la partícula a lo largo de la misma línea. Veamos primero el caso en que ambos tienen la misma frecuencia que viajan en la misma dirección.ecuaciones de las dos ondas serán: Las

x 1 = OP 1 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) x 2 = OP 2 = A 2 Sen(ω t + φ 2 ) El desplazamiento resultante de la partícula está dado por: x = 0P = x 1 + x 2 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) + A 2 Sen(ω t + φ 2 )

El ángulo entre OP' 1 y OP' 2 tiene el valor fijo δ = φ 2 − φ 1 y el vector OP' tiene una magnitud constante A, y rota también alrededor de 0 con una velocidad angular ω. Por consiguiente el vector rotante OP' genera un movimiento armónico simple de frecuencia angularpodemos escribir X = OP'. ω, y

De la ecuación: x = A Sen(ω^ t +^ φ) x = x 1 + x 2 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) + A 2 Sen(ω t + φ 2 ) La amplitud resultante A, podemos calcularla aplicando la ley de los cosenos al vector resultante de los dosvectores:

A = A 12 + A 22 + 2A 1 A 2 Cos δ

La fase inicial puede encontrarse, por la ley de adición de vectores tenemos: A Cos φ = A 1 Cos φ 1 + A 2 Cos φ (^2) A Sen φ = A 1 Sen φ 1 + A 2 Sen φ (^2) Dividiendo tenemos:

P 2 ’

P 1 ’

P ’

P

P P^1

ωt

φ 2

φ 1

ω

x

δ = φ 2 − φ 1

SUPERPOSICION DE DOS M.A.S.: IGUAL DIRECCION Y FRECUENCIA

Consideraremos ahora la superposición, o interferencia de dos movimientos armónicos simples que producen un desplazamiento de la partícula a lo largo de la misma línea. Veamos primero el caso en que ambos tienen la misma frecuencia que viajan en la misma dirección.ecuaciones de las dos ondas serán: Las

x 1 = OP 1 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) x 2 = OP 2 = A 2 Sen(ω t + φ 2 ) El desplazamiento resultante de la partícula está dado por: x = 0P = x 1 + x 2 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) + A 2 Sen(ω t + φ 2 )

El ángulo entre OP' 1 y OP' 2 tiene el valor fijo δ = φ 2 − φ 1 y el vector OP' tiene una magnitud constante A, y rota también alrededor de 0 con una velocidad angular ω. Por consiguiente el vector rotante OP' genera un movimiento armónico simple de frecuencia angularpodemos escribir X = OP'. ω, y

De la ecuación: x = A Sen(ω^ t +^ φ) x = x 1 + x 2 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) + A 2 Sen(ω t + φ 2 ) La amplitud resultante A, podemos calcularla aplicando la ley de los cosenos al vector resultante de los dosvectores:

A = A 12 + A 22 + 2A 1 A 2 Cos δ

La fase inicial puede encontrarse, por la ley de adición de vectores tenemos: A Cos φ = A 1 Cos φ 1 + A 2 Cos φ (^2) A Sen φ = A 1 Sen φ 1 + A 2 Sen φ (^2) Dividiendo tenemos:

P 2 ’

P 1 ’

P ’

P

P P^1

ωt

φ 2

φ 1

ω

x

δ = φ 2 − φ 1

SUPERPOSICION DE DOS M.A.S.: IGUAL DIRECCION Y FRECUENCIA

Consideraremos ahora la superposición, o interferencia de dos movimientos armónicos simples que producen un desplazamiento de la partícula a lo largo de la misma línea. Veamos primero el caso en que ambos tienen la misma frecuencia que viajan en la misma dirección.ecuaciones de las dos ondas serán: Las

x 1 = OP 1 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) x 2 = OP 2 = A 2 Sen(ω t + φ 2 ) El desplazamiento resultante de la partícula está dado por: x = 0P = x 1 + x 2 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) + A 2 Sen(ω t + φ 2 )

El ángulo entre OP' 1 y OP' 2 tiene el valor fijo δ = φ 2 − φ 1 y el vector OP' tiene una magnitud constante A, y rota también alrededor de 0 con una velocidad angular ω. Por consiguiente el vector rotante OP' genera un movimiento armónico simple de frecuencia angularpodemos escribir X = OP'. ω, y

De la ecuación: x = A Sen(ω^ t +^ φ) x = x 1 + x 2 = A 1 Sen(ω t + φ 1 ) + A 2 Sen(ω t + φ 2 ) La amplitud resultante A, podemos calcularla aplicando la ley de los cosenos al vector resultante de los dosvectores:

A = A 12 + A 22 + 2A 1 A 2 Cos δ

La fase inicial puede encontrarse, por la ley de adición de vectores tenemos: A Cos φ = A 1 Cos φ 1 + A 2 Cos φ (^2) A Sen φ = A 1 Sen φ 1 + A 2 Sen φ (^2) Dividiendo tenemos:

P 2 ’

P 1 ’

P ’

P

P P^1

ωt

φ 2

φ 1

ω

x

δ = φ 2 − φ 1