Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Introducción al pensamiento matemático y demostraciones de diferentes teoremas utilizando distintos métodos de demostración: por reducción al absurdo, por contraejemplo y por inducción matemática. Se incluyen ejemplos con problemas resueltos para ilustrar cada método.
Tipo: Ejercicios
1 / 5
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Instrucciones: Demuestra los enunciados siguientes por medio del método de demostración que consideres más adecuado:
1. Demostrar que no hay ningún número racional cuyo cuadrado sea 15.
Método de demostración utilizado: Método por reducción al absurdo
Se supondrá lo contrario; es decir, la hipótesis de que hay un número racional cuyo cuadrado es 15.
Sea el número racional: 𝑎 𝑏 En donde 𝑎 y 𝑏 son primos relativos puesto su máximo común divisor es 1 y no tienen, por lo tanto, factores comunes.
El cuadrado de este número racional es:
(
Suponiendo que 𝑎 y 𝑏 son números primos entre sí, sus cuadrados también son primos. Igualando se tiene: 𝑎^2 𝑏^2
Por lo tanto 𝑎^2 = 15𝑏^2
Para ello 𝑎^2 debería ser de la forma 𝑎^2 = 3^2 × 5^2 × 𝑘^2 con 𝑘 ∈ ℕ para ser cuadrado y múltiplo de 15. Entonces se tiene que 𝑎 = 3 × 5 × 𝑘 = 15𝑘 como un múltiplo de 15. Sustituyendo esta expresión en: (15𝑘)^2 = 15𝑏^2 15𝑘^2 = 𝑏^2 Resulta que 𝑏^2 también es múltiplo de 15. Por tal motivo se deduce que entre 𝑎 y 𝑏 tienen a 15 como factor común, lo que contradice la hipótesis puesto que se concluye que 15 no
es de la forma 𝑎
2 𝑏^2.
2. Si 𝑥 es racional y distinto de cero y 𝑦 es irracional, entonces 𝑥 + 𝑦 y 𝑥𝑦 son racionales.
Método de demostración utilizado: Método por contraejemplo.
Si 𝑥 es racional, suponemos que 𝑥 = 2 y si 𝑦 es irracional , suponemos que 𝑦 = √.
Entonces 𝑥 + 𝑦 = 2 + √2 y 𝑥𝑦 = 2√2; en ambos casos resulta un número irracional, por lo que la hipótesis es falsa.
Para esta demostración se eligieron otros dos métodos adicionales para demostrar las condiciones.
Método de demostración utilizado: Método por reducción al absurdo.
(𝑘 + 1 )^3 Realizando la operación con fracciones
=
Factorizando (𝑘 + 1 )^2
=
Factorizando 𝑘^2 + 4 𝑘 + 4
=
2
Esta última expresión asegura que la propiedad se cumple para 𝑛 = 𝑘 + 1, lo que la propiedad es cierta para cualquier número natural.
4. Demuestre que si 0 < 𝑥 < 𝑦 , entonces
Método de demostración utilizado: Demostración directa.
Analizando la primera parte de la conclusión 𝑥 < √𝑥𝑦
Equivale a: 𝑥^2 < 𝑥𝑦 Restando 𝑥𝑦 en ambos lados de la desigualdad: 𝑥^2 − 𝑥𝑦 < 0 Factorizando 𝑥: 𝑥(𝑥 − 𝑦) < 0
Demostrando la desigualdad anterior:
De la hipótesis se tiene que: 𝑥 < 𝑦 Restando 𝑦 en ambos lados de la desigualdad: 𝑥 − 𝑦 < 0, lo que significa que la diferencia siempre es negativa.
También de la hipótesis se tiene que 𝑥 > 0
Por lo tanto el producto 𝑥(𝑥 − 𝑦) con 𝑥 − 𝑦 < 0 y 𝑥 > 0 cumple la desigualdad.
Analizando la segunda parte de la conclusión:
√𝑥𝑦 <
Equivale a:
𝑥𝑦 <
Multiplicando por 4 en ambos lados de la desigualdad y desarrollando el binomio al cuadrado se tiene: 4𝑥𝑦 < 𝑥^2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦^2 4𝑥𝑦 − 𝑥^2 − 2𝑥𝑦 − 𝑦^2 < 0 −𝑥^2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦^2 < 0 −(𝑥^2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦^2 ) < 0 −(𝑥 − 𝑦)^2 < 0 (𝑥 − 𝑦)^2 > 0
Ya como se había obtenido de la conclusión 𝑥 − 𝑦 < 0, pero con el cuadrado siempre es positivo, se concluye que la hipótesis es verdadera.
Finalmente analizando la última parte de la conclusión: 𝑥 + 𝑦 2
Multiplicando por 2 en ambos lados de la desigualdad 𝑥 + 𝑦 < 2𝑦 𝑥 + 𝑦 − 2𝑦 < 0 𝑥 − 𝑦 < 0 Nuevamente la hipótesis 𝑥 − 𝑦 < 0 es verdadera.
