Espacios vectoriales y subespacios en álgebra superior, Ejercicios de Matemáticas

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Introducción al álgebra superior

Espacios vectoriales Espacios y subespacios.

Objetivo: determinar la base y dimensión de espacios vectoriales dados, a partir de conjuntos linealmente independientes.

Instrucciones. Resuelva los siguientes problemas. Incluya en su archivo el desarrollo de la solución y, en caso de haber requerido teoría adicional a la proporcionada en la plataforma, documéntela y cite la fuente de acuerdo con las normas APA.

1. En los siguientes casos, determine si el conjunto dado es o no subespacio vectorial. a) Los vectores en ℝ𝟑^ de la forma (𝒂, 𝟎, 𝟎).

Para probar si un conjunto 𝐻 es o no un subespacio de 𝑉, es suficiente verificar que 𝐱 + 𝐲 y 𝛼𝐱 están en 𝐻 y 𝛼 es un escalar. Todo subespacio de un espacio vectorial 𝑉 contiene al 𝟎. (Grossman, 2008, p.300)

Sea 𝐻 un subespacio de ℝ^3 Sean los vectores 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐻 Sea 𝐱 = (𝑎 1 , 0,0) y 𝐲 = (𝑎 2 , 0,0)

Además, si 𝑎 1 = 0 y 𝑎 2 = 0 contiene al vector (0,0,0)

Por lo tanto, los vectores en ℝ^3 de la forma (𝑎, 0, 0) sí son subespacio vectorial de ℝ^3.

b) Los vectores en ℝ𝟑^ de la forma (𝒂, 𝒃, 𝟎).

Sea 𝐻 un subespacio de ℝ^3 Sean los vectores 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐻 Sea 𝐱 = (𝑎 1 , 𝑏 1 , 0)^ y 𝐲 = (𝑎 2 , 𝑏 2 , 0)

𝐱 + 𝐲 = (𝑎 1 + 𝑎 2 , 𝑏 1 + 𝑏 2 , 0 + 0) = (𝑎 1 + 𝑎 2 , 𝑏 1 + 𝑏 2 , 0) ∈ 𝐻

𝛼𝐱 = (𝛼𝑎 1 , 𝛼𝑏 1 , 𝛼0) = (𝛼𝑎 1 , 𝛼𝑏 1 , 0)

Además, si 𝑎 1 = 0, 𝑎 2 = 0, 𝑏 1 = 0 y 𝑏 2 = 0 contiene al vector (0,0,0)

Por lo tanto, los vectores en ℝ^3 de la forma (𝑎, 𝑏, 0) sí son subespacio vectorial de ℝ^3.

c) Si 𝑨 y 𝑩 son dos vectores de ℝ𝒏 , el conjunto 𝑾 = {𝝀𝑨 + 𝝁𝑩|𝝀, 𝝁 ∈ ℝ}^ es un subespacio de ℝ𝒏.

Sea 𝑊 un subespacio de ℝ𝑛 Sean los vectores 𝐀, 𝐁 ∈ 𝑊 Sea 𝐀 = (𝑎 1 , 𝑎 2 , … 𝑎𝑛) y 𝐁 = (𝑏 1 , 𝑏 2 , … 𝑏𝑛)

Los vectores en los cuales 𝑧 = 0 son aquellos que no son una combinación lineal de los vectores (1, 1, 0) y (2, −1, 0).

5. En los siguientes problemas determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado. a) En ℝ𝟐 : (𝟏 𝟐

Si 𝐯 = (

𝑦), se tiene que: (

𝑦) = 𝑎^1 (

) + 𝑎 2 (^3

Resolviendo el sistema

3 2 𝑦,^ 𝑎^2 = 𝑥 −^

𝑦 2

Se ha obtenido una solución para cada elección de 𝑥 y 𝑦, concluimos que el conjunto de vectores dado generan ℝ^2 , ya que todo vector se puede escribir como una combinación lineal de ellos. Además, los dos vectores son linealmente independientes.

b) En ℝ𝟐 : (𝟏 𝟏

Sea 𝐯𝟏 = (^1 1

) , 𝐯𝟐 = (^2

) y 𝐯𝟑 = (^5 5

Si 𝐯 = (

𝑦), se tiene que: (

𝑦) = 𝑎^1 (

) + 𝑎 2 (^2

) + 𝑎 3 (^5

Los vectores son linealmente dependientes, ya que 𝐯𝟐 = 2𝐯𝟏 y 𝐯𝟑 = 5𝐯𝟏. El conjunto de vectores dado no generan ℝ^2.

c) En ℝ𝟑 : (𝟏, −𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟏, 𝟐), (𝟎, 𝟎, 𝟏)

Si 𝐯 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), se tiene que: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎 1 (1, −1,2) + 𝑎 2 (1, 1, 2) + 𝑎 3 (0, 0, 1)

𝑥 = 𝑎 1 + 𝑎 2 𝑦 = −𝑎 1 + 2𝑎 2

El conjunto de vectores dado generan ℝ^3 , ya que todo vector se puede escribir como una combinación lineal de ellos.

d) En 𝑷𝟐 : 𝟏 − 𝒙, 𝟑 − 𝒙𝟐

Sea 𝑃(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥^2 , se tiene que:

𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥^2 = 𝑎 1 (1 − 𝑥) + 𝑎 2 (3 − 𝑥^2 )

𝑎 = 𝑎 1 + 3𝑎 2 𝑏 = −𝑎 1 𝑐 = −𝑎 2

El conjunto de polinomios dados no genera 𝑃 2 puesto que el sistema es inconsistente. Además, el grado más alto del polinomio del conjunto es 2 por lo que no es posible escribirlo como una combinación lineal.

6. Demuestre que dos polinomios no pueden generar 𝑷𝟐.

Sea 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 un polinomio en 𝑃 2 , en donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales cualesquiera.

Sean los polinomios 𝑝 1 (𝑥) = 𝑥^2 + 𝑥 + 1 𝑝 2 (𝑥) = 𝑥^2 + 3

Debemos encontrar constantes 𝑐 1 y 𝑐 2 tales que:

𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑐 1 (𝑥^2 + 𝑥 + 1) + 𝑐 2 (𝑥^2 + 3) De donde obtenemos

𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑐 1 𝑥^2 + 𝑐 1 𝑥 + 𝑐 1 + 𝑐 2 𝑥^2 + 3𝑐 2 = (𝑐 1 + 𝑐 2 )𝑥^2 + (𝑐 1 )𝑥 + (𝑐 1 + 3𝑐 2 )

Tenemos el sistema

Resolviendo el sistema

|

Si 𝑧 − 3𝑥 + 2𝑦 ≠ 0 entonces no existe solución, por lo tanto los dos polinomios no pueden generar 𝑃 2.

Sea 𝑐 1 (1 − 𝑥^2 ) + 𝑐 2 (𝑥) = 0

Rearreglando términos se tiene

𝑐 1 = 0 (𝑐 2 )𝑥 = 0 (−𝑐 1 )𝑥^2 = 0

de manera que el sistema tiene evidentemente una solución única 𝑐 1 = 𝑐 2 = 0, por lo que

se concluye que los dos polinomios son linealmente independientes.

𝑆𝑒𝑎 𝑃 2 : 1 − 𝑥^2 , 𝑥

𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥^2 = 𝑎 1 (1 − 𝑥^2 ) + 𝑎 2 (𝑥)

El sistema es inconsistente, por lo que el conjunto dado de vectores no es una base del espacio 𝑃 2.

b) En 𝑷𝟐: 𝒙𝟐^ − 𝟏, 𝒙𝟐^ − 𝟐, 𝒙𝟐^ − 𝟑

Sea 𝑐 1 (𝑥^2 − 1) + 𝑐 2 (𝑥^2 − 2) + 𝑐 3 (𝑥^2 − 3) = 0 Se obtiene el siguiente sistema

−𝑐 1 − 2𝑐 2 − 3𝑐 3 = 0 𝑐 1 + 𝑐 2 + 𝑐 3 = 0

Este sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas tiene un número infinito de soluciones, por lo que el conjunto de polinomio es linealmente dependiente. Por lo tanto, el conjunto dado de polinomios no es una base del espacio vectorial 𝑃 2.

c) En 𝑷𝟑: 𝟑, 𝒙𝟑^ − 𝟒𝒙 + 𝟔, 𝒙𝟐

Sea 𝑐 1 (3) + 𝑐 2 (𝑥^3 − 4𝑥 + 6) + 𝑐 3 (𝑥^2 ) = 0

Se obtiene el siguiente sistema

3𝑐 1 + 6𝑐 2 = 0 −4𝑐 2 = 0 𝑐 3 = 0 𝑐 2 = 0

de manera que el sistema tiene evidentemente una solución única 𝑐 1 = 𝑐 2 = 𝑐 3 = 0, por lo que se concluye que los tres polinomios son linealmente independientes.

La forma canónica del polinomio 𝑃 3 es {1, 𝑥, 𝑥^2 , 𝑥^3 } En 𝑃 3 : 3, 𝑥^3 − 4𝑥 + 6, 𝑥^2

𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥^2 + 𝑑𝑥^3 = 𝑎 1 (3) + 𝑎 2 (𝑥^3 − 4𝑥 + 6) + 𝑎 3 (𝑥^2 )

𝑎 = 3𝑎 1 + 6𝑎 2

El sistema es inconsistente y no genera al espacio 𝑃 3 , por lo tanto el conjunto dado de no es una base del espacio 𝑃 2.

d) En 𝑴𝟐𝟐 (el conjunto de las matrices de dimensión 𝟐 × 𝟐 ): [𝑎^0 0 0

] , [^0 𝑏

] , [^0

] , [^0

], donde 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≠ 0.

La hipótesis 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≠ 0 es porque si 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 0, se tendrían matrices cero que evidentemente serían matrices linealmente independientes, generan a M 22 y forman una base de M 22.

Sea

[^0 0 0

] = 𝑐 1 [𝑎^0

] + 𝑐 2 [^0 𝑏

] + 𝑐 3 [^0

] , +𝑐 4 [^0

] = [

𝑎𝑐 1 b𝑐 2 c𝑐 3 d𝑐 4

]

La solución del sistema es evidentemente 𝑐 1 = 𝑐 2 = 𝑐 3 = 𝑐 4 = 0

Como

[𝑎^ b c d

] = 𝑐 1 [𝑎^0

] + 𝑐 2 [^0 𝑏

] + 𝑐 3 [^0

] , +𝑐 4 [^0

]

Tenemos 𝑎𝑐 1 = 𝑎 b𝑐 2 = 𝑏 c𝑐 3 = 𝑐 d𝑐 4 = 𝑑

Las matrices son linealmente independientes y forman una base para 𝑀 22.

e) En 𝑾 , el subespacio vectorial de ℝ𝟑^ dado por {(𝒙, 𝒚, 𝒛)|𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟎} : (𝟏, 𝟐, 𝟎) y (𝟎, 𝟓, 𝟏)

Sea 𝐯 1 = (1, 2, 0) y 𝐯 2 = (0, 5, 1)

c 1 v 1 +c 2 v 2 0

La solución del sistema es evidentemente 𝑐 1 = 𝑐 2 = 0 el conjunto es linealmente independiente.

Ahora, verificar si {𝐯 1 , 𝐯 2 }^ generan 𝑊 𝑊 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)