Introducción al álgebra superior
Combinatoria y polinomios Permutaciones
y combinaciones.
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Introducción al álgebra superior: Solucionando problemas de permutaciones y combinaciones, Ejercicios de Matemáticas
Ejercicios resueltos sobre permutaciones y combinaciones, aplicables a situaciones cotidianas. Se incluyen instrucciones para resolver problemas de selección de representantes en una universidad, autobuses con grietas, organización de oradores en reuniones y plantación de árboles en un camellón.
Tipo: Ejercicios
2019/2020
1 / 6
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Introducción al álgebra superior
Combinatoria y polinomios Permutaciones
y combinaciones.
Objetivo: resolver problemas de permutaciones y combinaciones aplicables a la vida
cotidiana.
Instrucciones. Resuelva los siguientes problemas. Incluya en su archivo el desarrollo de
la solución y, en caso de haber requerido teoría adicional a la proporcionada en la
plataforma, documéntela y cite la fuente de acuerdo con las normas APA.
1. El consejo de estudiantes de ingeniería de cierta universidad tiene un representante en
cada una de las cinco ramas principales de la carrera (civil, eléctrica, industrial, de
materiales y mecánica). Calcule el número de formas para:
a. Seleccionar presidente y vicepresidente del consejo
Sea
𝑛 el número de representantes
𝑚 el número de puestos a ocupar
El número de ordenaciones de los representantes tomados de dos en dos es:
𝑛
𝑚
5
2
5!
(5−2)!
= 20 formas
b. Seleccionar presidente, vicepresidente y secretario
El número de ordenaciones de los representantes tomados de tres en tres es:
𝑛
𝑚
5
3
5!
(5−3)!
= 60 formas
c. Seleccionar dos miembros para el consejo del presidente
Sea
𝑛 el número de representantes
𝑚 el número de puestos a ocupar
El número de combinaciones de los representantes tomados de dos en dos (sin orden) es:
𝑛
𝑚
5
2
5!
2!(5−2)!
= 10 formas
3. ¿En cuántas formas se puede programar una organización local de la American Chemical
Society a tres oradores para tres reuniones diferentes, si todos ellos están disponibles en
cualquiera de cinco fechas posibles?
Sea
𝑛 el número de fechas posibles
𝑚 el número de oradores
El número de ordenaciones de los oradores tomados de tres en tres es:
𝑛
𝑚
5
3
5!
(5−3)!
= 60 formas
4. ¿De cuántas formas el personal de servicios urbanos de una localidad puede ordenar dos
robles, tres pinos y dos arces para plantarlos en un camellón, sabiendo que no hacen
distinción entre árboles de la misma clase?
El número de permutaciones diferentes de 𝑛 objetos de los cuales 𝑛 1
son de un tipo, 𝑛
2
son de un
segundo tipo,…, 𝑛 𝑘
son de un k-ésimo tipo es:
1
2
𝑘
(Walpole, 1992, p. 15)
Sea
𝑛 el número total de árboles
1
el número de robles
2
el número de pinos
3
el número de arces
7!
2!3!2!
= 210 formas
5. Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres alternativas
de respuesta. ¿En cuántas formas diferentes puede responder a dicha prueba un
estudiante?
Sea
𝑘 el número de preguntas
𝑛 el número alternativas de respuestas
𝑘
15
= 14348907 formas
6. Un cargamento de 10 televisores incluye tres que tienen defectos. ¿En cuántas formas
puede comprar un hotel cuatro de estos aparatos y recibir cuando menos dos
defectuosos?
Sea
𝑁 el número de televisores
𝑛 el número de televisores defectuosos
𝑟 el número de televisores seleccionados en la muestra
𝑠 el número de televisores defectuosos de la muestra
Calculamos para 𝑠 = 2 defectuosos
3
2
10−
4−
3
2
7
2
) = 3 × 21 = 63 formas
Calculamos para 𝑠 = 3 defectuosos
3
3
10−
4−
3
3
7
1
) = 1 × 7 = 7 formas
Para recibir al menos dos defectuosos
63 + 7 = 70 formas
7. Demuestre que para cualquier entero positivo 𝒏 y 𝒓 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 − 𝟏 , (
La expresión a demostrar es llamada la Fórmula de Pascal
De la definición de combinación se tiene
Realizando la suma de fracciones
Observe que
𝑟!
(𝑟 − 1 )!
= 𝑟
Factorizamos
(𝑛 − 1 )!
en el numerador
! [ 1 + 𝑟
]
Realizamos la suma de fracciones
del corchete
! [
]
Hacemos la división de fracciones
(𝑛 − 1 )! [(𝑛 − 𝑟)! + 𝑟(𝑛 − 𝑟 + 1 )!]
Usamos
( 𝑛 − 𝑟
) ! =
( 𝑛 − 𝑟
)( 𝑛 − 𝑟 + 1
) !