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Interseccion de solidos enfocada en los prismas iguales
Tipo: Apuntes
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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación universitaria Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José De Sucre” Extensión San Cristóbal Integrantes: Gabriela Duarte Sección: “B” semestre: 2 San Cristóbal, diciembre 2019
El presente trabajo constituye una síntesis de los aspectos elementales de los procesos de desarrollo e intersección de solidos haciendo énfasis en los prismas iguales. Se espera que sirva de guía práctica de consulta para cada estudiante con el propósito general de la asignatura que es el de dotar al estudiante de habilidades y herramientas que le permitan transferir los fundamentos a los problemas prácticos que le depara su ejercicio profesional en el futuro.
se encuentra en el interior del otro, esto dará lugar a dos líneas de intersección que no estarán en contacto entre sí, por lo que serán distintas e independientes. Una de ellas se producirá en la zona de entrada del sólido y la otra en la de salida.
3. Penetración tangencial: Este se podría entender como un caso particular de la penetración y se produce en aquella situación en que los sólidos presentan una tangencia en una de sus aristas o generatrices, por este motivo las líneas de entrada y salida tendrán un punto en común. 4. Penetración máxima (doble Tangencia): Es otro caso de penetración tangencial aunque esta vez la tangencia se produce en dos costados del sólido penetrante con dos aristas o generatrices del otro.
Vamos a desarrollar como casos particulares aquellas aquellos problemas en los que los cuerpos a estudiar se encuentran en posiciones particulares. No obstante cabe resaltar que cualquier caso general se podrá transformar en uno de estos casos simplemente realizando el “Cambio de Plano” correspondiente.
1. Prismas o Cilindros rectos: 1.1 Caso en que estos tienen sus aristas o generatrices perpendiculares al mismo plano de proyección. En este caso las líneas de intersección de los dos sólidos son “rectas paralelas a las generatrices o aristas de los mismos” y el problema se resuelve directamente en proyecciones obteniendo los puntos de contacto entre los contornos de las dos proyecciones de los objetos, proyectados sobre el plano al cual son perpendiculares. 1.2 Caso en que estos tienen sus aristas o generatrices perpendiculares a distintos planos de proyección. Uno de ellos se presenta de forma que sus aristas o generatrices sean perpendiculares a uno de los planos de proyección, mientras que el otro presenta sus aristas o generatrices paralelas al otro plano de proyección. 2. Prismas o Pirámides genéricas:
Uno de los cuerpos está apoyado en uno de los planos de proyección mientras que el otro es oblicuo respecto de este mismo plano. Para llegar a la solución se pueden emplear planos proyectantes.
3. MÉTODO DE PLANOS POR EL VÉRTICE En general su aplicación se extiende a intersecciones de pirámides y prismas pudiéndose aplicar a conos y cilindros aunque existe otro método (método de esferas concéntricas) que en ocasiones es más sencillo de utilizar para estos últimos. El método se fundamenta en utilizar planos que pasen por el vértice de uno de los cuerpos (paralelos a las aristas o generatrices para el caso de prismas o cilindros) y que a la vez corten a la base del cuerpo en cuestión, este plano generará dos aristas (generatrices) intersección. Si el plano utilizado pasa por los dos vértices de los cuerpos en estudio generará dos rectas intersección en cada uno de ellos las cuales se cortarán dando lugar a cuatro puntos de la intersección buscada. Repitiendo esta operación tantas veces como sea necesario se irá dando forma a la intersección buscada hasta determinarla.
Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos. Los elementos principales de un prisma son: la altura del prisma como la distancia entre las bases. Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales las aristas laterales, éstas son iguales y paralelas entre sí. A continuación, se ve cuáles son los distintos tipos de prisma que existen: Prismas regulares: los prismas regulares son aquellos cuyas bases son polígonos regulares. Prismas irregulares: Los prismas irregulares son aquellos cuyas bases son polígonos irregulares. Prismas rectos: los prismas rectos son aquellos cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados. Es decir, todos los prismas regulares son prismas rectos, aunque no todos los prismas rectos son regulares. Esta misma afirmación la podemos hacer con los prismas irregulares, puesto
generatrices (aristas) de los cuerpos que intervienen, de forma que al cortarse ambas en el punto P definirán un plano.
2. Los planos auxiliares deberán ser paralelos al anterior. 3. Calcularemos los planos límite y tendremos definida la gama de planos que podremos utilizar de la forma en que se vio en el apartado anterior. b) Modelos: PIRÁMIDE - PRISMA PIRÁMIDE - CILINDRO CONO - PRISMA CONO – CILINDRO 1. Pasaremos por el vértice del cono (pirámide) una recta paralela a las generatrices (aristas) del cilindro (prisma) y determinamos sus trazas. 2. Los planos auxiliares válidos serán aquellos que conteniendo a la recta anteriormente definida corten a las bases de los cuerpos o, como mínimo, sean tangentes a una de las bases y corten a la otra, dando lugar a las rectas Intersección. c) Modelos: CONO - CONO CONO - PIRÁMIDE PIRÁMIDE – PIRÁMIDE 1. Debemos pasar una recta por los vértices de los cuerpos implicados y localizar las trazas de la misma Intersección de superficies. 2. Los planos auxiliares deben contener a esta recta y cortar las bases de ambos cuerpos o, como mínimo, sean tangentes a una de las bases y corten a la otra.
a) Modelos: PRISMA - PRISMA
1. En primer lugar debemos definir el plano tipo para las intersecciones de la siguiente forma. Por un punto cualquiera P pasaremos dos rectas, cada una de ellas paralela a una de las generatrices (aristas) de los cuerpos que intervienen, de forma que al cortarse ambas en el punto P definirán un plano. 2. Los planos auxiliares deberán ser paralelos al anterior. 3. Calcularemos los planos límite y tendremos definida la gama de planos que podremos utilizar de la forma en que se vio en la pregunta anterior. b) Modelos: PIRÁMIDE - PRISMA PIRÁMIDE - CILINDRO CONO - PRISMA CONO – CILINDRO 1) Pasaremos por el vértice del cono (pirámide) una recta paralela a las generatrices (aristas) del cilindro (prisma) y determinamos sus trazas de intersección de superficies. 2) Los planos auxiliares válidos serán aquellos que conteniendo a la recta anteriormente definida corten a las bases de los cuerpos dando lugar a las rectas intersección.
Como hemos visto hasta el momento existen cuatro tipos de intersección de superficies, a saber, mordedura, penetración, tangencia simple y tangencia doble. Una vez localizados los planos límite y en función de cómo sean estos podremos determinar que tipo de intersección vamos a calcular antes de iniciar el proceso. planos en función del tipo de intersección. Lo que se muestra es la posición relativa de las trazas de los planos límite y las bases de los cuerpos.
