INTERES COMPUESTO - TEORIA, Ejercicios de Matemáticas

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MATEMATICAS FINANCIERAS

Ing. Raúl Moran

INTERÉS COMPUESTO

INTERES COMPUESTO

Introducción

E l dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con la vida de las personas y de los negocios. Cuando se generan excedentes de efectivo, se ahorra durante un período determinado a fin de ganar un interés que aumente el capital original disponible; en otras ocasiones, en cambio, se tiene necesidad de recursos financieros durante un tiempo y se debe pagar un interés por su uso.

En períodos cortos se utiliza generalmente, el interés simple. En períodos largos, sin embargo, se utilizará casi exclusivamente el interés compuesto y debido a esto el dinero puede crecer mucho más rápido que si pagara interés simple. Los bancos son instituciones que ofrecen interés compuesto en inversiones.

En el interés compuesto, el cálculo de intereses es aplicado varias veces durante el periodo del préstamo o inversión, dependiendo de cada cuanto tiempo este es capitalizable. El interés compuesto da un interés más alto que el interés simple porque da interés sobre interés, lo que lo hace atractivo para ser utilizado por los bancos para calcular el interés en las cuentas de ahorro y en certificados de depósito. El interés que se gana en cada período es reinvertido o agregado al capital o saldo inicial, convirtiéndose en el nuevo capital para el siguiente periodo.

Definición:

Se denomina interés compuesto en activos monetarios a aquel que se va sumando al capital inicial y sobre el que se van generando nuevos intereses.

Los intereses generados se van sumando periodo a periodo al capital inicial y a los intereses ya generados anteriormente. De esta forma, se crea valor no sólo sobre el capital inicial sino sobre el producto resultante de los intereses producidos previamente. Es decir, se van acumulando los intereses obtenidos para generar más intereses. Sin embargo, el interés simple no acumula los intereses generados.

Relación entre interés Simple e interés Compuesto

Como se sabe el interés compuesto crece más rápidamente que el interés simple y existe una relación entre ambos, que está dado por:

Interés Simple: 𝑆 = 𝑐(1 + 𝑛. 𝑖𝑠) Interés compuesto: 𝑆 = 𝑐(1 + 𝑖𝑐)𝑛

Igualando miembro a miembro podemos obtener:

𝑐(1 + 𝑛. 𝑖𝑠)= 𝑐(1 + 𝑖𝑐)𝑛^ despejando => 𝑖𝑠 =

(1+𝑖𝑐)𝑛− 𝑛 ;^ 𝑖𝑐^ = √1 + 𝑛. 𝑖𝑠

Tasa nominal y tasa Efectiva

Se tiene las siguientes definiciones:

a) La tasa nominal es igual a la tasa de interés por período multiplicada por el número de períodos. b) La tasa efectiva , en cambio, es el interés real que una persona paga en un crédito o cobra en un depósito. ... Por ejemplo: la tasa nominal suele expresarse en base anual.

También podemos decir que la tasa establecida para una operación financiera se conoce como tasa nominal, pero sin embargo si la tasa de interés se capitaliza en forma semestral, trimestral, etc., la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se determina en forma anual, en estos casos podemos decir que se puede determinar una tasa efectiva anual.

Tasa Equivalentes

Dos tasa son equivalentes cuando en condiciones diferentes producen la tasa efectiva anual.

Se tiene: 𝑖 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑗 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑚 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑎ñ𝑜.

𝑗 𝑚)

𝑚 − 1 2) 𝑗 = 𝑚 [(1 + 𝑖) 𝑚^1 − 1] 3) 𝑆 = 𝐶(1 + 𝑗

𝑚.𝑛

Para resolver los problemas a partir de fórmula: 𝑺 = 𝒄(𝟏 + 𝒊)𝒏^ se pueden

despejar todas las incógnitas que puede pedir el problema.

Ecuaciones de valores equivalentes

En las operaciones financieras es frecuente el cambio de un conjunto de obligaciones por otro con diferentes condiciones en cuanto a pagos y fechas, lo que se conoce como ecuaciones de valores equivalentes.

Estas surgen como consecuencia de comparar valores diferentes en una fecha determinada, llamada también fecha focal.

Para resolver problemas de ecuaciones de valores equivalentes se debe determinar el valor que se pagara en una fecha elegida equivalente al valor del conjunto de obligaciones que se vencen en diferentes fechas.

En interés compuesto el conjunto de obligaciones que son equivalentes en una fecha son equivalentes en cualquier otra.

Se resuelve en forma análoga como en interés simple, para ello se utiliza la siguiente relación: