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Documento que contiene diversas demostraciones de propiedades matemáticas de números reales, incluyendo desigualdades, sumas y productos de números naturales y enteros, y el concepto de múltiplos.
Tipo: Apuntes
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SERIE “ C ”
TRABAJOS DE MATEMATICA
Álgebra I – Matemática Discreta I
Editores: Jorge R. Lauret–Elvio A. Pilotta
CIUDAD UNIVERSITARIA – 5000 CÓRDOBA REPÚBLICA ARGENTINA
Estas notas tienen la intenci´on de ofrecer al estudiante un curso introductorio de ´Algebra. Las mismas han sido utilizadas repetidas veces como material de apoyo para el dictado de las materias ´Algebra I y Matem´atica Discreta I de la Facultad de Matem´atica, Astronom´ıa y F´ısica de la UNC. Comprenden los siguientes temas: axiomas de los n´umeros reales, los n´umeros naturales y el principio de inducci´on, t´ecnicas de conteo, los n´umeros enteros, divisibilidad, n´umeros primos, congruencias y grafos. La gu´ıa de ejercicios que se encuentra en la Parte 2 ha sido elaborada en base a la recopila- ci´on y selecci´on de ejercicios propuestos en diversas oportunidades. Esperamos que estas notas sean ´utiles y accesibles al estudiante para entender las primeras herramientas del ´Algebra, y al mismo tiempo agradecemos sugerencias y comentarios a fin de mejorarlas. Los autores.
7
10 1. LOS N ´UMEROS NATURALES
Las expresiones decimales no peri´odicas, en cambio, se corresponden con los n´umeros irracio- nales. Por ejemplo, el n´umero
α = 2, 101001000100001000001...
no posee ning´un per´ıodo, luego es irracional. Es f´acil construir una infinidad de n´umeros irra- cionales, por ejemplo, basta tomar α + q donde q es cualquier n´umero racional. As´ı vemos que
2 , 201001000100001000001... , 2 , 301001000100001000001... ,
son todos n´umeros irracionales. En realidad puede verse que hay muchos m´as n´umeros irra- cionales que racionales (en un sentido preciso) pero la demostraci´on de esto es bastante m´as dif´ıcil. En el conjunto de los n´umeros reales est´an definidas las operaciones de suma, multiplicaci´on y divisi´on. Esto quiere decir que si a y b son dos n´umeros reales, entonces la suma a + b y la multiplicaci´on ab dan como resultado n´umeros reales, y si adem´as b es distinto de 0 entonces la divisi´on de a por b, ab , es un n´umero real.
Hasta aqu´ı hemos presentado a los n´umeros reales de una manera intuitiva, refiri´endonos a su representaci´on en la recta y a su escritura en notaci´on decimal. Sin embargo, para introducir la noci´on de n´umeros reales desde el punto de vista de la matem´atica, debemos ser m´as precisos en la definici´on. Existen distintas formas de definir el conjunto de los n´umeros reales de una manera formal, en estas notas elegimos la siguiente. Para formalizar la definici´on de los n´umeros reales, se acostumbra introducirlos defini´endo- los como un conjunto dotado de dos operaciones y una relaci´on de orden que satisfacen ciertos axiomas. Los axiomas son enunciados o sentencias que no requieren demostraci´on y se aceptan como tales. Toda otra propiedad de los reales que no est´e enunciada en la lista de los axiomas deber´a deducirse a partir de este conjunto inicial de propiedades b´asicas. Es posible demostrar la existencia de un tal conjunto con dos operaciones + y. y un orden <, pero esta demostra- ci´on no ser´a incluida en estas notas. Para simplificar el enunciado de la lista inicial de axiomas ser´a conveniente fijar algunas notaciones de la teor´ıa de conjuntos y de la l´ogica elemental, que ser´an utilizadas sistem´aticamente a lo largo del curso.
S1) Ley asociativa de la suma: a + (b + c) = (a + b) + c, para todo a, b y c en R. S2) Ley conmutativa de la suma: a + b = b + a, para todo a y b en R. S3) Existencia de cero: Existe un n´umero real 0 tal que para todo a ∈ R, a + 0 = a.
LEMA 2.1. El cero es ´unico.
PRUEBA. Este enunciado afirma que existe un ´unico n´umero real que cumple la propiedad S3. Para demostrar esta afirmaci´on, seleccionamos un n´umero real 0 ∗^ que sea neutro para la suma, es decir que satisface a + 0∗^ = a, ∀a ∈ R. Por el axioma S3, existe un n´umero real denotado por 0 que es neutro para la suma. Por lo tanto, por el axioma S3, 0 ∗^ + 0 = 0∗, y por hip´otesis 0 + 0∗^ = 0. Luego
0 ∗^ = 0 ∗^ + 0, por S 0 ∗^ + 0 = 0 + 0∗^ por S2, 0 + 0∗^ = 0 , por hip´otesis,
y entonces 0 ∗^ = 0 por transitividad. En consecuencia existe un ´unico elemento neutro para la suma, y es el 0.
LEMA 2.2. El opuesto de un elemento a ∈ R es ´unico.
PRUEBA. Por el axioma S4 sabemos que dado un n´umero real a, existe un n´umero a′^ lla- mado opuesto de a para el cual se cumple que
a + a′^ = 0.
14 1. LOS N ´UMEROS NATURALES
Para mostrar que a′^ es ´unico con tal propiedad suponemos que existe ˜a tal que a + ˜a = 0. Entonces
˜a = ˜a + 0 por S a + 0 = ˜a + (a + a′) por S ˜a + (a + a′) = (˜a + a) + a′^ por S1, (˜a + a) + a′^ = 0 + a′^ por hip´otesis, y 0 + a′^ = a′^ S3 y S2.
Por transitividad se sigue que ˜a = a′^ y por lo tanto a tiene un ´unico opuesto.
El opuesto de a se denotar´a −a. Similarmente, se escribir´a b − a para denotar b + (−a). La siguiente propiedad afirma que si un sumando aparece en ambos miembros de una igual- dad, entonces el mismo puede cancelarse.
LEMA 2.3. Dados a, b y c ∈ R, si a + b = a + c entonces b = c.
PRUEBA. Si a + b = a + c, sumamos a ambos miembros de la igualdad el opuesto de a y aplicamos los axiomas S1, S4 y S3 respectivamente:
(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c) ((−a) + a) + b = ((−a) + a) + c 0 + b = 0 + c b = c. A continuaci´on, listamos un conjunto de propiedades conocidas de los n´umeros reales. Las demostraciones respectivas utilizan los axiomas y algunas propiedades que acabamos de probar. Invitamos al lector a reconocer estos axiomas y propiedades utilizados y a ensayar pruebas alternativas.
LEMA 2.4. (i) a · 0 = 0, ∀a ∈ R. (ii) Dados a y b ∈ R, si a · b = 0 entonces a = 0 o´ b = 0.
16 1. LOS N ´UMEROS NATURALES
El siguiente teorema incluye algunas de las propiedades conocidas de la relaci´on de orden. La notaci´on x > y significa que y < x y adem´as x ≥ y significa que x > y o´ x = y. Notemos que la propiedad (ii) que afirma que 0 < 1 ; si bien puede parecer evidente, como no figura en la lista inicial de axiomas requiere una demostraci´on.
TEOREMA 2.5. (i) a < b ⇔ −b < −a, para todo a, b reales, (ii) 0 < 1 , (iii) a < b y c < d ⇒ a + c < b + d, ∀a, b, c, d ∈ R, (iv) Si a ∈ R, entonces a^2 ≥ 0 ; a^2 = 0 si y s´olo si a = 0. (v) sean a, b ∈ R, a^2 + b^2 = 0 ⇔ a = b = 0, (vi) no existe ning´un n´umero real tal que x^2 + 1 = 0, (vii) si a ∈ R, entonces (^)
a > 0 ⇒ a + (^1) a ≥ 2 a < 0 ⇒ a + (^1) a ≤ − 2
PRUEBA. (i) Si a < b entonces
a + (−a) < b + (−a)
0 < b + (−a) −b + 0 < (−b) + (b + (−a)) y (−b) + (b + (−a)) = (−b + b) + (−a) = 0 + (−a) −b < −a
(ii) Observamos que una vez probada (iv), (ii) sigue de inmediato pues 1 = 1^2. Alternativamen- te, damos la siguiente demostraci´on. Sabemos que 0 ̸= 1 implica que 0 < 1 o´ 1 < 0. Entonces, 1 < 0 ⇒ 1 + (−1) < 0 + (−1) ⇒ 0 < − 1 ,
luego podemos multiplicar los miembros de la desigualdad 1 < 0 por (−1):
(−1) · 1 < (−1) · 0 = 0 ⇒ − 1 < 0
lo cual es absurdo. Por lo tanto 0 < 1. (iii) Si a < b entonces a + c < b + c, y si c < d entonces b + c < b + d. Luego, por la ley de transitividad se sigue que a + c < b + d. (iv) Si a ̸= 0, entonces a > 0 o a < 0. Si a > 0 entonces a · a > a · 0 , es decir, a^2 > 0.
a^2 + b^2 > 0 + b^2 ≥ 0 ,
y an´alogamente, si b ̸= 0 resulta
a^2 + b^2 > a^2 + 0 ≥ 0.
Por lo tanto debe cumplirse a = 0 y b = 0. La rec´ıproca es clara. (vi) Para todo x ∈ R, se cumple x^2 ≥ 0 , luego
x^2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0.
(vii) Sabemos por (iv) que (a − 1)^2 ≥ 0. Luego a^2 − 2 a + 1 ≥ 0 o lo que es lo mismo
(1) a^2 + 1 ≥ 2 a.
Si a > 0 entonces (^1) a > 0 y multiplicando ambos miembros de la desigualdad (1) por (^1) a conclui- mos que
a +^1 a > 2.
Si a < 0 entonces −a > 0. Por lo tanto
−a − (^1) a ≥ 2 , es decir a + a^1 ≤ − 2.
DEFINICI ON´ 3.1. Un subconjunto H de R se dice inductivo si 1 ∈ H y si k ∈ H implica que k + 1 ∈ H.
nos quedan 1 , 1 + 1, (1 + 1) + 1, ((1 + 1) + 1) + 1,....
Hemos definido al conjunto de los n´umeros naturales como intersecci´on de conjuntos induc- tivos. Otra forma es caracterizar al conjunto de los n´umeros naturales por medio del llamado principio de inducci´on:
TEOREMA 3.5. Sea H un subconjunto de N tal que: (i) 1 ∈ H, (ii) si h ∈ H entonces h + 1 ∈ H.
Entonces H = N.
En efecto, (i) y (ii) implican que H es inductivo, luego H ⊇ N. Pero como por hip´otesis H ⊂ N, entonces debe ser H = N.
El principio de inducci´on es ´util para probar la veracidad de propiedades relativas a los n´umeros naturales. Por ejemplo, consideremos las siguientes propiedades P (n), Q(n) y R(n):
(a) P (n) es la propiedad: 2 n − 1 < n^2 + 1, (b) Q(n) es la afirmaci´on: si n es par entonces n es divisible por 4, (c) R(n) es la afirmaci´on: 2 n^ < n − 1.
Intuitivamente notamos que P (n) es verdadera para cualquier n natural, Q(n) lo es para algunos valores de n y es falsa para otros y R(n) es falsa para todo valor de n (ver Ejemplo 3.7). Sin embargo, para verificar realmente que la propiedad P (n) es verdadera para todo n natural no podemos hacerlo probando para cada n en particular. Resulta entonces muy ´util la siguiente versi´on equivalente del principio de inducci´on.
TEOREMA 3.6. Sea P (n) una propiedad de n ∈ N tal que:
Entonces P (n) es verdadera para todo n ∈ N.
20 1. LOS N ´UMEROS NATURALES
PRUEBA. Basta tomar H = {n ∈ N | P (n) es verdadera }.
Entonces H es un subconjunto de N y las condiciones (1) y (2) nos dicen que es un conjunto inductivo. Por el Teorema 3.5 se sigue que H = N, es decir que P (n) es verdadera para todo n natural.
El principio de inducci´on admite la siguiente interpretaci´on visual. Supongamos que te- nemos una cantidad indefinida de piezas de domin´o paradas en fila, una atr´as de la otra. El principio de inducci´on afirma que si sabemos que la primera pieza se cae, y que cada vez que cae una pieza, cae la siguiente, entonces deber´an caer eventualmente todas las piezas.
Enunciamos a continuaci´on algunas propiedades de los n´umeros naturales, y la demostra- ci´on de su veracidad usando el principio de inducci´on.
EJEMPLO 3.7. Probar que 2 n^ > n, para todo n natural. SOLUCI ON´. Sea P (n) la siguiente propiedad del n´umero natural n, P (n) : 2n^ > n. Enton- ces P (1) es verdadera pues 21 > 1. Veamos ahora que si k es un n´umero natural tal que P (k) es verdadera, entonces P (k + 1) es verdadera. Esta condici´on supuesta, es decir, P (k) verdadera, la llamaremos hip´otesis inductiva. Efectivamente, supongamos que 2 k^ > k. Entonces 2 k+1^ = 2· 2 k^ = 2k^ +2k^ y 2 k^ +2k^ > k +k por hip´otesis inductiva. Dado que k + k ≥ k + 1 para todo k ∈ N, por transitividad se sigue que
2 k+1^ > k + 1.
Por lo tanto P (n) es verdadera para todo n natural.
EJEMPLO 3.8. Demostrar que n^2 + 3 ≥ n para todo n natural.
SOLUCI ON´. Sea P (n) la propiedad: n^2 + 3 ≥ n. P (1) es la afirmaci´on 12 + 3 ≥ 1 , esto es 4 ≥ 1 , que es una afirmaci´on verdadera. Asumamos ahora que P (k) es verdadera para cierto k, es decir que k^2 + 3 ≥ k. Veamos que esto implica que P (k + 1) es verdadero. En efecto:
(k + 1)^2 + 3 = k^2 + 2k + 1 + 3 = (k^2 + 3) + 2k + 1 ≥ (k^2 + 3) + 1 ≥ k + 1,
luego se concluye que P (n) es cierta para todo n natural.
