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UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS Departamento de Ingeniería Industrial
Curso: IN56A- Semestre: Otoño 2004 Prof: Iván Alvarez José Miguel Cruz Aux: Christopher Means
GUIA # 1: Instrumentos de renta fija
Pregunta 1 Se tiene un bono con la siguiente estructura de pagos:
a) Caracterice adecuadamente al instrumento financiero. b) Si r 1 =9%, r 2 =10% y r 3 =11% calcule el precio del bono. c) A partir del resultado anterior. ¿Cuál es la TIR del bono?.
d) Calcule la duración del bono.
Solución:
a) Valor cara o nominal o principal = 1000
Cupón = 120 o un 12% Maduración = 3 años Precio = P
b)
c) La TIR se calcula usando el precio y buscando una tasa única equivalente, o sea:
Resolviendo la ecuación obtenemos que TIR= 10,8491%
$ 1028, 1 , 11
1120
1 , 1
120
1 , 09
120
1 (^1 )
2 3 ∑ = + + =
=
n
t
i
i
r
fc P
2 3 ( 1 )
1120
( 1 )
120
1
120 1028 , 2 TIR (^) TIR + TIR
=
d)
Ë D = 2, 694 años
Pregunta 2 Suponga que Ud. tiene la siguiente cartera de inversión:
Bono Cantidad Cupón Plazo (años) Precio (%) TIR Duración (años)
Riesgo
A 100 7.0% SA 5 108.75 5.00% 4.34 AAA B 100 9.0% SA 3 108.13 6.00% 2.71 AA C -200 11.0% SA 7 108.07 9.40% 5.14 B
a) Calcule el valor neto de la cartera
Valor cartera = 1001.0875 + 100 1.0813 – 200 * 1.0807 = 0.**
b) Calcule la duración de la cartera de activos, y de la cartera de pasivos.
Duración Activos = (4.34 1.0875 + 2.711.0813)/( 1.0875 + 1.0813 )= 3. Duración Pasivos = 5.
c) Suponga que las tasas de interés de mercado (y por lo tanto las TIR de mercado) se incrementan en 50 puntos básicos (nota 1 punto básico = 0.01%), estime la pérdida o la ganancia de la cartera.
Duración modificada A =4. Duración modificada B =2. Duración modificada C =4. Luego, DeltaV = (-VADMA - VBDMB + VCDMC)0.005 =(-108.754.13 – 108.132.56 + 2108.074.7) * 0.005 = 1.**
d) Suponga que en el mercado ofrecen un bono de gobierno cero cupón (es decir con pagos de intereses y amortización solo al final) con vencimiento a 2 años, a un precio de 95% y una TIR de 10%. Si Ud. estuviera interesado en inmunizar (es decir insensibilizar) su cartera a cambios pequeños en la tasas de interés, cuántas unidades de este bono compraría o vendería? (suponga que puede realizar ventas cortas)
1.45 - VDDMD0.005 = 0, donde DMD = 2/1.1 = 1. luego, VD = -159. PDQD = -159.5 entonces QD=-167.9 unidades. Hay que vender.*
Pregunta 3
∑ = + +
=
n
t
i
i x x x x r
fc x i P
D 1
2 3
) 1 , 0849
1120 3 1 , 0849
120 2 1 , 0849
120 ) ( 1 1028 , 2
1 ( ( 1 )
) x
1 (
T=1 T=
X A 1.
Y B 100 1.
C 30 600
1000x + 100y = 30 1100y = 600 x = -0,0245 y = 0,
Vendo 0,0255 de bono A, compro 0,545 de bono B, que equivale a tener un bono C que vale $522 y lo vendo a $770. Por lo tanto por cada bono C vendido gano $248.
Pregunta 4 Suponga que Ud. tiene la siguiente cartera de renta fija (montos expresados en UF, tasas compuestas anualmente)
Bono TIR mdo. Precio mdo. Duración (años)
Valor Presente (UF)
Categoría de Riesgo PRC8 5,6% 110,12% 3,9 12.550 AAA LH8 6,2% 100,1% 3,2 1.400 BBB CERO 6,7% 102,15% 5,8 2.633 AA
a) Determine el valor presente y la duración total de la cartera b) Determine el impacto sobre el valor presente de la cartera si todas las tasas TIR se reducen en 50 puntos base. (Recuerde: 1 punto base = 0,01%) c) Cómo cambia su respuesta si decide agregar a la cartera anterior un bono a tasa flotante de TIR 4%, que paga intereses ( a tasa flotante) cada 6 meses, con valor presente de 10.000 UF financiado por (es decir con un pasivo) un bono cero cupón a 4 años, TIR 5,5%, cuyo valor presente es también 10.000 UF
d) Si el instrumento CERO en su cartera original es un bono cero cupón (es decir un bono que no
paga cupones intermedios, sino un solo cupón o interés al vencimiento, junto con el capital), ¿A cuanto asciende la tasa de interés que paga este bono (es decir, la tasa cupón)?
Solución:
a)
Valor presente de la cartera = VP en bonos PRC8 + VP en bonos LH8 + VP en bonos CERO = 12.550 + 1.400 + 2. = 16.583 UF
Duración de la cartera:
Primero calculamos los pesos de cada bono en el total
WPRC8= 12.550 / 16.583 = 0, WLH8= 1.400 / 16.583 = 0, WCERO= 2.633 / 16.583 = 0,
Duración cartera = DPRC8WPRC8 + DLH8WLH8 + DCEROWCERO = 3,9x0,7568+3,2x0,0,844 + 5,8x0,1588 = 4,14 años
b)
Calculamos las duración modificada de la cartera:
Primero la duración modificada de cada bono (no se puede aplicar la duración de la cartera y dividirlo por un delta TIR promedio, aunque el resultado sea parecido está mal):
DMPRC8 = 3,9 / (1+5,6%) = 3, DMLH8 = 3,2 / (1+ 6,2%) = 3, DMCERO = 5,8 / (1+ 6,7%) = 5,
Duración modificada cartera = DMPRC8WPRC8 + DMLH8WLH8 + DMCEROWCERO = 3,912 años.
Entonces delta_V = -V x DM^ x delta_TIR
Delta TIR = -0,50% V= 16.583 UF (parte a)
Reemplazando delta_V = 324,401762 UF
c)
No cambia el valor total de la cartera porque estamos agregando 10.000 UF en VP por el bono flotante y restando 10.000 UF en VP. Los pesos de los bonos que teníamos no cambian, pero hay que calcular los pesos del nuevo pasivo y del nuevo activo:
WFLOTANTE = 10.000 / 16.583 = 0, WPASIVO = -10.000 / 16.583 = -0,
Ademas,
Duración bono flotante = 0,5 años
Duración modificada bono flotante = 0,5 / (1 + TIR) = 0,5 / (1 + 4% ) = 0,481 años
Duración bonos pasivo = 4 años
Duración modificada bono pasivo = 4 / (1+ TIR) = 4 / (1 + 5,5%) = 3,791 años
Entonces la duración modificada de la cartera pasa a ser:
Duración modificada cartera = DMPRC8WPRC8 + DMLH8WLH8 + DMCEROWCERO+ DMFLOTANTEWFLOTANTE + DMPASIVOWPASIVO = 4,14 + 0,603 X (0,481 - 3,791) = 1, 916
Por lo tanto reducimos la duración modificada de la cartera y entonces baja el efecto de cambios en la tasa de interés:
Delta_V = - V x D_M x delta_TIR = - 16.583 x 1,916 x ( - 0,5%) = 158,867 UF
d)
Luego,
VP = 10000 / (1 +4,28%*400/360)=9545,03 UF
Se debe pagar como máximo 9545,03 UF hoy.
b)
500.000 USD
0 t= 540 días
La tasa a usar para descontar el flujo es la bancaria en USD a 540 días: r540días USD= 4.7%
VP = 500000/(1+4,7%*540/360)= 467.071,5 USD
La deuda puede venderse en 467.071,5 USD
c) 3 MM USD 132.500 UF
0 t= 90 días
VP Activos (USD): r90días BANCO USD= 3.0%
VPActivos = 3.000.000 /( 1+ 3%*90/360)= 2977667.49 USD 2. 912. 621 , 3 USD ( 1 , 03 )
- 000 =
VP Pasivos (UF): r90días BANCO UF= 4.3%
VPPasivos = 132.500/(1+4,3%*90/360)= 131.090,
Dejando todo en una moneda en común VPPasivos= 131.090,774*(16.300/710) =3009548.76 USD
Luego VP cartera= 2.977.667,49 - 3.009.548,76= -31881.27 USD
d) La tasa de interés que asegura los depósitos en USD es una tasa forward:
r1 f
0 t=180 días t= 360 días r tasas lineales:
r2 =r1 /2 + f1 /2 => f1=3,9%
Donde r1=r180díasUSD banco=3,1% r2=r360díasUSD banco=3,5%
El mismo cálculo podría haberse hecho asumiendo convención compuesta, aunque no tiene puntaje completo:
Luego (1+r2)= (1+r1)0,5(1+f1)0,5*^ => f1=3.9%
Pregunta 6 Suponga que un bono se vende en 923.14 dólares, es decir, a un precio inferior a su valor par de 1000 dólares. Al bono le faltan 15 años para su vencimiento y los inversionistas requieren de un rendimiento de 10% sobre el bono. ¿Cuál será la tasa cero cupón del bono si dicho cupón se paga semestralmente?
Solución:
El precio de un bono queda determinado por la expresión:
r^ t
C r
C r
C P ( 1 )
1000 ............. 1 ( 1 )^2 +
=
donde t= 30 semestres r= 10%/2 = 5% (tasa semestral) P= 923.
Despejando: C= Como el valor par es 1000, la tasa cupón es C/VP = 45/1000 = 4,5% semestral. Por lo anterior, la tasa cupón anual es 9%.
Pregunta 7 P&C Corporation tiene dos diferentes tipos de bonos en circulación.
- Año 20 El valor actual del valor facial, que no paga cupones (20 años, 40 semestres):
VP bono B = $ 3888 , 89 ( 1 , 06 )
400000 40 =
Pregunta 8
Suponga que Ud. dispone hoy de la siguiente información de mercado
Bono Cupón Estructur a
Composición Precio Vencimiento Riesgo
A 5,5% Bullet Anual 103, %
0,6 años A
B 6,5% Bullet Semestral 105, %
0,25 años AA
C 7,125% Bullet Anual 104, %
0,4 años AAA
a) Si Ud. invirtió hace 1 año atrás: USD 30.000 en bonos A a su valor par; USD 10.000 en bonos B a su valor par; y USD 10.000 en bonos C a un precio de 105,2%; ¿cuánto ha ganado o perdido a la fecha?
P&L = (30(1,032 – 1) + 10(1,055-1) +10(1,048-1,052))1000 =USD 1.
b) Si las TIR de los bonos subieran cada una 50 puntos bases, ¿cuánto cambiaría el valor presente de la cartera?
Calculemos primero las TIR:
TIR_A=(1,055/1,032)^(1/0,6)-1 =3,74% TIR_B=((1,065/1,055)^(1/(20,25))-1)2 =3,81%
TIR_C=(1,07125/1,048)^(1/0,4)-1 =5,64%
Ahora podemos sumarle 50 puntos base a cada una y volver a calcular el VP, o bien usar la aproximación por Duración modificada:
TIR_A´=4,24% ‡ P_A´=102,903% TIR_B´=4,31%‡ P_B´=1,065/(1+4,31%/2)^(20,25) = 105,371% [ También estaría correcto TIR_B'=7,94% ‡ P_B'=(1+(0,065/2))/ (1+7,94%/2)^(20,25)= 101,260%]
TIR_C´=6,14%‡ P_C´=104,602%
Luego Delta VP = (30(1,02903-1,032) + 10(1,05371-1,055) +10(1,04602-1,048)) =USD -121,
[También estaría correcto que Delta VP = (30(1,02903-1,032) + 10(1,0126-1,055) +10(1,04602-1,048))1000=USD -532,9]
- Por cálculo de duración modificada:
DM_A= 0,6/(1+TIR_A) =0, DM_B= 0,25/(1+TIR_B) =0, [ También estaría correcto DM_B=0,273 ] DM_C= 0,4/(1+TIR_C) =0,
Delta VP = -100050/10000(300,578 +100,241 +10* 0,379) =USD-117,
c) Si Ud. considera que la sensibilidad que muestra la cartera a cambios en las tasas de interés es muy alta para su actual tolerancia al riesgo, discuta qué ajustes haría a la cartera para disminuirla y por qué (sin incorporar pasivos).
Habría que reducir la posición en bonos A y aumentar en bonos B y/o C. Bono B tiene la menor
duración modificada, pero Bono C tiene la mejor clasificación de riesgo crediticio.
Pregunta 9
Suponga que le ofrecen en el mercado secundario los siguientes bonos bancarios:
Flujos de caja (fin del año)
Bono A Bono B Bono C Bono D
1 $100 $50 0 $1. 2 $100 $50 0 0 3 $1.100 $1.050 $1.000 0
a) Si las TIR de los Bonos es igual a 15% para cada uno de ellos, ¿cuál es el precio de cada bono? (suponga composición anual de intereses)
Podemos descontar cada flujo a TIR=15% y sumar Precio = Suma(i) Fi/(1+TIR)^i
Flujo Bono A Bono B Bono C Bono D 1 100 50 0 1000 2 100 50 0 0 3 1100 1050 1000 0 Precio 885.84 771.68 657.52 869.
b) En términos relativos (es decir porcentualmente) ¿cuál de los bonos tiene una mayor sensibilidad del precio a cambios en las tasas e interés, y por qué?
