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ADMINSITRACIÓN DE EMPRESAS ESTADISTÍCA APLICADA E INFERENCIAL PROF. ROLANDO PALENCIA GUÍA N°
TEMA: La Distribución Normal
OBJETIVO: Adquirir las destrezas cognitivas y comportamentales para la formulación de problemas que requieren la administración de datos La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes. Se ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia, la industria y el comercio. Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya forma es muy parecida a la distribución normal.
La distribución normal es llamada también campana de Gauss por su forma acampanada.
Propiedades de la distribución normal
La distribución normal tiene forma de campana. La distribución normal es una distribución de probabilidad que tiene media = 0 y desviación estándar = 1.
El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a más infinito vale 1. La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva tiene un área de 0.5. La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar. La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros (^) y , en consecuencia hay un número infinito
de distribuciones normales.
Existe una relación del porcentaje de población a la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para 1 tiene un porcentaje de 68.26%, 2 = 95.46% y 3 99. 73 %
La población incluye todos los datos, la muestra es una porción de la población.
Y
X
-3s -2s -1s +1s +2s +3s
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La distribución normal estándar El valor de z
Determina el número de desviaciones estándar entre algún valor X y la media de la población . Para calcular el valor de Z usamos
la siguiente fórmula.
X
Z
Para muestras grandes, se puede obtener una aproximación cercana de la distribución muestral de la media con una distribución normal.
Si para muestras aleatorias de poblaciones infinitas, encontramos que si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población infinita con la media y la desviación estándar y n es grande, entonces
es un valor de una variable aleatoria que tiene aproximadamente la distribución normal estándar.
El teorema del límite central es de importancia fundamental para la estadística porque justifica el uso de métodos de curva normal en una gran variedad de problemas; se aplica a poblaciones infinitas y también a poblaciones finitas cuando n , a pesar de ser grande, no constituye más que una pequeña porción de la población. Es difícil señalar con precisión qué tan grande debe ser n de modo que se pueda aplicar el teorema del límite central, pero a menos de que la distribución de la población tenga una forma muy inusual, por lo regular se considera que n = 30 es lo suficientemente alto. Nótese que cuando en realidad estamos tomando una muestra de una población, la distribución del muestreo de la media es una distribución normal, no obstante el tamaño de n.
La distribución f (Z) se encuentra tabulada en la tabla de distribución normal estándar. En esta tabla podemos determinar los valores de Z o la probabilidad de determinado valor Z.
Población
xx--3s3s xx--2s2s xx--ss xx x+sx+s x+2sx+2s x+3sx+3s
X
Muestra
z
z
x-3x-3 x-2x-2 x-x- xx x+x+ x+2x+2 x+x+ 33
XX
La desviación estándar sigma representa la distancia de la media al punto de inflexión de la curva normal
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ADMINSITRACIÓN DE EMPRESAS ESTADISTÍCA APLICADA E INFERENCIAL PROF. ROLANDO PALENCIA Ejemplo 2 : El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media 485 y desviación estándar
30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba?
Calculando el valor de Z obtenemos:
X Z = 0. 5
Buscamos el valor correspondiente Z en las tabla de distribución normal. Z0.5 = .69146 = 69.146%. siendo esta la probabilidad de que
la calificación sea menor a 500 P (X<500). Dado que el porcentaje pedido es P ( X 500 )la solución es 1-.69146 =.3085 , 30.85% de
los participantes pasarán la prueba.
Ejemplo 3:
Encuentre las probabilidades siguientes usando la tabla Z.
a) P(-1.23 < Z > 0)
Solución: Buscamos el valor Z1..23 en las tablas siendo este = .89065. restando .89065-.05 = .3905, este valor es la probabilidad de 0 a 1.23 que es exactamente la misma de – 1.23 a 0 por simetría. Por lo tanto la probabilidad es.
485
Z. 05
30.85%
0
-1.23 Z
